高等数学题库及答案
伟大的数学王子—高斯
话说在数学界里，是个很抽象的世界，数学可以与一切都扯上关系，又可以说是个最独立的体系。为什么这么说呢？因为科学、物理、化学等任何的学科都需要用上数学，而数学又与其他学科没什么共同点，因为虽说数学源于生活，但有时却不符合生活。所以，大多的科学家都强与数学，而大多的数学家又都强于科学。要说最厉害的，就是我们的数学王子——约翰·卡尔·弗里德里希·高斯。
高斯在1777年4月30日出生于布伦瑞克。他出生在一个普通家庭里，母亲是个贫穷石匠的女儿，虽然聪明，但没接受过正式教育，所以近于文盲。而他的父亲曾做过园丁、工头、商人助手和一个小保险公司的评估师。虽然父亲不是个文盲，但父亲从不觉得学问很重要，不支持高斯去读书。不过，尽管如此，高斯还是很爱看书。他注定会是个非同凡响的人，他的天资聪颖使高斯能在三岁时，便发现父亲在计算时的错误，九岁便能在极短的时间内算出1加到100。12岁时，便开始怀疑元素几何学中的基础证明。17岁时，高斯就发现了质数分布定理和最小二乘法，并成功得到正太分布曲线。而在19岁时又第一个证明了正十七边形可用尺规作图。在之后又发表了他的第一本著作《算术研究》。
高斯小小年纪就已成就满满，着实厉害，怪不得被称为数学王子呢！
高斯不但精通与数学，还上知天文，下知地理。
他用数学中的最小二次乘法，观测三次便计算出了行星轨迹。1830年，高斯又开始和韦伯研究电磁学。世界上第一个电报机，磁观测站，第一张地球磁场图陆续被研发出来。
不幸的是，1855年2月23日凌晨1点，高斯在睡梦中永远的离开了我们。
无论是数学还是其它学科，但凡是高斯喜欢的学科都会有一番作为。他的伟大是无法估量的，有如天上那无数闪烁的星星，似宇宙中那美丽的银河系。他的成就如钻石般闪耀，散发出强大的光芒。
不是高斯天赋禀异，也不是靠一点运气。而是高斯靠自己一点一滴的努力，才得此成就。正如雨滴无法一次穿石，但是逐渐的慢慢的，日积月累，中有一天，会水滴石穿。
通用版2019年数学冲刺代几综合问题
解：
（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为；
把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；
（2）∵S=，y=kx﹣1，
∴S=×2x﹣1；∴S=x﹣；
（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；
∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；
②存在．
满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．
10.【答案与解析】
解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得x1=﹣1，x2=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴=，
∵CD=4AC，
∴==4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y=kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）设点E，yAE=k1x+b1，
则，
解得：，
∴yAE=ax+a，
∴S△ACE=[a﹣a]=2﹣a，
∴有最大值﹣a=，
∴a=﹣；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得x1=﹣1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，
设P1（1，
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），
+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P1（1，﹣）．
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），
﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，
PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，
AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，
解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P2（1，﹣4）．
综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．
11.【答案与解析】
解：
（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.
