圆与直线相切

那条长长的直线

　　是谁在那连成一片的蓝色

　　画上一条直线

　　蓝色变成了两半

　　一半是海，一半是天

　　从此小鸟与船的友谊便分开了

　　船在海上行驶

　　小鸟在蓝天飞旋

　　我好想用橡皮

　　把那条线抹掉

　　让小鸟和船永远在一起

　　复原它们久盼的情谊

　　这是飘来一朵云

　　扇动着理解的翅膀

　　哦，那不是一块小橡皮吗

　　正在来回擦拭着

　　那条相隔的直线

数学知识点归纳圆

　　1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

　　2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

　　推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

　　3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　4.圆是定点的距离等于定长的点的集合

　　5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

　　6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

　　7.同圆或等圆的半径相等

　　8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

　　9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

　　10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

　　11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

　　12.①直线L和⊙O相交d

　　②直线L和⊙O相切d=r

　　③直线L和⊙O相离dr

　　13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

　　14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

　　15.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

　　16.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

　　17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

　　18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角

　　19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

　　20.①两圆外离dR+r②两圆外切d=R+r

　　③.两圆相交R-rr)

　　要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

　　宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。④.两圆内切d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr)

　　教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

方与圆

　　今天下午上英语课的时候，付昕在做数学作业，被罗老师发现了。罗老师就叫我们做了一个游戏――左手拿笔画正方形，右手拿笔画圆。我们一听，认为这太简单了，好多人举起手跃跃欲试，我为了不出洋相，决定临时抱佛脚――先自己操作操作。

　　准备就绪，我开始画了，可事情并没有我想象的那样顺利，要么把正方形画得有点圆，要么把圆画得有点方……方方圆圆，我都分不清谁是谁了；到黑板上画的同学，没有一个画好了的；再看看前后左右，都已经被方与圆搞得头脑不清……忽然，我脑子里闪过一个画面，那就是《射雕英雄传》里的郭靖，轻而易举地一手画出了正方形，一手画出了圆，心里好不佩服！

　　罗老师见我们始终没有画好，便叫我们停止了游戏，语重心长地对我们说：“同学们，我让你们做这个游戏，是为了让你们明白一个道理，一心不可二用哪！在英语课上做数学作业，就分了心了，不但英语学不好，数学作业质量也差；就像方与圆一样，方方圆圆，圆圆方方，最后自己都搞不清哪个是方，哪个是圆了。同学们，希望你们能吸取‘方与圆’这个游戏说明的道理。”

　　没想到，在这方方圆圆，圆圆方方之中，竟蕴涵了如此深刻的道理。这个游戏真是没有白做，给我的启发太大了。

　　“教子十年，不如做游戏一遍！”――感慨！

圆与三角形的立体启示

　　众所周知，在自然界中圆型的石头总比三角形的石头滚得要快要远。但大家是否发现，当它们滚动的次数越来越多时，三角形状的石头滚动的速度会越来越快；当其接近圆型石头的速度时，它的形状已经变得近似圆型状了。是什么使原始状态下的三角形石头变圆呢？是摩擦力；是它把那些不利于石头滚动的因素磨掉了，所以石头才能够一泻千里。

　　不仅石头如此，就拿森林中的树木来说吧！一棵高大挺拔的树与一棵矮小，多枯枝败叶的树相比，前者是象征完美成功与生命力的圆，后者是象征落后衰败与无生机的三角形；但是当我们砍掉那棵矮小的树的那些多余的枯枝后，并给予适当的照料；相信不久的将来，小树一样能够直插云霄。因此，即使你现在是如何的微不足道，但是当你经过自己的一翻努力后，你同样可以实现从“三角形”向“圆”的跨越。

