圆的面积推导过程
怎样求圆环的面积
圆环的面积不妨这样求
山东高密市第二实验小学田玉贞
前几天，孩子们做过这样一个练习：
在一个直径是9米的圆形鱼池外，修一条宽1米的环行小路，这条小路的面积是多少
孩子们都知道求小路的面积也就是求圆环的面积，圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积的差，因此他们很快地列出了算式并开始计算：我发现他们是这样解决问题的:
9÷2=4.5米)
4.5+1=.5.5(米)
3.14×5.52-3.14×4.52
=3.14×30.25-3.14×20.25
=94.985-63.585
=31.4
答：这条小路的面积是31.4平方米。
也有两个同学是这样计算的:
9÷2=4.5米)
4.5+1=.5.5(米)
3.14×5.52-3.14×4.52
=3.14×(5.52-4.52)
=3.14×(30.25-20.25)
=31.4
答：这条小路的面积是31.4平方米。
不管孩子们用哪种方法计算,我发现孩子在计算的过程中显得手忙脚乱，最后得出正确得数的不多。我想了想，孩子们要算出外圆半径的平方，接着再用3.14乘以这个平方数，然后用同样的方法求出内圆的面积，得数是挺难算的,难怪孩子们算错得数。怎样减少计算的难度，提高做这类题的正确率呢？两个孩子的另一种方法给了我启发。我决定教孩子们用平方差公式进行计算。孩子们没有学过这个公式，我是这样教学的：
我首先在黑板上出了这样三组算式：
1、（9+5）×（9-5）=92-52=
2、（18+15）×（18-13）=182-132=
3、(6.7+2.3)×(6.7-2.3)=6.72-2.32=
在孩子们计算完后,让孩子们观察这三组算式有什么共同特点。
孩子们的情绪很高涨,他们很快地发现了求两个数的平方差也就是用这两个数的和乘这两个数的差。我接着问，刚才我们计算小路的面积的时候同学们都反应在计算的时候有点难，现在你能用简便的方法重新做一遍吗？学生们很快用最简单的方法计算了这个题：
9÷2=4.5米)
4.5+1=.5.5(米)
3.14×5.52-3.14×4.52
=3.14×(5.52-4.52)
=3.14×(5.5+4.5)×(5.5-4.5)
=3.14×10×1
=31.4
答：：这条小路的面积是31.4平方米。
其实，在教学的过程中，另辟一径，效果也是不错呀。
圆的面积复习
1、如图：图中的四边形均为正方形，2、如图：两圆半径都是1厘米，
阴影部分的面积为50平方厘米，且图中的两个阴影部分的面积相
求环形的面积。等。求长方形ABOC的面积。
3、如图：一个扇形的圆心角是90°，4、如果圆的半径增加，那么它的面积
它的周长是14.28厘米，求它的面积。增加88平方分米，求原来圆的面积。
5、如图：圆与长方形的面积差为12平方6、如图：圆环中线段AB长10厘米，求圆
厘米，周长相等，求圆的面积。的面积。
7、求图中外围的周长。8、如图：圆的周长是16.4厘米，圆的面
积与长方形的面积正好相等。图中阴影部分的周长是多少厘米
9、阴影甲的面积比阴影乙的面积大28平方10、圆环外圆周长比内圆周长多25.12厘米，厘米，AB=40厘米，CB垂直于AB，求环宽。
求BC的长。
11、已知图中正方形的面积是10平方厘米，12、如图：长方形的周长是30厘米，求
求阴影部分的面积。阴影部分的面积。
13、如图：大、小两圆相交部分是大圆面积14、大圆半径是小圆半径的2倍，大
的，是小圆面积的，已知小圆的半径圆面积比小圆面积大12平方分米，大
是6厘米，求大圆的半径是多少厘米。圆面积是多少平方分米
15、求阴影部分面积：
计算圆柱的表面积
2月14日 星期二 晴
今天数学课，我们学习了计算圆柱的表面积。
放学回家，拿起茶杯喝水。早就想给这个茶杯做个套，今天学了圆柱的表面积，就知道该怎么做了。我找来把尺子，量了一下杯子底面直径和高，分别是10c。接着我用圆周率乘以直径算出底面周长是314c然后我就拿布材裁剪了一个长314c宽20c长方形，包在茶杯侧面，这样就不烫手了。我也知道这个侧面的面积就是314x20=6280平方厘米，再加上两个底面圆面积就是这个茶杯的表面积了。好了，两个底面就不包了吧！
数学日记：圆的面积
之前，我们探索了圆的周长，现在我们继续我们的探索之旅。圆有周长就“理所当然”会有面积。现在我们探索我们的圆的周长的“兄弟”圆的面积。
之前，圆的周长是关于直径的，那“兄弟”面积就是关于直径的“老弟”半径的了。我们看着书上的探究活动，我们拿出数学用具，里面有两个圆形，一个圆是把一个圆分成了12份，一个圆是把一个圆分成了24份。我把12份的剪了下来，按照书上，我们拼成了一个像平行四边形的图形，我很奇怪，继续把24份的也拼成了像长方形的图形，我慢慢的理解到了：拼成的平行四边形的高相当于圆的半径，它的底相当于圆周长的一半。而长方形的长相当于圆周长的一半，它的宽相当于圆的半径。从我的理解中，我推测出了圆的面积计算公式：π乘r的平方就是圆的面积了。在原来的基础中，我举一反三，列出了考试时考圆的面积的三种方式：1.已知半径求面积，这一种是最简单的，直接π乘r的平方就行了。2.已知直径求面积，这一种先要求出半径(直径除以2=半径)，再用半径的平方乘π就行了。3.已知周长就面积，这一道题就有点困难，但只要细心就能做好。先求直径：周长除以π，再求半径：直径除以2，再π乘r的平方就行了。
数学我们要学会举一反三，我们也要学会自己动手推出公式，这样数学才会成为你的知心朋友。
圆的面积-有趣的数学日记
9月15日 星期四 阴
圆是由曲线围成的封闭平面图形，有大有小，圆的大小就叫做圆的面积。如何计算圆的面积呢
今天的数学课，施老师拿着三个圆模板带我们探究推导圆面积的计算方法。
