正负惯性指数相同一定合同吗(则两个矩阵是否合同)
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两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。
首先合同是等价关系。可以传递。
每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵，因为正交矩阵的特点，那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵。
下证，对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
先证明，对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵。
设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零），那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵，那么P^TAP也是个对角矩阵，对角线上除了第i个元素其他和A相同，且第i个元素为正负一，且与a同号。依次这么做，A对角线上所有元素可化为正负一以及0。
再证明，对角线上只有正负一以及0的对角矩阵，只要正负一的个数相同就合同。设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A，那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A，恰使得A的对角线上第i和j个元素对调，其他不变，故命题成立。
结合这两点，易得对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。
那么现在，
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。
这个结论也是显然的了。
二、删除标记对称矩阵的正负惯性指数相同***则两个矩阵是否合同
合同，两个实对称矩阵的正负那么这两个实对称矩阵一定是合同的。因为两个实对称矩阵合同的充要条件是两个实对称矩阵具有相同的秩和相同的正负惯性指数。
合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。
每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1、-1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p，q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p，q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数，其中1的个数p称为正惯性指数，-1的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。
扩展资料：
惯性指数相关定理：
1、两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。)
2、实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数。
推论两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正(负)特征值的个数都相等。
合同的性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性，任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性，A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性，A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
参考资料来源：百度百科-惯性指数
三、...的正负惯性指数相等,则这两个二次型的矩阵就合同。
注意：二次型化为规范形是唯一的，这里的“唯一”有个条件：不计较-1,1，0的排列次序
1.如果两个二次型的正负惯性指数相等，那么这两个二次型一定可以找到各自对应的可逆线性变换，使得规范形所对应的矩阵是相同的
2.那么两个二次型的矩阵可以与用一个矩阵合同
3.根据矩阵合同性质中的传递性：A合同于C，B合同于C，则A合同于B，所以这两个二次型的矩阵合同.
