实对称矩阵相似则必相合吗(实对称矩阵相似一定合同吗)
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是的，实对称矩阵相似一定合同。
相似和合同从定义出发的话，没有任何关系，只是定义看起来比较相似而已，一个-1一个T。但是实对称阵在等价对角阵的变换过程中用到的那个变换矩阵P可以是一个正交矩阵，也就是逆矩阵和置换矩阵合并了，因此实对称阵与对角阵的相似与合同才合同。
实对称矩阵主要性质：
实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。
1.实对称矩阵 A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵 A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵 A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0 E- A)=n-k，其中 E为单位矩阵。
二、任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵怎么理解
至少有一个，实对称矩阵合同于任何与其正负惯性系数相同的对角阵。
n阶实对称矩阵有n个特征根（可能会有重根），它必然与一个对角矩阵相似，在不计对角矩阵主对角线上元素（特征根）的次序的情况下，这个对角矩阵是唯一的；在考虑主对角线上元素的次序的情况下，对角矩阵不唯一。
扩展资料：
对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。
对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。
参考资料来源；百度百科-对角矩阵
三、n阶实对称矩阵a^2=a,求其相合标准型
实际上，对于任意半正定实对称矩阵A（r（A）=r），都存在nxr阶矩阵U，使得A=UU^T：因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得A=PDP^T，其中D=diag｛m1，…，mr，0，…，0｝（其中mi为A的正特征值）记B=diag｛√m1，…，√mr｝，取U^T=（B 0）P^T，则UU^T=PDP^T=A所以对本题，由A^2=A可得A的特征值只有1（r重）、0，从而取U^T=（Er 0）P^T即可