（2）成立．
证明：连结DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE．
∴MF=NE．
（3）画出图形（连出线段NE），
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．
数学辅导试题
一、填空
1、104×3表示。
2、小明从一楼走到三楼用了8秒，照这样他从一楼走到五楼用秒。
3、一米长的绳子，截下它的1∕10，应截下分米，截下它的1∕2，应截下分米。
4、因数、因数、积都是同一个数，这个数是或。
5、一天中的上午，有7时、11时、10时30分、6时、9时、8时，按时间的先后顺序，把这些时间排列起来。
6、4700千克－700千克＝吨
1厘米－7毫米＝毫米
1吨－200千克＝千克
950米＋1050米＝千米
7、（填“＜”“＞”或“＝”）2分200秒
150分3时80毫米8厘米
8、分针走1小格，秒针正好走，是秒。分针走1大格是，时针走1大格是。
9、下图（左）中有个平行四边形。
20米
40米
10、上图（右）的周长是米。
一、判断正误（对的画“√”，错的画“×”。）
1、把1厘米的绳子平均分成10段，每段长1毫米。
2、一个图形的四条边相等，这个图形一定是正方形。
3、2与1的和、差、积、商中最大的是积，最小的是商。
4、7×7和7+7的意义相同。
5、一个正方形的边长增加2厘米，它的周长增加8厘米
6、除数是3的除法，余数可能是1、2或3。
7、120×5的积末尾只有一个0。
8、如果A×B=0，那么A和B中至少有一个是0。
9、7个1/7米是7米。
10、小红和小颍比赛跳绳，小红2分钟跳了190下，小颍3分钟跳了240下，小颍跳的快。
二、快乐ABC（选择正确答案的序号填在括号中）（每题1分，共9分。）
1、把一个长方形拉成一个平行四边形，周长
A变大B不变C变小
2、把边长4分米的正方形剪成两个同样的长方形，其中一个长方形的周长是分米。
A8B12C5
3、两个足球队进行比赛，结果
A两个队都胜了B两个队都负了C两个队平了
4、与125×0的结果相同的是
A125+0B125-0C0×125
5、小明9:20到电影院时，电影已经开始了半小时，电影是开始的。
A8:50B9:50C9:00
6、时针从第一个数字到第二个数字经过的时间是A60秒B60分C2小时
7、两个周长相等的长方形，拼成一个长方形。
A一定能B一定不能C不一定能
8、最小三位数和最大三位数的和是
A1B1099C899
9、1千克铁和1千克棉花重。
A铁B棉花C一样
三、计算：
1、口算：
275+0=700×4=600×7=3/8+5/8=
123×2=465×0=85÷5=1-1/3=
972-200=486+14=576÷2=8/9-2/9=
2、估算并计算：
495×3503×6712×4
3、竖式计算并验算：
784÷2806-279453+556
四、连一连：
1、
8个红球6个黄球2个红球8个蓝球
可能是黄球不可能是红球一定是红球
2、
20÷826÷423÷727÷517÷955÷6
余数是1余数是2
五、应用题：（每题4分，共24分）
1、商店里有红气球206个，黄气球比红气球多95个，蓝气球比黄气球多89个。商店里有蓝气球多少个
2、红星小学操场的长是70米，宽比长短5米。亮亮绕着操场跑了2圈，他跑了多少米
3、把一张长方形纸对折后，每份是这张长方形纸的几分之几？把这张长方形纸再对折两次后，每份是这张长方形纸的几分之几
4、从公园到动物园有4条路，从动物园到植物园有3条路，从公园经过动物园到植物园有几种走法
5、修路队要修3000千米的路，第一天修了639千米，第二天修了865千米，两天共修了多少千米
6、果园里有桃树106棵，梨树比桃树的4倍少8棵。两种树共多少棵
一、填空：（每空1分，共20分）
1、（104的3倍是多少）或（3个104的和是多少）
2、（16）3、（1）、（5）4、（0）、（1）
5、（6时、7时、8时、9时、10时30分、11时）
6、（4）、（3）、（800）、（2）7、、、（=）
8、（1圈）、（60）、（5分钟）、（1小时）9、（4）10、（120）
二、（每题1分，共10分。）
√×××√××√××
三、（每题1分，共9分。）BBCCABCBC
四、计算：1、口算（每题0.5分，共6分）
275+0=275700×4=2800600×7=42003/8+5/8=1
123×2=246465×0=085÷5=371-1/3=2/3
972-200=772486+14=500576÷2=2888/9-2/9=6/9
2、估算并计算：（每题4分，共12分）
495×3503×6712×4
≈1500≈3000≈2800
=1485=3018=2884
3、（每题4分，共12分）
784÷2=392806-279=527453+556=1009
验算392×2=784527+279=8061009-556=453
五、1、（3分）
8个红球6个黄球2个红球8个蓝球
可能是黄球不可能是红球一定是红球
2、（4分）
20÷826÷423÷727÷517÷955÷6
余数是1余数是2
六、应用题：（每题4分，共24分）
1、206+95+89=390（个）答：商店里有蓝气球390个。
2、（70-5+70）×2×2=540（米）答：他跑了540米。
3、每份是这张长方形纸的1∕2。每份是这张长方形纸的1∕8。
4、4×3=12（种）答：从公园经过动物园到植物园有12种走法。
5、639+865=1504（千米）答：两天共修了1504千米。
a)6、106×4-8=416（棵）答：两种树共416棵。
b)
高斯解数学难题
1796年的一天，在德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的两道数学题，像往常一样，前2道题目在2个小时内顺利地完成了。但青年发现今天导师给他多布置了一道题。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。他也没有多想，就做了起来。然而，青年感到非常吃力。
开始，他还想，也许导师特意给我增加难度吧。但是，随着时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。青年绞尽脑汁，感到自己学到的数学知识对解开这道题没有什么帮助。困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去解这道题...当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题!见到导师时，青年感到有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他的声音都颤抖了，说：“这……真是你自己……做出来的?”青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“是的，但我很笨，竟然花了整整一个晚上才做出来。”导师让他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做这道题。青年很快就解开了这道题。导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学难题？牛顿也没有解出来，阿基米德没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才啊！我最近正在研究这道难题，昨天给你布置题目时，不小心把写有这个题目的小纸条夹在了给你的题目里。”后来，每当这个青年回忆这件事时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能就无法解开它。这个青年就是数学王子高斯。
2012年试题分项解析数学
专题08立体几何（教师版）
一、选择题:
1.(2012年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
2.(2012年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是
3.(2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
4．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．
6.(2012年高考湖北卷理科10)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159….判断，下列近似公式中最精确的一个是
A．B．C．D．
7.(2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
