矩阵正定是什么意思(什么叫正定矩阵)
今天给各位分享矩阵正定是什么意思的知识，其中也会对什么叫正定矩阵进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！
一．定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0)，则称f(x)为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为阶对称矩阵，若对任意n维向量 x 0都有＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n阶对称矩阵，若对任意 n维向量 x≠0,都有＜0（≤ 0），则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E就是正定矩阵。
二．正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n个特征值全是正数。
证明：若，则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
证明：A正定
二次型正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使；进一步有（B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使
令则
令则
反之，
∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素，且。
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴是正定二次型
现取一组不全为0的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C，使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数，有
∴是正定的
∴的矩阵
是正定矩阵
即
即A的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵，显然是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令，，
∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零
∴的顺序主子式也全大于零
由归纳假设，是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令，
有
令，
就有
两边取行列式，则
由条件得a＞0
显然
即A合同于E，
∴A是正定的。
三．负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式满足
，
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：
矩阵的顺序主子式，，，
但A并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
二、什么叫正定矩阵
正定矩阵:是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里，正定矩阵(positive definite matrix)有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
正定矩阵
（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
对称正定矩阵
设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵
设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵。
三、什么是正定矩阵
判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。
