高中数学必修一
数学必修3统计知识点总结
随机抽样
简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n<=N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
1.简单随机抽样常用的方法：
(1)抽签法;⑵随机数表法;
(1).抽签法:
第一步：将总体的所有N个个体从0至(N-1)编号;
第二步：准备N个号签分别标上这些编号，将号签放在容器中搅拌均匀后每次抽取一个号签，不放回地连续取n次;
第三步：将取出的n个号签上的号码所对应的n 个个体作为样本。
(2).随机数表法：
第一步：将总体的所有N个个体从0至(N-1)编号
第二步：在随机数表中选出开始的数字;
第三步：从选定的数开始，按一定方向读数，若得到的号码大于总体编号或与前面所取出的号码重复的去掉，取出N以内
的数，如此进行下去，直到取满为止，将这n个号码所对应的个体作为样本。
系统抽样
当总体中的个体数较多时,将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样.
(1)先将总体中的N个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码.
当K不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止。
(3)第一段用简单随机抽样确定起始号码l
高一数学必修5课件
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建 立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分 析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想
问 题设计意图师生活动
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课．师： 启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课．
生：回顾，说出自己的看法．
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法
理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想．师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法．
生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法．
问 题设计意图师生活动
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方 法解决例4的问题
指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择．师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求 解．
生：自 学例4，并完成练习题1、2．
师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求 ，注意给学生留有总结思考的时间．
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的认识．教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值．
5 ．你能利用“坐标法”解决例5吗？巩 固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问 题的能力．师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
生：建立适当的直角坐标系， 探求解决问题的方法．
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4．使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤． 教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4．教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据．
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识．学生独立解决第141页习题4．2A第8题，教师组织学生讨论交流．
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决问对知识进行归纳概括，体会利 师：指导 学生完成练习题．
生：阅读教科书的例3，并完成第
问 题设计意图师生活动
题的需要准备什么工作
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用“坐标法”解决实际问题的作用． 教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究．
高一数学必修课件
教学目标
1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。
2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。
教学难点
幂函数图像和性质的发现过程
教学重点
幂函数的性质及运用
教学过程
一、 教学导入
数学和日常生活是密不可分的，观察下列问题中的函数个有什么共同特征
(1)如果李斯在超市买了每支1元的水笔n(支)，那么他应支付p=n元。这里p是n的函数。
(2)如果正方形的边长a，那么正方形的面积为S=a2 ，这里S是a的函数。
(3)如果立方体的边长a，那么立方体的体积为V=a3 ，这里V是a的函数。
(4)如果正方形的面积为S，那么这个正方形的边长为a=S ，这里a是S的函数。
(5)如果壮壮t(s)内骑车行进了1(k，那么他骑车的平均速度为v=t-1 ( )，这里v是t的函数。
由学生讨论，总结，即可得出:p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自变量的若干次幂的形式。
这节课，我们将来共同学习另一种函数--幂函数(老师板书课题)
二、 讲授新课
1、定义:一般地，函数y=xa 叫做幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
判断一个函数是否是幂函数?注意:①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数，指数可以是任意实数。
例1、(1)y=xa 与y=ax 一样吗
(2)在函数y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪几个函数是幂函数
(3)已知幂函数y=f(x)的图像过点(2， )，试求出这个函数的解析式。
2、对于幂函数y=xa ，讨论当a=1，2，3， ，-1时的函数性质
表格如下:
y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1
定义域
值 域
奇偶性
单调性
定 点
下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函数的图像，其他同学可以在同一坐标系内作五个幂函数的图像。(要给学生留出充分时间去研究函数性质)
通过观察图像与表格
(1)函数y=x，y=x2 ，y=x3 ，y=x 和y=x-1 的图像都通过(1，1) ;
(2)函数y=x ，y=x3 ，y=x-1 是奇函数，函数y=x2 是偶函数;
(3)在第一象限内，函数y=x，y=x2 ，y=x3 和y=x 是增函数，函数y=x-1 是减函数;
(4)在第一象限内，函数y=x-1 的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。
例2、求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性
(1)f(x)=-2x5 (2)g(x)=x4+2
(3)f(x)=-x+ x (4)g(x)=5x+ x
3、拓展题
证明幂函数f(x)= x3在R上是增函数
三、 课外作业
P49 习题2-5 A组 1、2
教学后记
本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质，画五个幂函数的图像并由图像概括其性质是教学中可能遇到的困难，所以要注意引导学生亲自动手画图像、分组讨论等形式，让学生自己去探究，把主动权交给学生。
高一数学必修1课件
一、目标:
用五点法画函数 的图象.