8.(2012年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
9.(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为
10．(2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为
11.(2012年高考安徽卷理科6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且,则“”是“”的
充分不必要条件必要不充分条件
充要条件即不充分不必要条件
【答案】
【解析】如果；则与条件相同.
12.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为
（A）（B）（C）（D）
13.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
15．(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为
A．2B．C．D．1
16.(2012年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】取长的棱的中点与长为的端点；则.
二、填空题:
1.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
2.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.
3．（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为c
4.(2012年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.
6.(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。
7.(2012年高考安徽卷理科12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
8．(2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积
为的半圆面，则该圆锥的体积为.
9．(2012年高考上海卷理科14)如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是.
11.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
三、解答题:
1.（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面ADE．
2.(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
3．(2012年高考北京卷理科16)（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
4.(2012年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
5.(2012年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）
如图，在长方体中，为中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长.
66．(2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：
（1）三角形的面积；
（2）异面直线与所成的角的大小.
7．(2012年高考浙江卷理科20)(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
8.(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）
10.(2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，
是棱的中点，
（1）证明：
（2）求二面角的大小。
11.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，
丄，丄，.
(Ⅰ)证明：丄；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，
求的长.
12.(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值。
13.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，
。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都
与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答
下列问题。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。
14.(2012年高考四川卷理科19)(本小题满分12分)
15.(2012年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
16.(2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）
（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；
（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）
17.(2012年高考全国卷理科18)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
18.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）
如图，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面的距离;
（Ⅱ）若,求二面角的平面角的余弦值。
2019年数学上期末模拟试题
一、选择题
1．下面的程序框图表示求式子×××××的值,则判断框内可以填的条件为
A．B．C．D．
2．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为
（参考数据：）
A．B．
C．D．
3．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为
A．B．C．D．
4．袋中装有红球个、白球个、黑球个，从中随机摸出个球，则与事件“至少有个白球”互斥但不对立的事件是
A．没有白球B．个白球
C．红、黑球各个D．至少有个红球
5．执行如图所示的程序框图，若输入的，依次为，其中，则输出的为
A．B．C．D．
6．在长为的线段上任取一点，作一矩形，邻边长分別等于线段、的长，则该矩形面积小于的概率为
A．B．C．D．
7．在上定义运算：，若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为
A．B．C．D．
9．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为
A．B．C．D．
10．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
11．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是
A．－1B．
C．D．
12．如图，边长为2的正方形有一内切圆向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为
A．B．C．D．
二、填空题
13．袋中装有大小相同的总数为个的黑球、白球若从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则从中任意摸出个球，得到的都是白球的概率为______．
14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．
15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有值之和为___________．
16．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.
