数学工程问题解题技巧

解题思路与技巧

　　1、议论文一般只有一个论点，有的还围绕中心论点提出几个分论点，分论点也是用来证明中心论点的。如：《怀疑与学问》中

　　分论点①：是从消极方面辨伪去妄的必要步骤。

　　中心论点：“学者先要会疑”

　　“学则须疑”

　　分论点②是从积极方面建设新学说启迪新发明的基本条件

　　2、找准论点：论点是明确的判断，是作者看法的陈述。有些文章题目就是中心论点，如《应有格物致知的精神》、《事物的正确答案不止一个》。有的文章开头就提出中心论点，如《谈骨气》在一开头就提出“我们中国人是有骨气的。”有的文章中心论点在中间提出，如《想和做》。有的文章中心论点在篇末。也有文章对论点表述不集中，需要自己去概括。

数学学习方法如何攻克三种题目的解法

　　数学试题分为选择题、填空题和解答题三种题型，选择题、填空题是基础，共76分，解答题是提高分数的关键，攻克这三种题目的解法，特别是选择题的解法，它解法灵活多样，如：直接法、代入法、特值法、排除法、数形结合法等。掌握多种这些解题方法，会使解答试题速度快而准确，同时为解答最后六道解答题赢得了更多的时间。

　　(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

　　(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

　　(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

　　(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。

　　(5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

　　(6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

　　(7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

　　(8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

　　(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

　　高二数学学习方法之六个概念方法

　　一、温故法

　　学习新概念前，如果能对孩子认知结构中原有的适当概念作一些结构上的变化来引进新概念，则有利于促进新概念的形成。

　　二、操作法

　　对有些概念的教学，可以从感性材料出发，让孩子在操作中去发现概念的发生和发展过程。

　　三、类比法

　　这种方法有利于分析两相关概念的异同，归纳出新授内容有关知识;有利于帮助孩子架起新、旧知识的桥梁，促进知识迁移，提高探索能力。

　　四、喻理法

　　为正确理解某一概念，以实例或生活中的趣事、典故作比喻，引出新概念.

　　五、置疑法

　　这种方法是通过揭示教学自身的矛盾来引入概念，以突出引进新概念的必要性和合理性，调动孩子了解新概念的强烈的动机和愿望。

　　六、创境法

　　如在讲相遇问题时，为让孩子对相向运动的各种可能的情况有所感受，可以从研究"鼓掌时两只手怎样运动"开始。通过拍手体验，在边问、边议中逐步讲解。实践证明，如此使孩子犹如身临其境去体验并理解有关知识，能很快准确地掌握相关的数学概念。

　　高二数学学习方法之积累考试经验

　　本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。

　　数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。

　　高考题是最好的习题，它在考查知识点时的切入点新而不俗，它正确地控制了对所考查的知识点的难度。解答一定的高考题，有助于把握高考对该知识点的难度要求；有助于判断高考题目与平时常见题目的异同，增强判断题目信度的能力，防止做偏题、怪题。特别在排列组合二项式定理、复数、立体几何、极坐标、三角部分的高考题，难度不大，而平时所见的复习资料中，有相当的习题已超出高考难度，其实，高考题目中这几部分的习题复习时都能做，并不是很难，更不可怕，可见常做高考题，会克服对高考题的恐惧感。增强将来决胜高考的自信心。

　　做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。

　　复习数学时，要制定好计划，不但要有本学期大的规划，还要有每月、每周、每天的小计划，计划要与老师的复习计划吻合，不能相互冲突，如按照老师的复习进度，今天复习到什么知识点，就应该在今天之内掌握该知识点，加深对该知识点的理解，研究该知识点考查的不同侧面、不同角度。在每天的复习计划里，要留有一定的时间看课本，看笔记，回顾过去知识点，思考老师当天讲了什么知识，归纳当天所学的知识。可以说，每天的习题可以少做，但这些归纳、反思、回顾是必不可少的。望你在制定计划时注意。

　　数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

　　那么如何抓基础呢

　　1、看课本;

