数学勾股定理
算术读书笔记
第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，;n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式:或为之作注，或仿其体例着书;甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点:没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263年)，刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。
《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。
所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。
己所欲，彼所欲？
数学上有一个定理，叫做“勾股定理”，即，直角三角形斜边的平方等于另外两边的平方之和。这个定理是我们所耳熟能详的，但它的提出者也许大家不是很熟悉。
毕达哥拉斯，古希腊数学家、哲学家。除了勾股定理，这位数学家还有许多贡献，我们比较熟悉的黄金分割法就是其一。
他建立了一个学派，叫做毕达哥拉斯学派，亦称南意大利学派。这是一个专门研究数学，并且遵行宗教仪式的学派。他们有一个神圣的图形，学派成员聚会时必须要向这个图形行礼。图形的样式很简单，完全不是电视里某个宗教的那些复杂的图形。但它的样式虽然简单寓意却十分有趣。
毕达哥拉斯学派有一个“万物皆数”的理论，他们很重视数学，企图用数来解释一切。宣称数是宇宙万物的本源，研究数学的目的并不是使用而是为了探索自然的奥秘。
以上述对数的重视，他们学派的神圣图形自然也是与数有关的。图形是一个由10个点组成的正三角形，三角形分为四层，第一层一个点，第二层两个，第三层三个，第四层四个。
毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。
毕达哥拉斯学派不仅研究数学还遵行宗教仪式。而谈到宗教就难免会有许多禁忌。毕氏学派的宗教禁忌在今天的我们看来可能会有些莫名其妙。
1．禁食豆子。
2．东西落下了，不要用手拣起来。
3．不要去碰白公鸡。
4．不要擘开面包。
5．不要迈过门闩。
6．不要用铁拨火。
7．不要吃整个的面包。
8．不要招花环。
9．不要坐在斗上。
10．不要吃心。
11．不要在大路上行走。
12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。
14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。
上面的十五条规定是毕氏学派每位成员都必须要遵守的。
虽然现在的我们已经无法理解据现代那么遥远的，古希腊时期他们这些规定的具体原因，但每个宗教都对信徒有一些他们自己的规定，作为信徒接受这些规定也无可厚非。
问题出在这个学派掌握意大利克罗顿的大权之后。学派要求全城百姓都遵守他们的规定，结果可想而知，他们引起了公愤。
不过和我们不同的是，作为当时统治者的毕达哥拉斯学派被百姓整个逐出了城。
中国有一句话，叫己所不欲勿施于人，但己所欲就一定彼也所欲吗
中国还有一句话，叫如人饮水冷暖自知，所以己所不欲，彼就不欲吗
我们生活在大众传媒的包围中，信息交流是极其方便的。但网络信息交流的便利却让大多数人的意见占据了媒介，不同的意见不是被群起而攻之，就是干脆沉默不言。
网络生活中是网络暴力，现实生活中一种叫做“有一种冷叫妈妈觉得我冷”的无奈也比比皆是。
人以自己的感觉来推断别人是一种天性，是自然而然发生的，也许很多都是不带恶意的。但人不能靠天性来生活在这个日益复杂多元的人类社会。人不能让所有人都和自己一样。
现在每个人都知道民族多元化、生物多元化才可以促进整个人类社会和生态的发展。
那么多元化的思想也同样包括其中。
数学知识点总结
第一章勾股定理
定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数
定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理数(有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示)
一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，我们规定0的算术平方根是0。
一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
历史上由勾股定理产生的推论和猜想
数学中有一句口诀大家都耳熟能详，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的两条直角边长度分别是3和4时，它的斜边长度为5。现代研究认为，最早发现这一规律的是古巴比伦人。在中国，据传是商代的商高最早发现了这一规律，《周髀算经》里有记载，记曰：“数之法，出于圆方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，所以叫勾股定理。古希腊数学家毕达哥拉斯也发现并用演绎法证明了勾3股4弦5规律。由于欧洲文化在近现代的广泛传播，世界上将这一规律称为毕达哥拉斯定理。据说发现和证明这个定理之后，毕达哥拉斯宰了一百头牛来庆祝，所以又叫做百牛定理。
勾股定理的概念是：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
在高中数学必修五教材第一章中，有余弦定理，内容是：。从书上的原话，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的一种特殊情况。这样，在欧几里德平面的任意三角形中的情况都被考虑到了。
还有一种特殊的三角形，叫曲边三角形。曲边三角形中的边，实际上已经变成了曲线。它的“角度”也不是平时我们所熟知的角度了。对于曲边三角形的性质，我还不是很能理解。所以我产生的猜想仅限于直线构成的三角形。
如果将勾股定理推广到立体中，会怎么样呢
a4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c应当有数据满足三个数都是自然数。
接下来我又发现，a5+b5=c5，在a与b也是10以内没有一组数据满足三个数都是自然数。
于是我产生了一个猜想：不会有任何三个自然数a、b、c满足an+bn=cn（n为奇数）。
