等差数列求和

去发现去探索奥秘

　　减法： 231－53－27＝231－(53＋27) （先把减数相加凑整）

　　a-b-c=a-(b c)

　　乘法： 125×57×8＝(125×8)×57

　　(a×b)×c＝a×（b×c) （交换律）

　　44×19＋44＝44×19＋44×1＝44×(19＋1)

　　a×c＋b×c＝(a b)×c（结合律）

　　这就是我搜索和查找到的资料。

　　在生活中我也运用到了这样的数学知识：

　　妈妈要给幼儿园的老师发奖（包），所以要去采购钱包。要选4种，每种25个，应该怎样算呢

　　第一种包：40元

　　第二种包：80元

　　第三种包：100元

　　第四种包: 20元

　　一般我们会这样算：

　　（40 80 100 20）×25

　　=240×25

　　=6000（元）

　　这样的话就要列竖式，列竖式就比较麻烦，有没有其他好一点儿的办法呢

　　我就这样想：这一系列的数字可以看出:这些数字与25相乘都能乘出整百或整千，这样就会比较快：40×25 80×25 100×25 20×25=1000 2000 2500 500=6000（元）

　　这样既不用列数字，又不会因计算错误而扣分，这样会异常方便。

　　用上数学知识，生活中还有许许多多的生活方便呢！请你仔细去发现去探索奥秘！

　　数学真好！

数学作文

　　世界上最美的数值，莫过于就是斐波那契数列了。

　　斐波那契数列，又称为黄金分割数列。因为斐波那契是以兔子繁殖为例子引入的，所以斐波那契数列还称之为兔子数列。

　　具体来说，斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。专业一点来说呢，就是F（1）=1，F（2）=2，F（n）=F（n—1）+F（n—2）（n≥3，n∈N*）。现在这个数列在很多方面都有运用到。

　　说到斐波那契数列，又怎能不谈谈它的创始人——斐波那契呢？这可是一个在数学历史上非常重要的人物。他是中世纪意大利的数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人。他还把现代书写数和乘数的位置表示法系统传入欧洲。《计算之书》就是他一旷世巨作！

　　你知道吗？其实我们身边都有很多斐波那契数列的存在。比如一个小小的贝壳，如果你仔细观察，你会发现它贝壳上的纹路就构成了这个黄金分割数列，即斐波那契数列。还有着名画作《蒙娜丽莎的微笑》、鹦鹉的头部构造、种子的排列、雅典帕特农神庙等，这些我们身边的事物其实都有着斐波那契数列的存在。

　　斐波那契数列是一个多么神奇又独特的存在啊！它让一切都变得格外美丽，它让一切都变得格外奇妙，它默默无言却不可缺少，把“世界上最美的数值”这个称号送给斐波那契数列也不是空有虚名的。

不请求任何原谅

　　早在五十年代，王元就已经成为我国数学界的著名人物。他对哥德巴赫猜想所作出的杰出贡献，即他证明的2 3为陈景润最终证明1 2起到了重要的铺垫作用。此外，他与恩师华罗庚先生一同创造的“华王方法”被国际数学界一直沿用至今。他们多年的师生合作，可谓中国现代数学史上的一段佳话。

　　但是，在“文革”中，有许多人曾经在政治压力下，违心地批判过自己的师长，或与被打成反革命的父母公开划清阶级界限。王元也经历了这段痛苦的心灵体验。

　　在一次批斗会上，造反派勒令王元必须在大会上发言，批判自己的导师华罗庚。王元知道如果拒绝发言，就可能会被打成反革命。面对强大的政治压力，他推辞自己写不了批判稿，只能由别人写，自己上台念一下。没想到造反派真的找人来代笔，让王元去读。无奈之下，王元只好当众读了一遍批判稿。

　　王元深知此事对恩师心理的冲击。他在心里把自己做的这件事叫做“背叛”。他愧悔于自己的屈从，一直不肯原谅自己。此后，他再也不像过去那样去恩师家了，即使遇到恩师，也总是想方设法躲开。许多年后，华罗庚先生出访归来，给王元带回来国外数学界关于“华王方法”的论著，两个人才重新走到一起，继续他们的合作。