二、重点难点:
重点是用五点法列表画函数画图;
难点是五点的确定.
三、过程:
【创设情境】
在物理学中，物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为
这里Ａ是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间
称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数
称为振动的频率； 称为相位，t=0时的相位 称为初相．
在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如 的函数,今天我们来探究函数 的图象与函数 的图象关系.
【自主学习 探索研究】
1.作函数 和 的图象 (学生用五点法列表画图)
010-10
010-10
描点画图,思考上述两函数的图象五点差异.
(函数 的五点横坐标可以看作函数 的图象上五点横坐标减去 而得.纵坐标不变)
2.作函数 的图象
(学生五点法列表画图)回答函数 的图象与函数 五点差异
思考：函数 的图象与函数 的图象有什么关系
3.作函数 和 的图象
(学生五点法列表画图)回答上述两函数的图象关系? 图象上的五点与函数 五点差异.
5.函数 的图象并与函数 的图象比较之间的关系
6.思考函数 的五点如何确定
7.课堂练习
(1)用五点法画函数 的图象
(2)课本p.42.练习5
【提炼总结】
1. 用五点法画三角函数图象时,要先确定周期,再将周期四等份,找出五个关键点:1, , , ,,然后再列表画图;
2.作图时,要注意坐标轴刻度,x轴是实数轴,角一律用弧度制.
四、布置作业
1.修改并保留本节课列表画图所得图象;
对数函数的概念与图象3
一、内容与解析
(一）内容：对数函数的概念与图象
（二）解析：本节课要学的内容是什么是对数函数，对数函数的图象形状及画法,其核心是对数函数的图象画法,理解它关键就是要理解掌握对数函数的图象特点.学生已经掌握了指数函数的图象画法及特点，函数图象的一般画法,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是研究对数函数性质的依据,是本学科的核心内容.的重点是对数函数的图象特点与画法,解决重点的关键是利用函数图象的一般画法画出具体对数函数的图象，从而归纳出对数函数的图象特点，再根据图象特点确定对数函数的一般画法。
二、目标及解析
(一)教学目标:
1，理解对数函数的概念；掌握对数函数的图象的特点及画法。
2，通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的函数图象的画法逐步认识对数函数的特征；
3，培养学生运用类比方法探索研究数学问题的素养，提高学生分析问题、解决问题的能力。
(二)解析:
1，理解对数函数的概念是来源于实践的，能从函数概念的角度阐述其意义；掌握对数函数的图象和性质，做到能画草图，能分析图象，能从图象观察得出对数函数的单调性、值域、定点等；了解同底指数函数和对数函数互为反函数，能说出它们的图象之间的关系，知道它们的定义域和值域之间的关系，了解反函数带有逆运算的意味；
2，通过具体的实例，归纳得出一般的函数图象特征，并能够通过图象特征得到相应的函数特征，培养学生的作图、识图的能力和归纳总结能力；
3，类比指数函数的图象和性质的研究方法，来研究对数函数，让学生认识到研究问题的方法上的一般性；同时，让学生认识到类比这一数学思想，即对相似的问题可以借鉴之前问题的研究方法来研究，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、问题诊断分析
本节课容易出现的问题是：对数函数的图象特点的探究容易出现图象不对、归纳不全、有所偏差等情形。出现这一问题的原因是：学生作图能力、识图能力、归纳能力不强。要解决这一问题，教师要通过让学生类比指数函数图象和性质的探究，时时回过头看看之前是怎么做的，考虑了哪些问题，得到了哪些结论，让学生类比自主探究，必要时给予适当引导，让学生自主的得出结论，对于出错的地方要让学生讨论，教师做出适当的评价并最终给出结论。
高中必修一2单元人教版作文：数学大冒险
大家好，我是数学精灵聪聪，我这次遇到了一些麻烦。恶魔臭皮蛋玛利和他的手下，听说“智慧岛”里有一颗无穹的宝石，谁要碰一下都有无穹的智慧。
小精灵聪聪决不让这些坏蛋们拿走宝石，这样，我和聪聪决心把宝石放回智慧爷爷那里，说干就干!