　　2、在做练习时遇到概念题是要对概念的内涵和外延再认识，注意从不同的侧面去认识、理解概念。

　　3、理解定理的条件对结论的约束作用，反问：如果没有该条件会使定理的结论发生什么变化

　　与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

　　4、归纳全面的解题方法。要积累一定的典型习题以保证解题方法的完整性。

　　观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

　　死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

　　5、认真做好我们网校同步课堂里面的每期的练习题，采用循环交替、螺旋式推进的方法，克服对基本知识基本方法的遗忘现象。

解决数学问题

　　上星期数学课，我们在学方程，未知数x可是位名副其实的主角。上完课之后，老师对我们说：“x的威力可是很大的哦，学会了之后，就可以解决许多数学难题了。”

　　方程的作用真有这么大吗？我有点不大相信。于是，我便作了一个测试。以前有些奥数题，要用凑出来的笨办法，每次都要花很长时间。这次我把那些题目再拿出来，和妈妈比赛，看谁先把答案算出来。我看完题目后，用方程解了一下。一下子就把答案算出来了。妈妈过了好长时间才算出来。我们又比了一道题目。这道题目我几乎用眼睛一瞄就用方程解出来了，而妈妈虽然比刚才快了一点，但是还是很慢。以前同学们感到很难的“鸡兔同笼”问题，现在用方程一解，就变成了简单的算术题。

　　方程的威力可真大啊，x简直就像是一个小魔法师。我们要学

　　好用好这个魔法师，解决更多的数学问题。

中国古代数学解题方法

　　1.早在甲骨文中出现的十进位制记数方法，就是早期的数学计算思想；商代的骨尺和牙尺上也有寸和分的刻度，主要的意义在便于计算。《九章算术》中开放紧纳性的表述系统，是按个别到一般的方法建立起来的，是由一个或几个问题归纳出基本规律和一般解法，再把各种算法进行综合，得到解决某领域中各种问题的方法，再把各领域的方法形成一章，汇成《九章算术》，形成抽象化的数学计算思想2.《周易》中的六十四别卦，其核心是八经卦，它的符号表示实际上是一种特殊的数表，是由一堆数字组合而成，有限的符号在不同的位置上相互配置，组合生成无穷多的意义，形成早期的组合的数学思想，是离散数学的基础。

　　3.《礼记》中指出初等教育要有数的教育，《周礼》中提到数的教育要有日常生活中的计算。成为早期的培养人才的“经世致用”的数学实用思想。《周髀算经》中系统的把数学应用在天文地理中，突出了数学的实用思想。

　　4.三国时代的魏人刘徽为《九章算术》作注解10卷时提出的“出入相补原理”成为我国最早的数形结合思想，尤其重要的是他所创造的“割圆术”使极限思想在世界上开了先例。

　　5.庄子天下篇中有一句话是“一日之锤，日取其半，万世不竭”首次提出了“无限的思想”进而出现了无限向有限转化的辩证思想。

　　与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

　　课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

　　课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。概括中国古代数学思想有如下的特点：经世致用的实用思想；算法化、模型化、数值化、离散化的计算思想；朴素的辩证思想；极限思想；数形结合思想等。成为数学问题解决的常用的思想方法。

遇到数学难题，怎样解决

　　当你碰到一道数学难题时首先要认真审题，弄清题意。也就是当我们看到题目时，要仔仔细细阅读清楚，把题意理解透了再动笔,这样解题就不容易出错。“磨刀不误砍柴工”说的就是这个道理。其次是考虑采用什么方法解题，下面我就把我采用的解决应用题的几种方法总结分析如下：

　　（一）线段图法：就是根据题目中所给的已知条件，画出线段图，

　　题目中的数量关系就直观的表现在纸上，能启发我们思考沟通“已知”

　　和“未知”的联系，帮助我们解答问题。

　　(二)综合法：对多步应用题从应用题的已知条件出发，选出两个

　　有直接联系的已知条件，组成一个简单应用题，求出答案；把这个求出的答案当作一个新条件，然后同另一个有联系的已知条件，组成一个新的简单应用题，再求出答案；这样一步一步地推究下去，最后一个简单应用题的问题，就是这个应用题的问题。如我们书上常用“知道了----和-----，可以求出-----”这样的提示语来表达这种思路。