17．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．
18．使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为__________．
数据：，
，
，
，
19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：已知这组数据的平均数与中位数均为，则其方差为__________．
20．在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．
三、解答题
21．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时大学生/人51015128
（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；
（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间，的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.
22．某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：
车辆数x1018263640用次卡消费的车辆数y710171823
Ⅰ根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的结果保留两位小数
Ⅱ试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中，．
23．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
年份x20112012201320142015储蓄存款y（千亿元）567810
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：
时间代号t12345z01235
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少
（附：对于线性回归方程，其中）
24．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于分钟的有人
(1)求的值;
(2)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“读书之星”与性别有关
非读书之星读书之星总计男女总计
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取名学生，每次抽取名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量，求的分布列和期望
附：，其中.
25．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：
（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；
（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.
26．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
【参考答案】试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可知该程序运行过程中，时，判断框成立，时，判断框不成立，即可选出答案。
【详解】
根据题意可知程序运行如下：，；
判断框成立，；
判断框成立，；
判断框成立，；
判断框成立，；
判断框成立，；
判断框成立，；
判断框不成立，输出.
只有B满足题意，故答案为B.
【点睛】
本题考查了程序框图，属于基础题。
2．C
解析：C
【解析】
分析：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，可得正边形面积是，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.
详解：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，
每一个等腰三角形两腰是，顶角是，
所以正边形面积是，
当时，；
当时，；
当时，；符合，输出，故选C.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.
【详解】
由题意结合流程图可知流程图输出结果为，
，
.
本题选择C选项.
【点睛】
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
4．C
解析：C
【解析】
分析：写出从红球个、白球个、黑球个中随机摸出个球的取法情况，然后逐一核对四个选项即可得到答案
详解：从红球个、白球个、黑球个中随机摸出个球的取法有：
个红球，个白球，红黑，红白，黑白共五种情况
则与事件“至少有个白球”互斥但不对立的事件是红球，黑球各一个包括红白，黑白两种情况．
故选
点睛：本题主要考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题，只要理解其概念，结合本题列举出所有情况即可得出结果．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.
【详解】
由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，
∵
∴，
又在R上为减函数，在上为增函数，
∴＜，＜
故最大值为，输出的为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据几何概型的概率公式，设AC＝x，则BC＝10﹣x，由矩形的面积S＝x（10﹣x）＜16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解．
【详解】
设线段的长为，则线段长为，
那么矩形面积为，或，又，
所以该矩形面积小于的概率为.
故选：C
【点睛】
本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据新运算的定义,,即求恒成立,整理后利用判别式求出范围即可
【详解】
对于任意的实数恒成立,
,即恒成立,
,
故选：C
【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题,当时,利用判别式是解题关键
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．
【详解】
如图所示，
线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，
则点P到点M，N的距离都大于2的概率为．
故选D．
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.
【详解】
能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况.
其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.
10．B
解析：B
【解析】
∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n(n?3,n∈N?)个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.
故选B
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.
【详解】
由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，
可得，
因为，
所以，
故选D.
【点睛】
本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题.算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
由圆的面积公式得：，由正方形的面积公式得：，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：，得解．
【详解】
由圆的面积公式得：，
由正方形的面积公式得：，
由几何概型中的面积型可得：
，
所以，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．
二、填空题
13．【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球白球若从袋中任意摸出2个球共有10种没有得到白球的概率为设白球个数为x黑球个数为5-x那么可知白球共有3个黑球有2个因此可知填写为
解析：
【解析】
因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为
14．【解析】
15．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值
解析：
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的的值,然后求和即可.
【详解】
输入，
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，；
退出循环，可得所有值之和为
，故答案为10.