　　但是，两个人面对面时，无论是老师，还是学生，都从不提起“批斗会”这件事―――二人不约而同地保持缄默，连一个字也没有。

　　恩师辞世后，作为数学家的王元破天荒地费时十年为华罗庚先生写了一本传记。在传记中，他记录了自己痛苦的内心历程，深刻忏悔了自己的过失。在接受电视主持人的采访时，这位性情温和的老人再一次谈到了这个事件，并声明这是自己一生的遗憾。

　　主持人很奇怪王元用传记来消弭自己内心愧疚的方式，并问他为什么不在私下场合向自己的老师道个歉。没想到王元先生立刻坦承自己从来没有当面向老师道歉。当主持人又问及为什么不请求华罗庚先生的原谅时，不善言辞的王元先生有些动情了：“这种事情，我觉得一个人做错了，自己知道，改了就算了，不要去要求他人原谅。要求人家原谅是不对的。事情本来就是你做错了。凭什么要人家原谅你？人家已经很痛苦了。你还要为了自己，非要人家原谅不可，让人家第二次受痛苦。”

　　我见过许多在“文革”期间有过愧疚历史的人。很多人后来都纷纷向受害者道歉，并请求原谅―――理由是：如果他们不能得到原谅，他们的心灵就会一直痛苦下去。

数学知识点归纳总结

　　第一章证明(二)

　　※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

　　※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

　　直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

　　※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。

　　※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

　　①勾股定理：（注意区分斜边与直角边）

　　②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）

　　※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义）

　　直线与射线有垂线，但无垂直平分线

　　※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

　　※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

　　※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）

　　※角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

　　角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

　　※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

　　(如图2所示，OD=OE=OF)

　　第二章一元二次方程

　　※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为

　　常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

　　※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

　　※解一元二次方程的方法：①配方法即将其变为的形式

　　②公式法（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

　　③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

　　※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

　　②将二次项系数化成1；

　　③把常数项移到方程的右边；

　　④两边加上一次项系数的一半的平方；

　　⑤把方程转化成的形式；

　　⑥两边开方求其根。

　　※根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；

　　当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

　　当b2-4ac0时，方程无实数根。

　　※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。

　　※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

　　（1）已知方程的一根，求另一根；

　　（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

　　①②③

　　④⑤

　　⑥⑦其他能用或表达的代数式。

　　（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：

　　（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根

　　※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

　　※处理问题的过程可以进一步概括为：

　　第三章证明（三）

　　※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

　　※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

　　※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

　　两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

　　菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

　　※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

　　菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

　　※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　　对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　四条边都相等的四边形是菱形。

　　※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

　　※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

　　※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

　　对角线相等的平行四边形是矩形。

　　四个角都相等的四边形是矩形。

　　※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

　　※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

　　※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

　　邻边相等的矩形是正方形；

　　对角线相等的菱形是正方形；

　　对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

　　※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

　　平行四边形

　　菱形

　　矩形

　　正方形

　　一组邻边相等

　　一组邻边相等且一个内角为直角

　　（或对角线互相垂直平分）

　　一内角为直角

　　一邻边相等

　　或对角线垂直

　　一个内角为直角

　　（或对角线相等）

　　鹏翔教图3

　　※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

　　※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

　　※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

　　同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

　　※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

　　※夹在两条平行线间的平行线段相等。

　　※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

　　第四章视图与投影

　　※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

　　三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

　　主视图：基本可认为从物体正面视得的图象

　　俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象

　　左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

　　※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

　　※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

　　※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

　　物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。

　　太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

　　探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

　　※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

　　眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

　　※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

　　①点在一个平面上的投影仍是一个点；

　　②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

　　线段垂直于投影面时，投影为一点；

　　线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

　　线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

　　③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

　　平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

　　平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

　　平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

　　第五章反比例函数

　　※反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。

　　（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）

　　※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→←→←→←→变量y与x成反比例，比例系数为k.