　　(三)分析法：从应用题最后的所求问题出发，找出解答这个问题所需的两个条件，并对照题目里的条件，看哪个是已知的，哪个是未知的；把这个未知的条件当做新问题，找出解答新问题所需要的两个条件，再对照题目，看是不是都是直接的已知条件；直至找到全部是已知条件为止。书上常用“要求-----，先要求出-----”这样的提示语来表达这种思路。

　　最后是检查，写出答案。这也是极其关键的一步。要是方法懂得了，答案写错了，那也是前功尽弃，太可惜了。

　　学习需要一步一个脚印，解决数学难题也是如此，不仅要有好的解题方法，更要掌握基础知识，没有任何捷径。古人云：“书山有路勤为径，学海无崖苦作舟。”只要你有了牢固的基础知识，再加上掌握了正确的解题方法，任何难题都能迎刃而解。

我发现了一道数学题的解决方法

　　每个人都有自己的发现，我也不例外，但最让我难忘的还是我发现了一道数学题的解法。

　　记得在上“扇形”一课的那天晚上，我打开“傻瓜”做数学作业。一开始做的还挺顺利，可就在做第五题的第二小题时，我遇到了困难。我仔细地想着，可是怎么算也算不出来，便去请教“家庭老师”——妈妈。妈妈看了题目后，帮我认真分析，给我讲解。我听后，十分佩服妈妈，但又一想：难道就没有别的方法了吗？过后，我便带着这个问题细心思考。

　　我再次看了看这个图，想办法求出阴影部分的面积。突然我眼睛一亮，若只看一条弧，不就是一个圆的四分之一吗？而正好有两个一样大小的这样的扇形。用一个圆的面积乘以四分之一，乘以二，再减去这个正方形的面积，不就求出了阴影部分的面积了吗？于是，我连忙把我想的方法写了上去。

　　第二天，老师讲这道题时，我把自己想的方法告诉了老师，老师表扬了我，我心里十分高兴。

　　同学们，生活中、大自然中还有许多知识等着我们去探索，去揭开，让我们共同努力，去探索生活中和大自然中更多的知识吧！努力，加油！

当遇到数学难题时找解题方法

　　我：好！我一定要解开它！五分钟后：啊，好难啊，我想睡觉十分钟后：朱子元（我们班的数学王子）这道题怎么做！徐清园：啊！好难啊~~~算了！空着吧，反正就一点分扣了没关系！王聪慧：怎么有这么变态的题！算了，乱写一个答案吧！杨彦：立马对同桌使用缠缠功：“这道~~~题~~怎么~~~~做~~~~啊~~~~~？”直到把你逼疯告诉他答案为止。。。

　　杨昱：哎哟！怎么难做的题！那个变态编的啊？！宋羽琪：这个~~~~好难啊~~~怎么做呢~~~~~？？？谢苗莹：等下课，抄朱子元的去。孙祎岚：空着先做别的吧！戚佳飞：我堂堂戚大才女，怎会有做不出来的题呢？？！！周延文：麻烦死了，待会儿抄陈以琳的去！（她是间接的，等下请参考陈以琳的！）吴蕴琦：麻烦死了，待会儿抄周延文的。李斯文：好难啊，下课请教曾曾吧（就是俺）

　　冯宇博：那么难的别做了。抄陈以琳的吧！（还是抄她的。。）陈以琳：老师离开一下，于是她大喊：“朱子元！作业扔过来给我抄！”胡立榕：真难！下课翻书找解题方法吧！

数学解题六步骤

　　在求解应用题时，从问题出发，想到公式，找出解决这个问题所必备的条件。对公式中提出的条件，要想到题目中的已知条件，从已知条件中找到或求出来。即：看清问号想公式，公式定下找条件，条件都在题目里，草稿简图显关系，计算过程要细心，切记验算不能忘。