【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
16．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1
解析：
【解析】
【分析】
由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
【详解】
由题意，一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只篮球，从中1次随机摸出2只球，则基本事件的总数为种情况，
又由2只颜色相同包含的基本事件个数为，
所以2只颜色相同的概率为。
故答案为。
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，利用排列、组合的知识分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
17．【解析】【分析】先算出基本事件总数再求出甲被选上包含的基本事件个数即可求得甲被选上的概率【详解】从甲乙丙丁四人中选人当代表基本事件总数甲被选上包含的基本事件个数则甲被选上的概率为故答案为【点睛】本题
解析：
【解析】
【分析】
先算出基本事件总数，再求出甲被选上包含的基本事件个数，即可求得甲被选上的概率
【详解】
从甲、乙、丙、丁四人中选人当代表，
基本事件总数
甲被选上包含的基本事件个数
则甲被选上的概率为
故答案为
【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题。
18．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据
解析：
【解析】
【分析】
分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为，M的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.
【详解】
仔细分析程序框图的作用和功能，
所解决的问题是找出一组数据的最大值，
并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，
所以答案是9.7,8.
【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.
19．【解析】分析：根据中位数为求出是代入平均数公式可求出从而可得出平均数代入方差公式得到方差详解中位数为这组数据的平均数是可得这组数据的方差是故答案为点睛：本题主要考查平均数与方差属于中档题样本数据的算
解析：
【解析】
分析：根据中位数为，求出是，代入平均数公式，可求出，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差.
详解中位数为，这组数据的平均数是，可得这组数据的方差是，故答案为.
点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为．样本方差，
标准差.
20．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力
解析：512
【解析】
分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换，得结果.
详解：因为四位八进制数最小数为，所以.
点睛：本题考查不同进制数之间转换，考查基本求解能力.
三、解答题
21．（1）频率分布直方图见解析，中位数约为5.33小时；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，完成频率分布表，可完成频率分布直方图，设中位数为，则，可得中位数；
（2）分别求出从6人中随机抽取2人总的事件数及2人取自不同使用时间区间的事件数，由古典概型公式可得概率.
【详解】
解：（1）根据题意，可将数据做如下整理：
使用时间/时大学生/人51015128频率0.10.20.30.240.16频率/组距0.050.10.150.120.08
设中位数为，则，解得.
∴大学生每天使用手机时间的中位数约为5.33小时.
（2）用分层抽样的方法从使用时间在区间，中抽取的人数分别为1，2，3，分别设为所有的基本事件为这2名大学生取自同一时间区间的基本事件设这2名大学生取自不同使用时间区间为事件，符合条件的总事件数为15，在同一区间内的情形有4种情况，∴，
故这2名年轻人取自不同使用时间区间的概率为.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图及系统抽样的相关性质，考查了分层抽样的使用及概率的求法，考查了推理与计算能力，是中档题.
22．(Ⅰ)；(Ⅱ)27.
【解析】
【分析】
Ⅰ由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；Ⅱ在Ⅰ中求得的线性回归方程中，取求得y值，则答案可求．
【详解】
Ⅰ，．
，
．
．
．
则y关于x的线性回归方程为；
Ⅱ由Ⅰ的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是．
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
23．（Ⅰ）（Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x，y的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；
（Ⅱ）t=x﹣2010，z=y﹣5，代入z=1.2t﹣1.4得到：y﹣5=1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可．
试题解析：
（Ⅰ）
，
（Ⅱ），代入得到：
，即
，
预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元
点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
24．（1）,n=100,（2）表见解析，没有以上的把握认为“读书之星”与性别有关（3）分布列见解析，
数学专题训练
一、填空题
1、在等号左边填一个合适的数，再分解因式：
2、函数的定义域是_________.
3、在坡度为的斜坡上每走13米就上升________米.
4、如图，直升机飞行时,高度保持为100米。飞机在点A处看到地面控制点C的俯角为11018’。从点A到达控制点C上空B处，飞机还要飞_______米.
(sin11018’=0.196,cos11018’=0.981,tg11018’=0.200,ctg11018’≈5.00)
5、已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是边AC上一点，连BD，若沿直线BD翻折，点A恰好落在边BC上，则AD：DC=。
6、如图，Rt△ABC中，∠C=900，AC=1，BC=2。将△ABC绕顶点C旋转，点A转到BC边上的点A’处，点B转到点B’处。延长B’A’交AB于点D，则S△BA’D=_____________．
7、将一副直角三角尺如图摆放在一起，连接AD,则∠DAC的余切值为：。
8、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是.