这时我们来到“口算”的地盘，口算说：“我出十道口算题，要是你们对了，我放你们过去，要是答错了“嘻嘻嘻”你们就要帮我扫一年房间”。我探了探脑袋说：“哇!你房间还真臭呀!”口算说：“不管臭不臭，我开始了，第1道：600÷3=20，第2道：986÷2=493，第3道：428÷2=214，第4道：0.64÷8=0.08,第5道：1.2×5=6,第6道：15×5=75,第7道：4.05×1=4.05,第8道：3.6+4.8=8.4,第9道：10-4.8=6.4,第10道：0.9×0.5=0.45。”“看，我都答对了。”我自满的说。口算：“你通过了。”
我们又来到了年月日的地盘，年月日说：“请问一年有几个月，有31天的是大月，还是小月，有30天是大月还是小月?”我回答说：“一年有12个月，有31天的月份是大月，有30天的月份是小月。”年月日说：“这是简单垢了，下面的更难。”我说：“我不怕。”年月日说：“你口气不小呀。请问：2月只有几天的，这一年是平年，有几天的这一年是闰年?”我回答说：“2月只有28天的，这一年是平安，在29天的这一年是闰年。”“恭喜你通过了。”年月日笑着说。通常每4年里有3个平年，1个闰年。公历年份是4的倍数的一般是闰年，公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。例如，2017年闰年，而212017年是平年。走着走着，我看见平移了，才发现这是平移的地盘，平移说：“什么运动是平移?“这太简单了吧，火车，电梯和缆车的运动是平移。”我开心的说，平移说：“你们通过了。”
我们走着走着，看见有一扇金色的大门，门上有许多的数字，这时飞来了一个小天使，天使说：“这是最后一关了，你们一定要通过呀!”原来是在□里填上适当的数。
28=(5)+(23)
42=(2)×(3)×(7)
22=(11)×(2)
18=(7)+(11)
24=(17)+(7)
15=(3)×(5)
小天使说：“恭喜你通过了。”请进入智慧岛吧，门一打开，里面漂亮极了，我们坐着数字飞船来到智慧峰，峰顶看到了闪闪发光的智慧宝石了，我刚想碰一下，臭皮蛋的手下一把抢了过去，小精说：“你们怎么来了，你们不是在口算那里打扫呀!”玛利说：“它找昏了”“们怎么能这样”我气气的说，玛利说：“我不管，反正我拿到了宝石了。我是世界上最聪明的人了。”这时宝石自动飞向我的手中，宝石的守护神说：“只有喜欢数学，爱数学，才能拥有我。”玛利只好去扫房间了。这次冒险结束了，我收获了许多知识，也懂得了一个道理，我要爱数学，智慧就会大增。
数学必修
§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一集合的概念
元素与集合的概念
(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)．
集合通常用英语大写字母A，B，C，…来表示．
(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．
元素通常用英语小写字母a，b，c，…来表示．
知识点二元素与集合的关系
思考1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数
答案1是整数；不是整数．没有．
梳理元素与集合的关系
关系语言描述记法读法属于a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于a不是集合A的元素a?Aa不属于集合A
知识点三元素的三个特性
思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合
答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
梳理集合元素的三个特性
元素意义确定性元素与集合的关系是确定的，即给定元素a和集合A，a∈A与a?A必居其一互异性集合中的元素互不相同，即a∈A且b∈A时，必有a≠b无序性集合中的元素是没有顺序的
知识点四集合的分类及常用数集
1．集合的分类
集合
2．常用数集
名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或NZQR
1．若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)
2．0∈N但0?N＋.(√)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)
类型一判断给定的对象能否构成集合
例1考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
解(1)对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
答案B
解析A中，“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中，没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二元素与集合的关系
命题角度1判定元素与集合的关系
例2给出下列关系：
①∈R；②?Q；③－3?N；
④－∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
答案B
解析是实数，①对；
不是有理数，②对；
－3＝3是自然数，③错；
－＝为无理数，④错；
0是自然数，⑤错．
故选B.