　　※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值即。（通常第二种方法更适用）

　　※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线

　　※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；

　　②选取的点越多画的图越准确；

　　③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。

　　※反比例函数性质：

　　①当k0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　②当k0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；

　　③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。

　　※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)

　　P

　　B

　　A

　　O

　　P

　　B

　　A

　　O

　　图4

　　点P(x,y)在双曲线上都有

　　第六章频率与概率

　　※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；

　　每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率；即：

　　在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

　　※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。

　　用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。

　　可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

　　※假设布袋内有黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；

　　※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）

　　※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。

　　北师大版初三下册数学知识点总结

　　第七章直角三角形边的关系

　　※一.正切：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;

　　①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

　　②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

　　③tanA不表示“tan”乘以“A”；

　　④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

　　⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

　　※二.正弦：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;

　　※三.余弦：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;

　　※余切：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;

　　※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

　　0o30o45o60o90osinα01cosα10tanα01—cotα—10

　　（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则

　　①；

　　②；

　　※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

　　所成的锐角称为仰角

　　※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成

　　的锐角称为俯角

　　※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当

　　角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

　　※同角的三角函数间的关系：

　　倒数关系：tgα·ctgα=1。

　　※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

　　◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

　　(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；

　　(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；

　　(3)边与角之间的关系：

　　(4)面积公式:(hc为C边上的高);

　　(5)直角三角形的内切圆半径

　　(6)直角三角形的外接圆半径

　　◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

　　图2

　　h

　　i=h:l

　　l

　　A

　　B

　　C

　　◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

　　※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即

　　◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

　　◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

　　第二章二次函数

　　※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.

　　※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

　　※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。

　　描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

　　①函数的定义域是全体实数；

　　②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

　　③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

　　④函数的增减性：

　　A、当a＞0时B、当a＜0时

　　⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

　　⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．

　　※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

　　※二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

　　※a的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；a的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

　　※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，a决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

　　※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：

　　的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：

　　①将配方成的形式；（其中h=，k=）；

　　②把抛物线向右（h0）或向左（h0）平移h个单位，得到y=a(x-h)2的图象；

　　③再把抛物线向上（k0）或向下（k0）平移k个单位，便得到的图象。

　　※二次函数的性质：

　　二次函数配方成则抛物线的

　　①对称轴：x=②顶点坐标：（，）

　　③增减性：若a0，则当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。

　　若a0，则当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。

　　④最值：若a0，则当x=时，；若a0，则当x=时，

　　※画二次函数的图象：

　　我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

　　①先找出顶点（，），画出对称轴x=；

　　②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；

　　③把上述五点连成光滑的曲线。

　　¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。

　　¤解决最大（小）值问题的基本思路是：

　　①理解问题；

　　②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；

　　③用数学的方式表示它们之间的关系；

　　④做数学求解；

　　⑤检验结果的合理性、拓展性等。

　　※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根

　　※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

　　0===抛物线与x轴有2个交点；

　　=0===抛物线与x轴有1个交点；

　　0===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

　　※当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

　　化简后即为：------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

　　第三章圆

　　一.车轮为什么做成圆形

　　※1.圆的定义：

　　描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

　　集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

　　对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

　　②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

　　※2.点与圆的位置关系及其数量特征：

　　如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

　　①点在圆上===d=r;

　　②点在圆内===dr;

　　③点在圆外===dr.

　　其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

　　二.圆的对称性:

　　※1.与圆相关的概念：

　　①弦和直径：

　　弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

　　直径：经过圆心的弦叫做直径。

　　②弧、半圆、优弧、劣弧：

　　弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

　　半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

　　③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

　　④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

　　⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

　　⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

　　⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

　　⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

　　※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

　　※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

　　①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

　　上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

　　※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

　　推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

　　三.圆周角和圆心角的关系:

　　※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.

　　※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

　　这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的

　　※3.圆周角的定义:

　　顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

　　※4.圆周角定理:

　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

　　※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

　　※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

　　※四.确定圆的条件:

　　※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:

　　圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

从小高斯求和故事谈起

　　伟大的德国数学家高斯有着“世界数学王子”的美誉。小高斯上小学三年级的时候，他的数学教师在黑板上给同学们写下了一个长长的算式：1＋2＋3＋4＋5………＋98＋99＋100。可老师刚写完题目，就有同学说：“哇！这是多少个数相加呀？多难算呀！”这时老师也很得意，他想：你们这些调皮蛋就是乖乖算上1节课时间，也不一定会有正确结果的。不一会儿，小高斯却拿着写有答案的小石板过来了，说“老师，我算出来了。”老师头也不抬地说：“去！去！去！，别瞎胡闹！”可小高斯坚持不走，说：“老师，我是认真的。”