9、要使正五边形绕着它的中心旋转后能与它本身重合，至少要旋转度.
10、在中，,如果,那么的内心到斜边的距离是.
二、选择题
11、已知x＞y＞0，则下列不等式中错误的是
A、B、C、D、
12、下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是…………………………
(A)等边三角形(B)等腰梯形(C)圆(D)平行四边形
13、下列命题中真命题是………………………………………………………………
（A）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（B）既是中心对称又是轴对称的多边形是正多边形；
（C）如果三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（D）如果一直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似，那么这条直线平行于三角形的第三边；
14、下列命题中，是假命题的是
（A）任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形
（B）任意一个等腰三角形一定能分成两个全等的直角三角形
（C）两个全等的直角三角形一定能组成一个等腰三角形
（D）两个等腰三角形一定能组成一个直角三角形
三、解答题
15、如图2，已知四边形是梯形，∥，四边形是平行四边形，延长交于点，延长交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
16、某厂现有40台机器，平均每台机器每天生产300个零件，现准备增加一批同型号的机器（不超过15台）以提高生产总量，在试生产过程中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，就会使所有机器平均每天每台少生产4个零件.若每天需要生产12600个零件，则需要增加多少台机器
17、如图，CD是一幢3米高的温室，其南面窗户的底框E距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（A、C、F在同一水平线上）
（1）试按比例作出楼房AB及它的最大影长AG；
（2）大楼AB建成后是否会影响温室通过窗户DE的采光？试说明理由。
18、已知二次函数，顶点为.
（1）求的值；
（2）设这个二次函数的图象与轴的交点是A、B（B在点A右边），与轴的交点是C，求A、B、C的坐标；
（3）求证：⊿OAC∽⊿OCB；
（4）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与轴相交，且在轴上两交点的距离为3时，求圆心P的坐标.
19、如图，抛物线顶点为P（1，-1），与x轴交于O、A两点,其中O为原点,点C是对称轴与x轴的交点。
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）试在抛物线上找点D，在对称轴上找点Q，使得以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似。请求出所有可能的点D和点Q的坐标。
20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4．左右做平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上．
（1）求△DEF的边长；
（2）在△DEF做平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）假设点C与点F的距离为x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域．
21、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，AD＝6，BC＝12，点E在
AD边上，且AE：ED＝1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）
过点P作PQ∥CE，交BC于Q，设BP＝x，CQ＝y，
（1）求CosB的值；
（2）求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接EQ，试探索△EQC有无可能是直角三角形，若可能，试求出x的值，若不能，请简要说明理由。
AED
P
BQC
17、（1）如图所示。………………(3分)
[注：图形的精确程度，不作过高要求；
主要看：光线BG与DF基本平行；比例大致吻合。
如AB的高度基本是CD的4倍。]
（2）影响。理由如下：
设BG交CD于点M，
过点M作MH⊥AB，垂足为H，
则MH=AC=7，………(5分)
∵BG∥DF，∴∠BMH=∠BGA=∠DFC，
又∠BHM=∠DCF=90°
∴△BHM∽△DCF………(7分)
∴……………(8分)
又MH=7∴BH=10.5……………(9分)
从而CM=AH=12-10.5=1.51
∴点M在点E的上方，从而影响采光。………………(10分)
24、解:（1）∵抛物线的顶点为P（1，-1）,
∴…………………………………………（2分）
又抛物线经过原点O，
∴∴…………………………………（3分）
∴抛物线的解析式为
即：……………………………………（4分）
对称轴为：直线x=1,∴C点坐标为（1，0）……………………（5分）
（2）由（1）知，OC=1，PC=1，∠OCP=90°
∴△OPC为等腰直角三角形。…………………………(6分)
要使以P、D、Q为顶点的三角形与△OPC相似，则△PDQ也一定为等腰直角三角形。
显然，∠DPQ不可能是90°，所以∠DPQ=45°……………(7分)
∴点P在直线PO或直线PB上。
∴点D只能是（0，0），或（2，0）…………………………(9分)
当D为（0，0）时，若∠DQP=90°，则点Q与点C重合，
从而△PDQ与△OPC重合，不合，舍去；
若∠PDQ=90°，则点Q的坐标为（1，1）……………(10分)
当D为（2，0）时，若∠DQP=90°，则点Q与点C重合，即点Q的坐标为（1，0）；
若∠PDQ=90°，则点Q的坐标为（1，1）……………(11分)
所以,符合题意的点D和点Q为：D（0，0）、Q（1，1）；
D（2，0）、Q（1，0）；
D（2，0）、Q（1，1）；……………(12分)
25．解：（1）过点A作AH⊥BC，则BH=3，从而cosB=。…………（3分）
（2）过点E作EF∥AB，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，
又BP=x，BQ=12-y,
不难得△BPQ∽△FEC，∴，即，…………（6分）
∴，…………（8分）
（3）显然∠ECQ≠90°，且tg∠ECQ=，CE=，cos∠ECQ=，…（9分）
若∠EQC=90°，则CQ=7，即y=7,从而x=；…………（11分）
若∠QEC=90°，则cos∠ECQ==，即，
y=，从而x=；…………（（13分）
综上，x=或x=…………（14分）
25．解：（1）∵∠DCE=60°，∠B=30°，∴∠CDB=90°．……………………（1分）
∵BC=4，∴CD=2，即△DEF的边长等于2．……………………………（1分）
（2）CF=GD．……………………………………………………………………（1分）
证明：∵BC=4，EF=2，∴BE=2-CF．
∵∠DEF=60°，∠B=30°，∴∠BGE=30°．…………………………（1分）
∴∠BGE=∠B．……………………………………………………………（1分）
∴GE=BE=2-CF．…………………………………………………………（1分）
∴DG=2-GE=2-(2-CF)=CF．……………………………………………（1分）
（3）∵∠DGH=∠BGE=30°，∠D=60°，∴∠DHG=90°．………………（1分）
∴，．
∴S△DHG=．…………………………………………（1分）
而S△DEF=．………………………………………………（1分）
∴y=S△DEF-S△DHG=，
即所求函数的解析式为．…………………………………（1分）
定义域为．…………………………………………………………
2012年全国统一数学试卷(文科)(新课标)及解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012?新课标）已知集合A={xx2﹣x﹣2＜0}，B={x﹣1＜x＜1}，则
A．A?BB．B?AC．A=BD．A∩B=
2．（5分）（2012?新课标）复数z=的共轭复数是
A．2+iB．2﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）（2012?新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．﹣1B．0C．D．1
4．（5分）（2012?新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A．B．C．D．
5．（5分）（2012?新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）
