为什么正定矩阵与单位阵合同(为什么正定矩阵一定和单位矩阵合同)

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一、为什么正定矩阵一定和单位矩阵合同啊怎么证明

这个就是这么规定的，解释也意义不大，就当常识记住吧。

扩展资料：数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

二、实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同

证明：假设实对称阵A是正定阵，

则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的，

而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)，

即有正交阵P使得

A=P'diag(a1,a2,..,an)P

=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P

记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则

A=Q'Q，即A与单位阵合同

反之若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，使得

设A=S'S。则对任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0

∴A是正定的

三、为什么正定矩阵一定和单位矩阵合同

正定矩阵A的特征值都是正的,可相似对角化成 diag(a1,a2,...,an)，ai>0。

即存在正交矩阵P,使 P'AP= diag(a1,a2,...,an)

取 C= diag(√a1,√a2,...,√an)

则有 C'P'APC= C'diag(a1,a2,...,an)C= E

即(PC)'A(PC)= E

所以A与单位矩阵合同。

扩展资料：

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。