合同矩阵一定对称矩阵吗(为什么对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵)
朋友们，你好！今天我们来谈谈合同矩阵一定对称矩阵吗，我知道大家对它有很多疑问，还有就是为什么对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵，我相信也有很多人对它不够清楚。那么今天就一起来了解这两个问题吧！希望通过我的文章可以帮到你们，如果感觉有所解惑，欢迎大家关注本站，更新的内容会继续为大家解答，谢谢！
契约矩阵是对称的。两个矩阵A和B是契约，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使C＾TAC＝B，那么方阵A与矩阵B契约。
在一般的在线生成问题中，研究契约矩阵的情形是二次型的。用于二次型的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵的契约的充要条件是它们的正、负惯性指标相同。从这个条件可以推断出契约矩阵的秩相等。
扩展资料：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任何矩阵都与自身有契约；
2、对称性：如果合同A在B中，那么合同B在A中；
3、传递性：如果契约A在B中，契约B在C中，那么契约A可以在C中导出；
4、与契约矩阵的秩相同。
矩阵契约的主要判别方法：
如果A和B在复域中都是n阶对称矩阵，则A和B在复域中约等于A和B的秩相同。
假设A和B是实场中的n阶对称矩阵，则A和B在实场中与具有相同正、负惯性指数（即正、负特征值的数目相等）的A和B约等于。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
二、对称矩阵为什么一定不合同与非对称矩阵
如果A^T=A，那么(C^TAC)^T=C^TAC，所以和一个对称阵合同的矩阵一定也是对称阵。
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1、(A')'=A
2、(A+B)'=A'+B'
3、(kA)'=kA'(k为实数)
4、(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i，j都成立。
扩展资料
对称矩阵的基本性质：
1、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
2、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
3、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
4、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
5、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
三、为什么对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵
根据对称阵的含义与转置的性质，若A对称，则A^T=A，则[(C^T)AC]^T=(C^T)(A^T)(C^T)^T=(C^T)AC，所以合同矩阵(C^T)AC也是对称阵。
设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
扩展资料：
合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得则称方阵A与B合同，记作 A≃B。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