这个猜想其实是初三时候偶然想起的。但是后来看到了“费尔马大定理”，才明白我的猜想是有错误的。“费尔马大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数）。所以“费尔马大定理”中提出，在a4+b4=c4中也没有满足的自然数,并且凡是2以后的n值都不会有。但是对于这个的理解，是我设计了一个计算程序之后才肯定的。
这个程序能够判断对于a4+b4=c4中，a、b在1000以内时我的猜想是否正确。如果有三个自然数满足，程序将会自动退出；如果没有，最后将显示“终止，未发现有符合数据”字样。实事证明费尔马对了而我错了。但1000只是无穷多个自然数中无限小的一个范围，用我这种方法，是永远证明不了费尔马大定理的，而只能证明在某一个范围内费尔马大定理是对的。
对于数学家们究竟使用什么方法证明“费尔马大定理”的，限于我知识有限，无法理解明白。1637年，法国业余大数学家费尔马提出这一定理，经过了欧拉等天才数学家的努力仍然无法全部给予证明，而只能证明n<100时的定理是正确的。最后给予完整证明的是英国著名数学家andre（安德鲁•威尔斯）。他的证明占满了美国《数学年刊》第142卷，竟然长达130页，这也是要有对数学的极度痴迷和耐心才能够做出来的伟大的成绩。
勾股定理
以愤怒为斜边
寂寞为股
失望为股
寂寞与失望互为交织
等边的公平
直角的心理
股弦勾
两股的孤独面积
合蹦
延伸出自己走的斜边
蜿蜒的路
掌中平原
斜高等于两股乘积除以斜边
从三角上割下一直
一道垂直的脓
这是古代历法
不变
西方的勾股定理之父毕达哥拉斯
毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，
曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。
毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。
勾股定理的无字证明
在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即 由此推出勾股定理 ，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。
(1)请你用图(2)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。
(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 ：
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：
(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq
2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号
欧几里得的证法
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
其余见： 勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站： 梁卷明
2009年3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，2009年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明：
勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.
证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合!
故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：AC+BC=AB.
勾股定理无字证明
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊
2
刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。
3
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号
谁最先发现了勾股定理数学故事
关于勾股定理，我们已经谈过很多了。中国、希腊、埃及这些文明古国，处于不同的地区，然而却都很早地，独立地发现了勾股定理。那么，勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最先发现的。证据就是《周髀算经》中的记载。
《周髀算经》一开始，就记载了我国周朝初年的大政治家周公旦与当时的数学家商高的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了关于直角三角形的一些问题。其中就说到了勾三股四弦五的问题。
周公问商高：我听说您很精通于数，请问数是从哪里来的呢
商高回答说：数的艺术是从研究圆形和方形中开始的，圆形是由方形产生的，而方形是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀，设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)的长度为3，长直角边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并用四个上述直角三角形一样的半矩形把它围起来拼成一个方形盘，从它的总面积49中减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的两个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25，这种方法称为积矩。
商高对勾三股四弦五的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。而我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是比周朝的商高要晚的，所以证明，我国的数学家商高是最早发现勾股定理的人。而勾股定理一开始也叫勾股弦定理，这也形象地点明了这一定理的具体内容。
由数学网带给大家的最新数学故事：到底是谁最先发现了勾股定理就到这里了，愿您在学习上能更上一层楼。