第一组把圆平均分成8分，第二组把圆平均分成16份，我们第三组把圆平均分成32份。然后照着老师的模样拼一拼，就拼成了一个近似的平行四边形。圆等分的份数越多，拼出的图形就越接近平行四边形。这个平行四边形的面积就等于圆的面积，平行四边形的高等于圆的半径。因为平行四边形的面积=底×高，所以圆的面积=πr×r=πr2。
这样一来，求圆的面积就容易多了。
与圆有关的面积计算问题
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是
（2010河南）如图矩形ABCD中，AD=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为
2.（2010黄冈）将半径为4c半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是.
(苏州2010中考题16)．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于．(结果保留根号及)．
（2010·绵阳）如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB=1，BC=2，则OA=．
（2010年兰州）18.如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是．
（2010年毕节）9．如图,两正方形相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16c,该半圆的半径为.
（2010宁夏11．矩形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是．
21（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为．（结果保留）．
30.（2009年凉山州）将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，则图中阴影部分面积为．
32.（2009泰安）如图（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为．
41.（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于．
44（2009河池）9．如图3，切⊙O于，两点，若，⊙O的
半径为，则阴影部分的面积为．
18．（2010山东临沂）如图，直径为6的半径，绕点逆时针旋转60°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是．
53．（2010湖北黄石）如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为．
6．（2010浙江台州市）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则阴影部分面积为(结果保留π)．
24．（2010江苏淮安）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°,AC=2，BC=,以点A为圆心,AB为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是．
41．（2010内蒙古包头）如图，在中，与相切于点，且交于两点，则图中阴影部分的面积是．
53．（2010天门、潜江、仙桃）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，于点B1，设弧BC1，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，于点B2，设弧B1C2，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=．
1．（2010江苏南京）（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB。若⊙O的半径为1，图中阴影部分的面积为．（结果保留）
2．（2010辽宁丹东市）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．图中阴影部分的面积为．
4．（2010浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°，图中阴影部分的面积为.
6．（2010浙江省温州市）(本题8分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，0为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙02．图中阴影部分的面积为．
7．（2010福建晋江）（10分）已知：如图，有一块含的直角三角板的直角边长的长恰与另一块等腰直角三角板的斜边的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且.若把含的直角三角板绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，点落在点，试求图中阴影部分的面积(结果保留).
11．（2010山东滨州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=12，BC=6．求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍(精确到0.1)．
13．（2010四川内江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D.求图中阴影部分的面积.