6．（5分）（2012?新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B．为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5分）（2012?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6B．9C．12D．18
8．（5分）（2012?新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．πB．4πC．4πD．6π
9．（5分）（2012?新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
A．B．C．D．
10．（5分）（2012?新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为
A．B．C．4D．8
11．（5分）（2012?新课标）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
12．（5分）（2012?新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为
A．3690B．3660C．1845D．1830
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012?新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．
14．（5分）（2012?新课标）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=．
15．（5分）（2012?新课标）已知向量夹角为45°，且，则=．
16．（5分）（2012?新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为则M+．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2012?新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（12分）（2012?新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920频数10201616151310
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12分）（2012?新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
20．（12分）（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线，直线n与行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．
21．（12分）（2012?新课标）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）（2012?新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．（2012?新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PA2+PB2+PC2+PD2的取值范围．
24．（2012?新课标）已知函数f（x）=x+a+x﹣2
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤x﹣4的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x﹣1＜x＜2}，
∵B={x﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B?A．
故选B．
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）
【考点】相关系数．
【专题】规律型．
【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5分）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得PF2=F2F1，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴PF2=F2F1
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5分）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题．
【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+即C（1+，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（x﹣1）
当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣
∴
故选A
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．
6．（5分）
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=×6×3×3=9．
故选B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8．（5分）
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为：=．
所以球的体积为：=4π．
故选B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5分）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
10．（5分）
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
将A点坐标代入双曲线方程得=4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5分）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
12．（5分）
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用
数列的结构特征，求出{an}的前60项和．
【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，
故选D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．
故答案为：y=4x﹣3．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（5分）
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴（q﹣1）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1
15．（5分）
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由已知可得，=，代入2====可求
【解答】解：∵，=1
∴=
∴2====
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质=是求解向量的模常用的方法
16．（5分）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）==，
令，则为奇函数，
∴的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）=
∴A﹣30°=30°
∴A=60°
（2）由
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12
∴b+c=4
解得：b=c=2
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12分）
【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N）（6分）
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
19．（12分）
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．（12分）
【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p
点A到准线l的距离，
∵△ABD的面积S△ABD=，
∴=，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设，则，
∵A，B，F三点在同一直线，
高中数学
总事件，分事件，求概率。
且或非，原逆否，断真假。
线线面面，几何图形，三维空间。
XY原点，函数图形，千变万化。
不等方程，相互联立，区域求解。
数学试题真题
注意事项：
1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.