　　老师接过小石板一看，惊讶得几乎说不出话来，没想到这个10岁的孩子居然这么快就算出了正确答案。大家想想，小高斯是怎样算的呢？原来小高斯不像其他同学那样一个数一个数地相加，而是通过细心观察、发现了以下规律：1和100，2和99，3和98……这样配对，共有50对数，每一对数的和都是101，求50个101的和可以用乘法很快算出正确结果。小高斯用配对求和的故事，使我深受启发，要想算得又巧又快，就要动脑思考，还要善于观察，发现题目的构造规律。

　　以上问题是从1开始的连续自然数求和，相邻两个自然数的差都是相等的，这样的数列求和，还可以用颠倒相加的方法求和：和 = 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ …… ＋ 97 ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100和 = 100 ＋ 99 ＋ 98 ＋ 97 ＋…… ＋ 4 ＋ 5 ＋ 2 ＋ 12倍和 = 101＋101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＋ 101 所以1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ …… ＋ 97 ＋ 98 ＋ 99 ＋100＝（ 1 ＋ 100 ）× 100 ÷ 2 ＝ 5050有兴趣的同学，请做下面的思考题：（1）1＋2＋3＋4＋5＋…＋198＋199＋200（2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋96＋98＋100（3）5＋10＋15＋20＋25＋…＋490＋495＋500

等待与机遇

　　在了解了数学成绩不理想的原由后，我们可能会想：难道说就要从头再来吗？这当然太不现实了，数学这门学科的知识是相当丰富的，我们从小学、中学到大学考研，一直都会有数学学科的开设。

　　我认为，就目前数学还不是很理想并准备通过高考的同学而言，最关键的倒不是一定上课去跟着老师的节奏听课，因为由于毕竟自已的基础没有其它的同学扎实，而老师教学的一个原则就是“在保证大多数的同学能够听懂的情况下，跟着自已的教学进度一直走”，所以对于基础相对不怎么好的同学而言，不容易跟上老师计划的步调，有些甚至可能出现一节数学课下来茫然一片的感觉。

　　建议数学暂时不是很理想的同学可以选择先同自已的任课老师或是班主任老师多加强沟通，要用科学地面对当前的学习现状。毕竟老师是不会让自已的学生吃亏的。可以和老师们谈谈自已目前的学习状况，让老师明白你的基础水平，给你提出你的知识漏洞。努力使老师和你在学习上能有一定的默契度。而作为同学本身则应当重视自已的学习态度，平时应敢于和勇于提出自已不懂的问题（可以私下里请教老师，只要你是向上的，老师不会吝惜他的时间的）。而同时要给自己设定一个属于自己的学习节奏，因为在跟不上大家的步子的时候最好的办法不是硬着去攀大队伍的步子，而是跟据自已的实际情况，设计一个属于自己的学习计划。计划要合理，适合自己，但也不会进度太慢（可以找成绩好的同学或者好友以及父母和老师参详一下）。跟着但这样做是要把和老师沟通作为前提的。（不然老师会觉得你上课不听课~呵呵，并且如果不说明原因，有的老师可能会不理解你的做法，他们或许你的做法有点冒险，只要你理由明确在理，那么其实这也很正确的做法）

　　学好数学必不可少的一个素质是“勤”。学习数学免不了的是计算和练习，这些就是基本功的一个重要方面。一般数学不理想的同学，对于平时的课后练习都不是很重视或是觉得头痛，不喜欢做习题。然而在考试中，数学对他们的要求不单是正确，同时也有问题解决的熟练度。所以平时的练习对于知识的即时巩固以及熟练度的提高都很有帮助。因此，在以后的学习中一定要花更多的时间在注意习题的练习上。

　　最后，谨祝你学习进步，开心愉快

等量代换

　　一户人家来了客人，父亲吩咐儿子去集市买菜。

　　儿子接钱后马上往集市赶，不一会儿，就买回一大堆萝卜、青菜、豆腐等。

　　父亲见没买肉，不禁勃然大怒，狠狠地打了儿子一耳光。

　　儿子委屈地说：“您不是说要我买菜，而不是买肉吗？”

　　父亲大声责备道：“记住，我说的菜就是肉，肉就是菜！”

　　儿子捂着脸默默地走开了。

　　过了几天，儿子见父亲的裤子上破了个洞，忍不住关切地大声喊：“爹，您屁股上的菜露出来啦！”