14．（2010四川绵阳）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60?．过点C作圆的切线l与
直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．若AF=4，求图中阴影部分的面积．
16．（2010甘肃）（10分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，若的半径为2，求图中阴影部分的面积.
19．（2010宁夏回族自治区）如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．若PC=6,求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．（参考数据：）
20．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）圆心角都是90°的扇形AOB与扇形COD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD，若AO=3c，求阴影部分的面积。
22．（2010吉林）如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，求阴影部分的面积.
圆的面积
今天，我在素描课上学会了画球体。
首先，老师让我们画了个十字，再用小拇指的关节顶住一点，然后缓缓转动手腕，最终连接起来……。一开始我还有点不顺手，渐渐地就有点球体的样子了。过了一会儿，我托着下巴有点开小差了：“正方形的面积可以用边长*边长得出；长*宽=长方形面积；三角形面积=底*高/2……”那么，球体的面积该怎么算呢？突然，旁边的同学拍了拍我的肩膀，小声地说：“嘿，发什么愣呢？”我回头一望，呀，老师走过来了。什么球体面积等会再想，先把球体画完。我马上认认真真地画球体。
一回到家，我便盯着之前画好的球体沉思了很久：这可挺难办的，球体又不像五、六边形等能“切”开。哦！我的天哪！好难呀！……
就在这时，妈妈下班回来了。真是天助我也！我向妈妈借了手机，马上开始了“探索之旅”。原来这是小学六年级学的。根据固定值π=3·14来计算圆的面积以及周长，并根据面积以及周长求直径、半径或半圆的周长或面积。圆的面积公式：S=πr2S=面积π=圆周率r=半径。π是固定值，读作pai，是圆周率的符号，数值在3、1415926——3、1415927之间，目前小学生用的π数值为3、14、
虽然我还是不大明白，但最起码知道怎么算。我马上拿出那幅画好的球体量测，计算：半径7·5厘米，圆的面积=3·14*（7、5×7、5）=176·625平方厘米。哦原来我画的球体面积有176平方厘米呢？生活中，处处有数学，它的奥妙可真不少，让我们一起去探索吧！
“化曲为直”推导圆的面积公式日记
圆，生活中处处可见，圆的桌子、圆的钟表、圆的车轮、圆的井盖、圆的花圃、圆的……，圆，其实早已与我们的生活密不可分了，我们离不开它。然而这些常见的圆，我们又是如何计算出它们的面积呢
妈妈已经教我认识了圆和学会计算圆的周长。可是，圆的面积该怎样计算呢？于是，今天的动手动脑活动又在妈妈的指导下拉开了帷幕。
我在想，我们以前学过的正方形、长方形、三角形、梯形等平面图形，都是根据其他图形的面积计算公式推导而来的，圆的面积计算公式是不是也能通过变形推导出来呢
为此，妈妈特意剪下几张相等的圆纸片，运用折纸、剪纸的方法，分别折剪成正方形、正八边形、正十六边形，然后再分别与原来的圆纸片叠在一起，见下图：（略）
通过观察我发现剪成的正十六边形的面积比其它两种更接近于圆。哦！我知道了，当我们剪成的正多边形更多时，它就更接近于圆。妈妈高兴地说：“你可真聪明！”
是呀，当正多边形为正三十二边形或者六十四边形，或者更多时，它们的面积和圆的面积差距会更小。
妈妈趁机说道：“那现在我们要“化曲为直”来推导圆的面积，选用哪种正多边形才能更精确呢？”
“当然是正十六边形了。因为分割出来的正多边形越多计算出来的误差才最小呀！”我抢着答道。
“嗯，说得很对，那么现在看正十六边形这张图，我们就用它来研究圆的面积吧！你认真看，圆的面积大概是多少个三角形面积之和？这些三角形的底边之和相当于圆的什么？每个三角形的高相当于圆的什么？”
我反复看了看图，慢慢地说道：“正十六边形中大概相当于16个三角形面积之和呗。底边之和差不多是圆的周长吧。每一个三角形的高又接近于圆的半径。”
妈妈接着说：“很好。那么我是不是可以写成
正十六边形的面积＝三角形的面积×16
＝底边×高÷2×16
＝底边×16×高÷2
↓↓
圆的面积＝2πr×r÷2＝πr2
原来是这样啊！推导圆的面积公式时只要把圆转化为正多边形就可以进行计算了。
当推导完成我刚长长地吐了一口气时，妈妈却又提出了新问题：“还有更好玩儿的呢！对你来说理解得更直观。”
说着就又剪出了以下图形，并且把它们各自拼接成一个平行四边形。