卷一（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）
1.集合，则等于
A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}
2.不等式的解集是
A.(,4)B.(,6)C.D.
3.函数的定义域是
A.B.C.D.
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在等比数列中，则的值是
A.B.5C.D.9
6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为
第6题图
A.B.C.D.
7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是
A.B.
C.D.
.8.关于函数，下列叙述错误的是
A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线
C.函数的单调递减区间是D.函数的图象经过点（2,0）
9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是
A.10B.20C.60D.100
10.如图所示，直线l的方程是
第10题图
A.B.
C.D.
11.对于命题p,q,若是假命题，是真命题，则
A.p,q都是真命题B.p,q都是假命题C.p,q一个是真命题一个是假命题
D.无法判断
.12.已知函数是奇函数，当时，则的值是
A.B.C.1D.3
.13.已知点在函数的图象上，点A的坐标是（4,3），则的值是
A.B.C.D.
14.关于x，y的方程，给出下列命题：
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；
③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；
⑤当时，方程表示椭圆.
其中，真命题的个数是
A.2B.3C.4D.5
15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是
A.0B.C.D.32
.
16.不等式组表示的区域（阴影部分）是
ABCD
17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是
A.B.C.D.
.18.已知向量则的值等于
A.B.C.1D.0
19.已知表示平面，表示直线，下列命题中正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若则
20.已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是
A.B.C.2D.3
卷二（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.
22.在△ABC中则BC=.
.23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.
.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于.
.25.集合都是非空集合，现规定如下运算：
.且.
若集合，其中实数a，b，c，d，e，f，满足：①；②；③.则.
三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.
.
27.（本小题8分）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：
（1）函数的最小正周期T及的值；
（2）函数的单调递增区间.
15SD7第27题图
.28.(本小题8分)已知函数（且）在区间上的最大值是16.
(1)求实数a的值;
(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.
29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，.
(1)求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：.
15SD8第29题图
30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.
15SD10第30题图
答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】.
3.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】且得该函数的定义域是.
4.【考查内容】充分、必要条件
【答案】C
【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.
5.【考查内容】等比数列的性质
【答案】D
【解析】，.
6.【考查内容】向量的线性运算
【答案】B
【解析】.
7.【考查内容】终边相同的角的集合
【答案】A
【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是
8.【考查内容】二次函数的图象和性质
【答案】C
【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）
10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.
11.【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】
13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模
【答案】D
【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算
【答案】A
【解析】
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A.若，则或n在内；B.若，则或异面；D.若且相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
【解析】的坐标为，设P点坐标为，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.
21.【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】
【解析】由正弦定理可知，,
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】
【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，则短轴长为
26.【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.
答：第一排应安排18名演员
【考查内容】正弦型函数的图象和性质
【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.
(2)因为函数的单调递增区间是.
所以，解得，
所以函数的单调递增区间是
【考查内容】指数函数的单调性
【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
当时，函数在区间上是增函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，
又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.
(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,
所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.
【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系
【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，
所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，
所以抛物线方程是.
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，
则方程为，整理得，
设联立直线l与抛物线的方程得,
消去y，并整理得，
于是.
由①式变形得，代入②式并整理得，
于是，又因为，所以，即，
，解得或.
当时，直线l的方程是，不满足，舍去.
当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.
25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集
【答案】
【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，.