　　如：小明计划读故事书720页，已经读了5天，平均每天读60页，其余的6天读完，平均每天要读多少页

　　一看问号？要我们求什么？必须看清楚。要求出平均每天读多少页

　　二想公式。平均每天读多少页＝余下的页数÷读的天数，因此必须知道余下的页数和读的天数（6天）这两个条件。

　　三找条件。从题目中找公式中的除数和被除数，想方法解出他们。要求出余下多少页，就要知道计划读多少页（720页）和已经读了多少页，要求出已经读了多少页，需要知道已经读的天数（5天）和平均每天读的页数（60页）。

　　四画简图。在草稿纸上把题目中的已知条件的数量关系用线段长短表示出来。

　　五列算式。根据二、三、四步，把有关的数字列入公式，计算出来，已经读了多少页：60×5＝300（页）。余下多少页：720－300＝420（页）。平均每天读多少页＝余下的页数÷读的天数：420÷6＝70（页）。就得到题目中的问号啦！

　　六记验算。所有的结果都必须进行验算，还应用不同的方法进行验算。

　　以上六步骤是按解一般应用题的思路进行分析的。任何一个问题都可以找到相应的公式来表示他们之间的数量关系，这是解应用题的核心。数学是无处不在的，让我们热爱数学，学好数学吧！