有了前面的经验，再来理解这个图真是太简单了，“妈妈，我发现你拼出来的这个平行四边形的底可以看作是圆的1/2周长，高就可以看作是圆的半径了。”边说边拿着笔在草纸上演算起来，很快就得出：
圆的面积=π×半径的平方
“化曲为直”探索圆的面积真是太有趣了！让我通过亲自动手实践把圆的面积公式记得很牢固。再也不会忘记了。看着妈妈在剪纸时每一步都那么认真，只怕剪得不准确对我产生误导时。我心里很不是滋味，妈妈全都是为了我能更好的掌握圆的面积，才会这么下工夫来手把手的教我呀！
数学每天陪伴我成长，让我从动手动脑活动中学会积极探索数学王国的奥秘。我爱你，可爱的圆，我爱你，有趣的数学！
圆的面积计算
表示圆周率=3.1415926589
R表示半径：
D表示直径：
圆面积公式：S=?×（r×2)
例一：假设圆直径0.12：3.140.060.06=0.001130973。
例二：假设圆直径1.085：3.140.54250.5425=0.924121625。
圆的周和长计算：
表示圆周率=3.1415926589
R表示半径：
D表示直径：
圆面积公式：C=?×2r
例一：假设圆直径0.12：3.14×0.12=0.3768
例二：假设圆直径1.085：3.14×1.085=3.4069
例三：假设圆直径1.085：3.14×0.5425+0.5425=3.4069
圆的面积
尝试转化，推导公式
第一次探究：确定“转化”的策略。
师：你知道怎么求圆的面积吗？(学生沉默)大家好像遇到了困难，请你在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法
生：可以把新图形转化成已学过的图形，比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。
师：那圆能不能转化成我们学过的图形呢？我们可以试一试。请大家利用手中的圆纸片和准备的工具在小组内研究研究。
(学生活动，教师巡视。)
学生汇报交流
生1：我们把圆纸片对折得到4个扇形，求出一个扇形的面积，再乘4就能得到圆的面积。扇形的面积不会求，但是扇形像我们学过的三角形。
师：把扇形当成三角形求出面积可以吗
生2：不行，这样求出的面积比圆的面积小。
师：怎样让扇形和三角形的面积接近一些？(把表示1/4个圆的扇形纸贴在黑板上)一会儿可以继续研究。虽然这个小组折出的扇形不太像三角形,可老师觉得这种方法给了我们一个很重要的启示，那就是他们想把圆通过折一折转化成学过的三角形来求出圆的面积。(板书：折一折。)
生3：我们想把圆沿着半径剪成4个扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。
师：怎么让拼成的图形更像平行四边形，也可以再研究。现在，同学们有了两种思路，一种是把圆折一折，想转化成三角形；还有一种是想通过剪拼把圆转化成平行四边形。你们发现这两种方法的共同点了吗
生：都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。
师：说得太好了！抓住了问题的关键。(板书：转化。)
第二次探究，明确方法，极限探讨。
师：我发现一个问题，不管是折成的三角形，还是剪拼成的平行四边形都不是很像，怎么才能更像呢？这就是下面要研究的问题。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。
（小组合作，教师巡视指导。）
生1：我们把圆对折平均分成16份，折出的形状像是三角形。用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。折的份数越多，折出的形状越像三角形。
师：你们同意吗？这就是把圆折成16份时其中的一份(贴在黑板上)，和刚才平均分成4份中的一份相比，确实像三角形了。如果想让折出的形状更接近三角形，怎么办
生2：可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些.
师：你继续折给大家看看。(学生折起来很费劲)看来同学们再继续折纸有困难了，老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状(课件演示“正十六边形”)，这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32份，有什么变化
(课件演示，并突出其中一份的形状。)分的份数更多点呢
生：分的份数越多，其中的一份越像三角形。
师：是这样的吗？大家请看屏幕，（利用课件从4份开始演示，分的份数逐渐增加。)
生：(感觉很神奇)越来越接近三角形了。
师：和大家想的一样，把圆分的份数越多，其中的一份越接近三角形。三角形的底可以看成这段弧，三角形的高可以看成是圆的半径。你们会求三角形的面积吗？三角形的面积会求了，就能求出圆的面积了。
生3：我们的结果是把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。
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