矩阵合同必须要对称吗(矩阵合同必定是对称矩阵吗)
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是的。
合同矩阵一定是实对称矩阵。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C，TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。假如A和B不是实对称矩阵，即使存在可逆矩阵P令P'AP=B，那A和B也不算合同矩阵。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：
设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
二、对称矩阵为什么一定不合同与非对称矩阵
如果A^T=A，那么(C^TAC)^T=C^TAC，所以和一个对称阵合同的矩阵一定也是对称阵。
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1、(A')'=A
2、(A+B)'=A'+B'
3、(kA)'=kA'(k为实数)
4、(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i，j都成立。
扩展资料
对称矩阵的基本性质：
1、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
2、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。
3、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
4、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
5、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
三、合同要求矩阵是实对称的吗
契约矩阵是对称的。两个矩阵A和B是契约，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使C＾TAC＝B，那么方阵A与矩阵B契约。
在一般的在线生成问题中，研究契约矩阵的情形是二次型的。用于二次型的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵的契约的充要条件是它们的正、负惯性指标相同。从这个条件可以推断出契约矩阵的秩相等。
扩展资料：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任何矩阵都与自身有契约；
2、对称性：如果合同A在B中，那么合同B在A中；
3、传递性：如果契约A在B中，契约B在C中，那么契约A可以在C中导出；
4、与契约矩阵的秩相同。
矩阵契约的主要判别方法：
如果A和B在复域中都是n阶对称矩阵，则A和B在复域中约等于A和B的秩相同。
假设A和B是实场中的n阶对称矩阵，则A和B在实场中与具有相同正、负惯性指数（即正、负特征值的数目相等）的A和B约等于。
参考资料来源：百度百科-合同矩阵