反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2用符号“∈”或“?”填空．
－________R；
－3________Q；
－1________N；
π________Z.
答案∈∈
命题角度2根据已知的元素与集合的关系推理
例3集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
答案0,1,2
解析∵x∈N，∈N，
∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中的元素有0,1,2.
反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3已知集合A中元素满足2x＋a0，a∈R，若1?A,2∈A，则
A．a－4B．a≤－2
C．－4a－2D．－4a≤－2
答案D
解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a0，a－4，
∴－4a≤－2.
类型三元素的三个特性的应用
例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同
考点元素与集合的关系
题点由元素与集合的关系求参数的值
解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，与集合B中元素不相同．
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．
答案1
解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.
当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．
当a2－1＝0时，a＝±1.
a＝－1(舍)，∴a＝1.
此时，A＝{2,0}，符合题意．
1．下列给出的对象中，能组成集合的是
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案D
2．下面说法正确的是
A．所有在N中的元素都在N＋中
B．所有不在N＋中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案C
3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为
A．1B．2C．3D．4
答案C
4．下列结论不正确的是
A．0∈NB.?QC．0?QD．－1∈Z
答案C
5．已知集合A是由0，－3三个元素组成的集合，且2∈A，则实数
A．2B．3
C．0或3D．0,2,3均可
答案B
解析由2∈A可知：若，则－3＝0，这与－3≠0相矛盾；
若－3＝2，则或，
当时，与相矛盾，
当时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素是否属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合是否相等．
课时对点练一、选择题
1．已知集合A由x1的数构成，则有
A．3∈AB．1∈A
C．0∈AD．－1?A
答案C
解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则
A．0∈AB．a＝A
C．a∈AD．a?A
考点元素与集合的关系
题点判断元素与集合的关系
答案C
解析∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0?A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3．由实数x，－x，x，－所组成的集合，最多含
A．2个元素B．3个元素
C．4个元素D．5个元素
答案A
解析由于＝x，－＝－x，并且x，－x，x之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
4．已知x，y为非零实数，代数式＋所有可能的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是
A．0?MB．1∈M
C．－2?MD．2∈M
答案D
解析①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，所以集合M的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是
A．－1?AB．－11∈A
C．3k2－1∈AD．－34?A
答案C
解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.
令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
6．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则
A．a∈AB．a2∈A
C.?AD．a＋1?A
考点元素与集合的关系
题点判断元素与集合的关系
答案A
解析a＝＋＋＝45，∴a∈A.
a＋1＋＋1＝5，∴a＋1∈A.
a2＝2＋2·＋2＝5＋25.∴a2?A.
＝＝＝－5.
∴∈A.
故选A.
二、填空题
7．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．
答案1
解析易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．
8．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②D∈/Q；③0∈N＋；④－4D∈/N＋.
答案2
解析∵π是实数，是无理数，0不是正整数，－4＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
答案6
解析∵x∈N,2＜x＜a，且P中只有三个元素，∴结合数轴知a＝6.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是____________________．
答案x≠0,1,2，
解析由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若集合A与集合B中的元素相同，则a＋b＝____.
答案－1
解析∵若集合A与集合B中的元素相同，0∈B，
∴0∈A.
又a≠0，∴＝0，则b＝0.
∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.
由元素的互异性知，a＝－1，
∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－.
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
解(1)2∈A，则∈A，
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，(a≠1，且a≠0)，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．
同理≠，a≠，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，且三个数的乘积为－1.
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是
A．{1,2,3}B．{1,2}
C．{0,1}D．{0,1,2}
答案B
解析由题意知：
解得
∴集合A＝{0,1,2}，
则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.
故集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．故选B.