　　一个人是否能成为圆；主要取决于他的态度。如果一个普通的运动员凭着一时兴起，向世界冠军发起挑战，那么谁会赢呢？答案毫无疑问—是世界冠军；可是，那位战败的运动员并没有一味抱怨，而是重申自我，从此投入更艰苦的训练。数年后，他们迎来一场比赛；那么结果又会如何呢？答案不言而语；是那名不甘心停留三角形状态的普通运动员，他经过自己的一翻努力后，凭借超人的意志及良好的心态打破了世界冠军不败的神话走向了辉煌的圆。再比如：一个刚接触股票的人与熟知股票性情的操盘老手相比谁赢钱的可能性大些呢？答案明摆着。因此，即使一个人再普通再无知，但当他们经过无数的磨炼就可以达到圆的境界。因此，一个涉世不深的人就如同处在最原始状态下的三角形。但有朝一日，他们必定会走向那象征成功的圆。或许路途会很遥远，或许沿途会困难重重，但我们不轻言放弃。

　　生命就是一段从三角形走向圆的过程，生命需要奋斗。不能奋斗就失去了生命的意义与价值。因此，你没有逃避的理由。你必须去经历，去面对；停滞只能意味着死亡，前进蕴藏着希望。不甘心停留在三角形状态下的青年朋友们！你们准备好了吗？让我们手拉手，勇敢地向前走，去追寻那属于我们的圆。让我们高歌，唱出青春的激情，回应时代的召唤，让我们展翅高飞，引领未来！

圆知识点梳理

　　1、圆的定义

　　在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

　　2、圆的几何表示

　　以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

　　二、点和圆的位置关系

　　设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

　　dr点P在⊙O内；

　　d=r点P在⊙O上；

　　dr点P在⊙O外。

　　三、弦、弧等与圆有关的定义

　　（1）弦

　　连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

　　（2）直径

　　经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）

　　（3）半圆、同圆、同心圆、等圆

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

　　同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆。

　　同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

　　等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆。

　　（4）弧、等弧、优弧、劣弧

　　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

　　能够互相重合的弧叫做等弧。

　　弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

　　大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

　　四、圆的对称性

　　1、圆的轴对称性

　　圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

　　2、圆的中心对称性

　　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

　　五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　　1、圆心角

　　顶点在圆心的角叫做圆心角。

　　圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

　　2、弦心距

　　从圆心到弦的距离叫做弦心距。

　　3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　　六、垂径定理及其推论

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

　　推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

　　（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

　　垂径定理及其推论可概括为：

　　过圆心

　　垂直于弦

　　直径平分弦知二推三

　　平分弦所对的优弧

　　平分弦所对的劣弧

　　七、确定圆的条件

　　1、过三点的圆

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆。

　　2、三角形的外接圆

　　经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

　　3、三角形的外心

　　三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

　　八、圆周角定理及其推论

　　1、圆周角

　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

　　2、圆周角定理

　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。

　　推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

　　推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

　　推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　　3、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）