　　父亲一听火冒三丈，重重地给了儿子一巴掌。

　　儿子委屈万分地说：“您不是说过肉就是菜，菜就是肉吗？怎么这会儿又不对了呢？”

　　唯物辩证法认为，矛盾的普遍性和特殊性是相互联结的。

　　一方面，普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来；

　　另一方面，特殊性也离不开普遍性，任何事物总是和同类事物中的其他事物有共同之处。

　　故事中的“菜”和“肉”反映的就是这个道理。

　　作为食物，菜是矛盾的普遍性，肉是矛盾的特殊性，“菜”的共性寓于“肉”的个性之中，如果没有“经过烹调供下饭、下酒”这个共性，“肉”就不能叫“菜”。

　　但唯物辩证法又告诉我们，矛盾普遍性不能等同于矛盾的特殊性，因为普遍性是从特殊性中抽象和概括出来的，矛盾普遍性和特殊性有严格区别。如果将二者等同，我们就看不到千变万化的事物的独有特点，也就感受不到丰富多彩的花样世界，甚至会像故事中的父子一样，闹出笑话来。

上和差问题

　　阳光教育三年级（上）数学思维讲义

　　第六讲和差问题

　　和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

　　例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

　　再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里3×2=6支，就是暗差。“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7（支）。

　　例1两筐水果共重56千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克

　　同步练习：1、小刚在一次检测中，语文和数学总分是186分，语文比数学少考4分。问语文和数学各考了多少分

　　2、三（1）班比三（2）班多5名学生，两个班共有学生105名。三（1）班和三（2）班各有多少名

　　例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁

　　同步练习：1、今年妈妈36岁，小红11岁，当两人年龄和是87岁时，两人年龄各多少岁

　　2、小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分

　　例3、书架的上、下两层共有书200本，如果从上层移20本到下层，则上、下两层书的本书同样多。问书架的上、下两层各有书多少本

　　同步练习：1、红星小学一年级两个班一共有108人，如果从一班转3人到二班去，两个班学生就一样多。两个班各有学生多少人

　　2、姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少

　　课后作业

　　1、果园里有桃树和梨树共100棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵

　　2、某工厂去年与今年的平均产值为95万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元

　　3、甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油

　　4、甲、乙两个班共有学生96人，如果从甲班转3人去乙班后，甲班的人数比乙班还多4人，两班原来各有学生多少人

　　5、在下面○添上“+”或“-”，使等式成立。

　　1○2○3○4○5○6○7○8○9=5

等差数列

　　小明在回家作业当中遇到了关于等差数列的题目，怎么想也想不出正确答案，只好向妈妈求助。

　　妈妈说：“等差数列就是在一道等差数列当中每两个数相差的差都是一样。”

　　小明点了点头说：“我问你一道题目，从一开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列:1,4,7,10……在这个数列中，121是第几项？”

　　妈妈想了想说：“你只要记住一个公式“（末项-首项）公差+1”因该是（121-1）3+1=41（项）。

　　小明说：“我明白了，就又问一个问题，1+2+3+4+5+6+7+8……+1998是多少。

　　妈妈说：“这也需要一个公式，“首项+（项数+1）项数2”不过你要用我刚刚说的那个算式先算出项数。算式是（1998-1）1+1=1998这是第一部是（1+1998）19982=10978001。如果你想求未项的话要记住“首项+（项数+1）公差”。如果想求首项的话，要记住，“末项-（项数-1）公差。”

　　小明说：“我明白了，谢谢。”

说说等差数列求和

　　今天我要跟大家说一个数学公式，那就是等差数列求和公式。大家知道什么是等差数列求和公式吗？这要从一个叫高斯的人说起。

　　高斯是德国的一个数学家，他在上小学的时候，数学老师布置了一道很复杂的计算题：对自然数从1加到100求和。高斯用很短的时间就将这道复杂的题算了出来，他使用的方法是：对50对构成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。这一年高斯才9岁，跟我一样大的年纪。高斯发现的这个方法就是等差列数求和公式，也被成为高斯公式。高斯后来成为了世界著名的数学家。

　　等差数列求和公式就是：总和=（首项+末项）X项数／2。

　　以上就是等差数列求和公式的来历。