排列与组合的定义和公式
高等数学基本知识
一、函数与极限
1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
①、任何一个集合是它本身的子集。即AA
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即A∪B＝｛xx∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
即A∩B＝｛xx∈A，且x∈B｝。
⑶、补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。
即CUA＝｛xx∈U，且xA｝。
集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛xx是参加一百米跑的同学｝，B＝｛xx是参加二百米跑的同学｝，C＝｛xx是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x1≤x≤3}，B＝{x(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立
4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗
2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
组合与合作
组合，这个词汇大家并不陌生，但却很少有人能建立起一个真正的组合。而组合最不可缺少的必要条件就是合作。大雁整齐地飞翔告诉我们要团结合作是美好的;蚂蚁齐心协力的生活,告诉我们团结就是力量。合作的宗旨就是“人心齐，泰山移!”
孟子说过：“天时不如地利，地利不如人和。”意思是有利的时机和气候不如有利的地势，有利的地势不如人们团结合作。这就告诉我们人们的团结合作比任何东西都重要!
合作就如同水与鱼之间，蝴蝶与花草之间相辅相成的关系。它们之间互相依赖而生存，或许这就是合作的关系，大家都获得了快乐与幸福!
我曾经许多次见过蚂蚁搬食物的过程，微小的力量凝聚在一起，产生巨大的力量!之所以蚂蚁们这般厉害，是因为大家共同进步，有福同享，有难同当最完美的组合!
繁星缀满夜空，阳光沐浴大地。万物的繁衍生息，宇宙的斗转星移，生物链的共存共荣，这一切地一切都离不开合作。合作繁衍了生命，进化了生命，它将使世界日新月异。
可见，合作对于一个想要成功的人来讲是多么的重要!一个组合的发展，需要成员之间亲密地合作，才能推动一个组合不断向前进步!
只有聪明人才懂得怎样用合作来创建一个完美的组合!
下册公式及定义
1、把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
2、相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和
3、已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做
减法。
4、在减法中，已知的和叫做被减数，减法是加法的逆运算。
和=加数＋加数
5、加法各部分间的关系：
加数=和－另一个加数
差=被减数－减数
6、减法各部分间的关系：减数=被减数－差
被减数=减数＋差
7、求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法
8、相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。
9、已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
10、在除法中，已知的积叫做被除数，除法是乘法的逆运算。
积=因数×因数
11、乘法各部分间的关系：
因数=积÷另一个因数
商=被除数÷除数
12、除法各部分间的关系：除数=被除数÷商
被除数=商×除数
被除数=商×除数＋余数
13、有余数的除法各部分间的关系：除数=（被除数－余数）÷商
商=（被除数－余数）÷除数
余数=被除数－商×除数
14、0不能作除数。
历届中的排列组合题
一、选择题：(每小题10分，计80分)
1．(2008福建文、理)某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求
至少有1名女生，那么不同的选派方法有
Ａ．14Ｂ．24Ｃ．28Ｄ．48
2.（2005湖南文）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个
不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是
A．20B．19C．18D．16
3.（2006湖南理）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的
项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有
A.16种B.36种C.42种D.60种
4．(2008全国Ⅰ卷文)将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都
没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有
A．6种B．12种C．24种D．48种
5（2004湖北文）．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为
A．120B．240C．360D．720
6.（2007福建文)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000B.4096C.5904D.8320
7．（2004全国Ⅳ卷文、理）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任
（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有
A．210种B．420种C．630种D．840种
8．（2003北京文、理）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同
土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
A．24种B．18种C．12种D．6种
二、填空题：（每小题10分，计40分）
9．(2008重庆文)某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有种（用数字作答）.
10．（2006江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）。
11.（2004天津理）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个。（用数字作答）
12.（2002春招上海）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，
将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种.
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测二）
一、选择题：(每小题10分，计80分)
1．（2007北京文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个
2.（2004春招北京理）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是
A.B.C.D.