　　1.圆内接四边形对角互补；

　　2.圆内接四边形的外角等于它的内对角。

　　九、直线与圆的位置关系

　　直线和圆有三种位置关系，具体如下：

　　（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

　　（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

　　（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

　　直线l与⊙O相交dr；

　　直线l与⊙O相切d=r；

　　直线l与⊙O相离dr；

　　十、切线的判定和性质

　　1、切线的判定定理

　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　2、切线的性质定理

　　圆的切线垂直于经过切点的半径。

　　十一、切线长定理

　　1、切线长

　　在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

　　2、切线长定理

　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

　　圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。

　　3、弦切角定理

　　弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

　　弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

　　即：∠BAC=∠ADC

　　十二、三角形的内切圆

　　1、三角形的内切圆

　　与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

　　2、三角形的内心

　　三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

　　十三、正多边形和圆

　　1、正多边形的定义

　　各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

　　2、正多边形和圆的关系

　　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

　　十四、与正多边形有关的概念

　　1、正多边形的中心

　　正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

　　2、正多边形的半径

　　正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

　　3、正多边形的边心距

　　正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

　　4、中心角

　　正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

　　十五、正多边形的对称性

　　1、正多边形的轴对称性

　　正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

　　2、正多边形的中心对称性

　　边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

　　3、正多边形的画法

　　先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

　　十六、弧长及扇形面积

　　1、弧长公式

　　n°的圆心角所对的弧长的计算公式为

　　2、扇形面积公式

　　其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。

　　3、圆锥的侧面积

　　其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径。

　　十七、圆幂定理（拓展）

　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

　　割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

　　如图，PT为⊙O切线，PAB、PCD为⊙O割线，则

　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

　　如图，AB、CD为⊙O的两条弦，相交于点E，则

直线的联想作文

　　直线看起来很平常，没有什么特别出众的地方。但是，通过对直线的揣摩，就会发生很多的奇思怪想。

　　直线是具有两点之间距离最短的一条线段的特征，利用直线可以组成形态各异的几何图形。人们都说把三角形连接起来就会成为最稳定的桥梁。假如有一天把桥梁连起来就是钢架路，要是把它再竖起来岂不就是天梯了吗？到那时，我们就可以扶摇直上，一步登天了，就连珠穆朗玛峰也要仰首观看，俯首称臣了。可它毕竟还是用直线来连接，功不可没！

　　我看见路政建设的技术人员，用观测镜测量和确认水平高度联想到。观测的眼睛就是端点，到他观测的终点之间，我似乎看见从镜头中射出的一条耀眼的直线把两端紧密的连接在一起。可现实中的它不是我们肉眼凡胎想见就能见得到的，即使神通广大的孙猴子，用他的火眼金睛恐怕也瞧不出什么子午卯酉来。这条线段虽然可长可短，但从不拐弯，也不会发生丝毫的偏差。

　　异想天开的联想，可能都是看不见摸不着的，但是，等将来的一天一旦实现了，可不要忘了是通过直线的联想而来的。直线在人类的生活中利用无限广泛，它不可或缺！

把圆拉拉直

　　今天数学课上，黄老师和大家一起学习“认识周长”。我们求出了黄老师给我们的长方形、正方形、甚至七边形和十边形的周长。都很得意，觉得求周长太简单，只要“见边加边”算一算就可以了。

　　真当大家洋洋自得的时候，黄老师在黑板上贴上了一个圆形纸片，要我们算一算它的周长。这下，大家都傻眼了，这个周长我不能用尺量啊，怎么求周长呢

　　看着我们茫然的样子，黄老师又发话了：“唉，看来这个圆的周长是无法解答的。”“可以的，妈妈说有公式的！”班级里姚远同学（她妈妈可是6年级的数学老师）插话了。“哦？是吗？算圆的周长还有公式的，要不，你直接去6年级的教室先学？”黄老师轻轻说了句。姚远嘿嘿一笑：“那不行！”

　　老师转过身问我：“焦阳，你在想什么呢？”我站起来，小声地说：“我在想最好把这个圆切开来，拉……拉直……”“哈哈哈哈哈……”听到同学的笑声，我的脸胀得通红，不敢往下说了。黄老师看着同学们，等大家安静下来才问我：“你的想法很有意思，想把这个圆拉拉直。你拉直了想干嘛呀？”一听老师问我这个，我来劲了，理直气壮地说：“呀！”老师笑了笑，说：“哦，弯弯曲曲无法量，所以你就想拉直了再量。”

　　“我也想把这个圆切开来拉拉直。”班里的数学大王陈思远大声地说出来了。越来越有意思了，有同学赞成我的想法了。班级里也更安静了“，拉直了就好量了”已经引起了大家的注意，大家都在想怎么才能把这个圆的周长给拉直。黄老师脸上的笑意更浓了：“我口袋里装了样神奇的东西，它能满足你们的愿望，你们信吗？”

