为什么等秩不一定等价(为什么秩相等就等价)

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下为什么等秩不一定等价的问题，以及和为什么秩相等就等价的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

一、秩相等的两个向量组一定等价吗

秩相等的两个向量组不一定等价，等价的向量组包含的向量个数不一定相同。

等价向量组的性质

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

向量解释：

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：，若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。

给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

以上内容参考：百度百科-等价向量组

二、俩个n阶矩阵,秩相同一定等价吗

同型矩阵之间，等价即等秩，等秩即等价。

要清楚矩阵之间等价的定义。A、B为两个m×n型矩阵，若A可以通过有限次初等变换变成B，则称A与B等价。

简介

存在一个定理：初等变换改变不了矩阵的秩。所以如果AB等价，则AB等秩。

那么AB等秩是否就能推出AB等价呢？实际上是可以的，因为如果AB等秩且秩为r，则AB都能通过有限次初等变换变成秩为r的等价标准型矩阵（等价标准形即左上角是单位矩阵，其余元素都是0的矩阵），所以AB之间可以通过有限次初等变换进行转换。也即是说同型AB等秩，则AB等价。

三、矩阵问题***为什么秩相等就等价

秩相等的矩阵不一定等价。等价的向量组秩一定相等。

设有n维向量组Ⅰ和n维向量组Ⅱ。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩。

向量组A与向量组B的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

矩阵的秩的计算方法

1、初等变换法

利用初等变换将矩阵化为行阶梯矩阵，从而确定矩阵的秩。

2、利用关于矩阵的秩的等式或不等式确定或估算矩阵的秩。

常见等式/不等式：

3、对于实对称矩阵或可对角化的矩阵,可以通过其非零特征值的个数来确定矩阵的秩。