3．(2008海南、宁夏理)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有
A.20种B.30种C.40种D.60种
4.（2006北京文）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个
5（2002春招北京文、理）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有
（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种
6.（2007辽宁文）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若则不同的排列方法种数为
A．18B．30C．36D．48
7．（2006天津理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A．10种B．20种C．36种D．52种
8.（2005湖北文）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
A．168B．96C．72D．144
二、填空题：（每小题5分，计30分）
9．（2008浙江文、理）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。
10.（2007重庆文）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）
11、（2005春招北京理科）从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有_____个，其中不同的偶函数共有______个。（用数字作答）
12．（2003天津文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字答）
历届高考中的“二项式定理”试题精选（自我检测）
一、选择题：(每小题5分，计60分)
1．(2008江西文)展开式中的常数项为
A．1B．C．D．
2．(2008全国Ⅱ卷理)的展开式中的系数是
A．B．C．3D．4
3．(2008重庆文)若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为
(A)6(B)7(C)8(D)9
4.（2007湖北文、理）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3B.5C.6D.10
5．（2007江苏）若对于任意实数，有，则的值为
A．B．C．D．
6．（2007江西理）已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4B．5C．6D．7
7.（2006湖南文）若的展开式中的系数是80，则实数a的值是
A．-2B.C.D.2
8．（2006辽宁文）的值为
Ａ．61Ｂ．62Ｃ．63Ｄ．64
9.（2006湖北文）在的展开式中，x的幂的指数是整数的有
A.3项B.4项C.5项D.6项
10.(2005山东文、理）如果的展开式中各项系数之和为128，则开式中的系数是
（A）(B)(C)(D)
11．（2005浙江理）在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是
(A)74(B)121(C)－74(D)－121
12.(2004浙江文、理)若展开式中存在常数项,则n的值可以是
(A)8(B)9(C)10(D)12
二、填空题：（每小题5分，计40分）
13．(2008福建理)若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=_______.(用数字作答)
14.(2008广东理)已知(k是正整数)的展开式中，的系数小于120，则k=_____.
15.（2007天津文）的二项展开式中常数项是（用数字作答）．
16.(2007安徽理)若(2x3+)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于
17、（2006广东）在的展开式中，的系数为________.
18．（2005天津理）设,则
19.（2004天津理）若，则
。（用数字作答）
20．（2000上海文、理）在二项式的展开式中，系数是小的项的系数为。
（结果用数值表示）
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测一）
参考答案
一、选择题：(每小题10分，计80分)
二、填空题：（每小题10分，计40分）
9．12.10．___1260__.11.300.12.16.
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测二）
参考答案
一、选择题：(每小题10分，计80分)
二、填空题：（每小题5分，计30分）
9．40.10.288.11、__18__，__6_.12．42
历届高考中的“二项式定理”试题精选（自我检测）
参考答案
一、选择题：(每小题5分，计60分)
二、填空题：（每小题5分，计40分）
13．__31___.14._1___.15.84．16.7
17、-1320.18．.192004.20．－462
组.合
常言道：“三个臭皮匠赛过诸葛亮。”顾名思义，团结合作的力量是巨大的。这个学期，我们学校推行了目标导引下的小组合作学习模式。根据我们班同学的个性特点及学习情况，老师将全班55位同学分成了7个小组。为了增强小组成员的凝聚力，每个小组通过商讨，都制定了自己的组名、组歌和口号。同时，为了保证小组学习的纪律、质量和竞争力，每个小组还制定出本小组的组规及近期、远期目标。下面就让我来介绍一下我们班这些各具特色的小组吧。
第一组——我们组，寓意着组员间团结友爱，是一个tea他们的口号是“我们最牛！”，组歌是《洋葱》。他们规定组员要做到团结友爱、互帮互助；课堂上认真听讲，积极思考老师提出的问题；课堂被点名批评者，抄写当前学习的语文课文一篇（诗词或文言文）。他们的目标是每次大型测试，小组所有成员冲进年级前600名！老师对他们寄语：你们不是一个人在战斗，是“我们”，我们在一起，加油！