15．已知集合A中的元素x均满足x＝－n2(∈Z)，求证：
(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
证明(1)令∈Z，n＝1∈Z，
得x＝－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在∈Z，使4k－2＝－n2＝成立．
①当同奇或同偶时，均为偶数，
所以为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当一奇一偶时，均为奇数，
高一数学必修一函数图像知识点总结
本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。
一、函数的单调性
1、函数单调性的定义
2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法
二、函数的奇偶性和周期性
1、函数的奇偶性和周期性的定义
2、函数的奇偶性的判定和证明方法
3、函数的周期性的判定方法
三、函数的图象
1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法
2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
常见考法
本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。
误区提醒
1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
高一数学必修1课件
目标：
了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。批 注
重点：使学生掌握高中数学学习基本方法。
教学难点：如何激发学生学习数学的兴趣.
教学用具：投影仪.
教学方法：学生通过自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成高中的学习.
教学过程：
一、欢迎词：
1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。
2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求
3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，…
4、本节和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？新程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求
二、几个问题：
1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。
2.如何学数学：
请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。
高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些后练习册，教材上每复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.
3.高中数学知识结构：
书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。
知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列）
能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。
4.新程标准的基本理念：
①构建共同基础，提供发展平台； ②提供多样程，适应个性选择； ③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力； ⑤发展学生的数学应用意识； ⑥与时俱进地认识“双基”； ⑦强调本质，注意适度形式化； ⑧体现数学的化价值； ⑨注重信息技术与数学程的整合； ⑩建立合理、科学的评价体系。
5.本期数学教学、活动安排：
本期学习内容：高一必修①、②，共72时，必修① 第一13时(4+4+3+1+1)＋第二14时(6+6+1+1)＋第三9时(3+4+1+1)；必修②第一8时（2+2+2+1+1）＋第二10时（3+3+3+1）＋第三9时（2+3+3+1）＋第四9时（2+4+2+1）.
上方式：每周新授5节，问题集中1节（双节连排时）。
学习方式：预习后做节后练习；补充知识写在书的边缘；
主要活动：学校、全国每年的数学竞赛；数学外活动等。
6.作业要求： （期末进行作业评比）
① 堂作业设置两本；② 提倡用钢笔书写，一律用铅笔、尺规作图，书写规范；③ 墨迹、错误用橡皮擦擦干净，作业本整洁；④ 批阅用“？”号代表错误，一般点在错误开始处；⑤ 更正自觉完成；⑥ 练习册同步完成，按进度交阅，自觉订正；⑦ 当天布置，当天第二节晚自习之前交（若无晚自习，则第二天早读之前交）。⑧ 每次作业按A、B、C、D四个等级评定，每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、教师评定等级，得分A，B为优良等级，A为优秀等级。
三、了解情况：
初中数学开情况；暑假自学情况；作图工具准备情况。
四．请同学们预习教材.
高中必修一数学知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：X Kb 1.C o非负整数集(即自然数集) 记作：N
正整数集 ：N*或 N+
整数集： Z
有理数集： Q
实数集： R
1)列举法：{a,b,c……}
2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xR-3>2} ,{x-3>2}
3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合例：{x-5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③ 如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数：
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x A，且x B｝.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x A，或x B}).
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
记作 ，即
CSA=
A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
二、函数的有关概念
1.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)∈A }叫做函数的值域.
注意：
1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象) B(象)”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
有关高一数学必修1知识点总结
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3、集合的表示：{ } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法：列举法与描述法.
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于属于的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R-32}或{x-32}
4、集合的分类：
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例：{x-5｝
二、集合间的基本关系
1.包含关系子集
注意： 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.相等关系(55,且55,则5=5)
实例：设 A={x-1=0} B={-1,1} 元素相同
结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即：A=B
① 任何一个集合是它本身的子集.AA
②真子集:如果AB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三、集合的运算
1.交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作AB(读作A交B),即AB={x,且xB}.
2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B),即AB={x,或xB}.
3、交集与并集的性质：AA = A, A=, AB = BA,AA = A,
A= A ,AB = BA.
4、全集与补集
(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U