数学解题思路

　　17.想法则

　　用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。

　　子比分母少16。求这个分数

　　由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知

　　分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。

　　18.想公式

　　证明方法：

　　以分母a，要加(或减)的数为

　　(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。

　　19.想性质

　　例11992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍

　　200÷16＝12.5(倍)。

　　例2思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。

　　由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。

　　由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。

　　满足题意的三个分数是

　　(二)第400个分数是几分之几

　　此题特点：

　　(2)每组分子的排列：

　　假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。

　　(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系

　　分母：1、2、3、4、5、……

　　分数个数：1、3、5、7、9、……

　　(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。

　　例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。

　　10×2－1－6=13(个)位置上。

　　分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。

　　或者102=100，100－12=88。

　　100－6＝94，88＋6＝94。

　　问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。

　　第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即

　　若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

　　逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个

　　352－(35×2－1)＋1

　　＝1225－69＋1＝1157。

　　排在1157－1225个的位置上。

　　20.由规则想

　　例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。

　　例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……

　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么

　　先按规则多计算几个数字，得4……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。

　　(1989－4)÷6＝330……5

　　最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。

　　21.用规律

　　例1第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

　　(1)22222＝0

　　(2)22222＝1

　　……

　　(10)22222＝9

　　解这类题的规律是：

　　先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：

　　2－2＝0，2÷2＝1；

　　再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……

　　每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：

　　2÷2＋2÷2－2＝0

　　2÷2×2－2÷2＝1

　　2－2＋2÷2×2＝2

　　2×2＋2÷2－2＝3

　　2×2×2－2－2＝4

　　2－2÷2＋2×2＝5

　　2＋2－2＋2×2＝6

　　2×2×2－2÷2＝7

　　2÷2×2×2×2＝8

　　2÷2＋2×2×2＝9

　　例2第六册P63题4：写出奇妙的得数

　　2＋1×9＝

　　3＋12×9＝

　　4＋123×9＝

　　5＋1234×9＝

　　6＋12345×9＝

　　得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：

　　第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去

　　7＋123456×9=1111111

　　8＋1234567×9=11111111

　　9＋12345678×9＝111111111

　　10＋123456789×9＝1111111111

　　11＋1234567900×9=11111111111

　　12＋12345679011×9=111111111111

　　……

　　很自然地想到，可推广为

　　(1)当n=1、2时，等式显然成立。

　　(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时

　　k＋1＋123…k×9

　　=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9

　　=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k

　　=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1

　　根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。

　　例3牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。

　　(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。

　　=(21－1)÷2=10。

　　22.巧想条件

　　比5小，分母是13的最简分数有多少个。

　　7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。

　　例2一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。

　　看结果，想条件，知都是可用的。

　　4×(1＋2＋3)＝24

　　(5＋1＋2)×3＝24

　　6×(3＋2－1)＝24

　　7×3＋1＋2＝24

　　8×3÷(2－1)＝24

　　9×3－1－2＝24

　　10×2＋1＋3＝24

　　23.想和不变

　　无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。

　　而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。

　　某数为7－6＝1或12－11＝1。

　　24.想和与差

　　算理，原式相当于

　　求这个分数。

　　25.想差不变

　　分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。

　　某数为42－35＝7，或48－41＝7。

　　与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，

　　某数为11－6＝5或23－18＝5。

　　分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。

　　26.想差的1/2

　　对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。

　　例1求分母是12的所有最简真分数的和。

　　由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是

　　例2分母是105的，最简真分数的和是多少

　　倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知

　　105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，

　　48÷2＝24。

　　27.借助加减恒等式

　　个数。

　　若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得

　　这九个分数是

　　28.计算比较

　　例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律

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　　可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商

　　17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11

　　凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。

　　不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。

　　只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。

　　29.由验算想

　　例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数

　　4848÷202，7575÷505，……

　　3939÷303

　　＝(3030＋909)÷303

　　＝3030÷303＋909÷303

　　＝10＋3＝13

　　备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。

　　若从“除法的验算”推导

　　由3939÷303＝，

　　商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。

　　所以商是12。

　　30.想倍比

　　31.扩缩法

　　例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。

　　若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。

　　181－42×4＝13

　　42－13＝29

　　若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。

　　42×5－181＝29，42—29＝13。

　　若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又

　　若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5

　　最佳想法：

　　两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。

　　181÷42＝4余13。

　　另个数可这样求

　　32.分别假设

　　例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。

　　设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则

　　(1－1×20％)×(1＋x)＝1，

　　正方形边长2÷25％＝8(米)，

　　面积8×8＝64(平方米)。

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数学解题小窍门

　　有些同学问我：曹双双，你数学怎么做得这么快啊，而且正确率也挺高的，有什么技巧吗。

　　记得在一二年级的时候，其实我做数学作业挺慢的，为此我老爸整天有种恨铁不成钢的感觉。但慢慢慢慢地速度越来越快了，而且质量也提高了，嘿嘿，我还真有自己的小窍门……其实说穿了也没什么，无非是两点，第一、多练习；第二、多思考，多想想这道题还有没有别的更简单、更快捷的方法可以解答。先说说第一点：多练习。熟话说“勤能补拙、贵在坚持”，这方法是最简单也是最有效的。多练习不仅可以温故而知新，还可以锻炼速度。你可以人为的给自己设置“门槛”，从一开始的五分钟一题慢慢到十分钟三题再……逐渐缩短每道题占用的时间，长期坚持下来，速度就自然而然提高了，你觉得呢？再说说第二点吧：多思考。每做完一道有一定挑战性的题目，事后一定要注意总结思考，看看能否探索出一种更简单、更快捷的方法来解答，这样坚持不懈地做下去，考试的时候你就能比别的同学节省大量的时间用来复查试卷，提高得分率。俗话说：条条大路通罗马，你还别说，这方法挺好的，呵呵，成功的路不止一条啊。这是我老爸特意教给我的，美其名曰 “举一隅而反三隅”。

　　刚开始的时候，我并不在意这种方法，还是象勤劳的小蜜蜂、孺子牛一样，吭哧吭哧地用着一力降十会的方法挥霍着大把的时间解题。俺老爸注意到后你猜他是怎么做的？他老人家从大处着眼，小处着手和我玩起了“算24点”，于是小小的扑克牌、汽车牌照…一切带数字的东东都成了我们的道具，一种解法、两种解法……

　　从此乐此不疲啊，唉，还是俺老爸的技术含量高啊！佩服，佩服！回过头来再想想，其实真正说起来，数学并不难，难的是，你对她是接受还是排斥，一旦产生了兴趣一切都迎刃而解，而且所有的学科都是如此，同学们，你说对吗