　　大家派我做代表，到黄老师的口袋里请出了有魔力的神奇物品——哈哈，居然是一根毛线。经过几个同学的合作，大家看着毛线绕在圆的边线上，和圆的周长完全重合后，把毛线一拉直，放到尺子上一量，大约63厘米。

　　经过黄老师的点拨，我们明白了：原来，用可以拉直的毛线代替了无法量的圆的周长，这是一种重要的数学思想，叫“化曲为直”。接下来，我们还用这根毛线量出了树叶的周长呢。数学课真是太有意思了！

“圆”引起的对话

　　今天班会课，教室里安安静静的。老师神秘地走进教室，在黑板上画了一个圆圈，然后问：“这是什么东西？”“圆”！大家异口同声地说。

　　“还像什么呢？”老师连连问道。

　　一下子，五十几双手都举了起来，活像一片迷你森林。

　　陈志雄首先发言说：“这像一个火辣辣的太阳。”

　　他的话音刚落，邓宇潇就站了起来说：“这又像紧闭的家门上那冰凉的锁孔。”

　　“这还像宇宙中那深不可测的黑洞。”王崇晅也按捺不住了。

　　杨林紧接着说：“这还像一个光洁无瑕的大玉盘。”

　　“这像是中秋节时，天上那一轮美丽而又明亮的月亮。”万昕宸说。

　　“这不是在赛场上不停地跳跃的乒乓球吗？”赵镇宇说。

　　我兴冲冲地站了起来说：“这还像我们童年吹来的那充满阳光和美丽的泡泡。”

　　“叮零零”随着一阵下课铃声响起来，一节充满想像和欢乐的课就结束了。老师说：“想像是一件非常美好的事，它装载着无限的创造……”

直线和圆的方程知识与典型例题

　　直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.②当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.③过两点、的直线斜率公式二、直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk—斜率b—纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)—直线上已知点，k──斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a—直线的横截距b—直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全为零)A、B不能同时为零

　　数学基础知识与典型例题

由圆和直线联想到

　　当看到圆在直线上面的时候，我立刻想到——日出！因为圆是太阳的象征，而直线就相当于海天交接没有尽头的地平线。

　　看：在黎明，太阳腼腆地露出小半边脸，吃力地慢慢地一个劲地往上爬，像负着什么担子似的。终于，她冲出了云雾，把光辉洒向大地，霎时，大海，房屋，山岭……一切景物都被镀上了一道漂亮的金边；到了正午，太阳矫健的身躯由橘黄变成金黄，灿烂的光辉光彩夺目，十分耀眼；傍晚的太阳脸渐渐涨得通红，是听了晚风的夸赞而害羞了吧？紧接着，夕阳西下，美丽的太阳缓缓地滑下了山腰……

　　是啊，人生也是从一个开始点不断地向上攀登。它仿佛像一艘荡漾在生命长河中的扁舟，时而经历风风雨雨的吹打，时而享受风和日丽的阳光。在人生的长河中，常常面临着汹涌滂湃的巨浪，叫人心惊肉跳。在困难面前，如果你退缩一下，想回头，你就永远被困难的枷锁困住，不能自拔，人生的小船将被巨浪卷翻，你会坠落河底；而如果你树立了目标，勇往直前，坚持不懈，不向困难低头，就能摆脱困难的枷锁，迎接你的是美好的未来。太阳从升起到落下，经历了的多少磨难和打击呀，但他仍然不被云雾迷住双眼，一步一步地向前迈去，每一步都包含了他流下的艰辛的汗水，直到最后冲出重围，绽放光彩。

　　看着太阳留下的一个个又稳又深的脚印，给人们指明了一条大道，做大道的引路灯：太阳树立了目标，稳扎稳打，一步一步，慢慢地为她的千里之行而拼搏，最后，到达光辉的顶点。

　　同学们，人生道路上布满了荆棘，让我们努力奔跑，克服困难，铸就一片自己的新天地！