第二组——行星组，指8人代表8颗行星，围绕共同的目标，永不止步！他们将“近圆、共向”作为自己的口号，并把《我心永恒》作为组歌。他们规定组员严于律己、宽以待人，和谐相处，互帮互助；上课积极参与讨论，高效完成课时作业；今日事，今日毕。该小组希望在大型考试中，至少有2人冲进年级前500名。老师对他们小组的寄语是：只要你们目标明确，善于合作，并持之以恒，你们必将成为大家心目中的“太阳”！
第三组——完全强大组，该组名是希望组员在各个方面都做到非常强大。他们的口号是：不强大，便成仁！组歌是《我的歌声里》。他们的组规赏罚分明，例如：英语抽问不过关时，就罚抄一遍，再由组员抽问，直到过关为止；内务若因个人原因扣分要向小组纪律委员登记，每个月评比一次，每月扣分最多的，要请全组每人喝一盒柠檬茶；她们小组的目标是，每次测试各科平均分保持小组排名前二。第四组是D1组，起该组名是希望组员永远向第一看齐；他们的口号是多看书，多看报，少吃零食，劳逸结合；并把奋斗目标制定为：确保组内所有成员冲进班级25名以内，确保所有人各科不挂科。第五组“超越者领域组”，他们则希望组员可以不断超越自己，不断创造一个又一个的巅峰；他们的口号是超越，永无止境，并把《超越梦想》作为自己小组的组歌。第六组“复仇者联盟组”，该组名的寓意是希望本组能超越以上各小组，做到最好；组歌是《MyLove》。最后一个组——保钓委员会，口号：低调是最牛的炫耀，《红日》是该组的组歌，他们力争自己小组平均分在各次考试中排名前三。老师寄语他们：同持爱国心，共筑学习梦。低调做人，你会一次比一次稳健；高调做事，你会一次比一次优秀！
这就是我们班各具特色的7个小组。
为了确保小组的学习质量，我们对组内各个成员职责进行了明确的分工，设定了组长、纪律委员、宣传委员（兼心理辅导员）、记录员、资料员、中心发言人（轮流担任）。这种分工，既调动了同学们学习的积极性，又增强了我们的责任感，有利于保证小组成员的学习效率。另外，为了提高小组合作的竞争力，各小组还增设“军师”1名，职责是为本小组的发展、创新、争优献计献策，提高本小组的战斗力。例如，针对目前学习中遇到的新问题，“军师”们创造性的提出“一帮一”、“七帮一”、“一帮多”、“多帮一”等策略，针对性实施后，取得良好效果。
为了及时关注各小组的学习动态，班主任要求各小组组长每天向老师汇报组内一天情况，并规定组长每周要召开一次小组内部会议，使小组出现的问题能够得到及时解决。另外班主任还定期召开小组长会议，使小组在开展组间竞争的同时，实现组间的交流学习，取长补短，共同进步。除此之外，班主任定期对我们各小组进行考核、评价，促使我们更加努力的前行。他还提倡我们进行小组文化建设，例如通过创建小组组报等形式，展现各小组的个性和风采，通过各小组共同努力，共创一个“团结、拼搏、有活力、有作为”的班集体。
经过近2个月的体验，我们已经越来越喜欢这种模式，而且也逐渐感受到了它带给我们的进步和快乐。例如在刚刚结束的段考中，我们班有14位同学进入年级前450名，其中有4位同学进入年级前200名，更有1位同学甚至冲进了年级前20名。
小组合作学习，在培养我们自主学习、主动思考能力的同时，也让我们的知识得到了及时有效的互补，提高了学习效率。同时合作也增进了同学间的友谊，让我们体会到团队合作的重要性，也让我们从学习中感受到了快乐，希望我们班各小组能继续保持高涨的学习劲头，不断进步。
2020数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
[]
A．26B．24
C．20D．19
2．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
[]
3．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
[]
A．24个B．30个
C．40个D．60个
4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
[]
A．150种B．147种
C．144种D．141种
5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
[]
A．90种B．180种
C．270种D．540种
－(a1＋a3)2的值为
[]
A．1B．－1
C．0D．2
二、填空题
7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．
8．在(3－x)7的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
9．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．
10．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋1(n∈N)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
11．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选法有________种(结果用数值表示)．
12．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答)．
13．在(1＋x)6(1－x)4的展开式中，x3的系数是________(结果用数值表示)．
14．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(结果用数值表示)．
16．从集合｛0，1，2，3，4，5，7，11｝中任取3个元素分别作直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有________条(结果用数值表示)．
17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________(用数字作答)．
＝________．
19．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)．
三、解答题
21．已知i，是正整数，且1＜i≤．
(2)证明(1＋＞(1＋n)
参考答案提示
一、选择题
1．D2．D3．A4．D5．D6．A
提示：6．本小题考查二项式定理的有关知识．解法1：由二项式
二、填空题
7．2528．－1899．2n(n－1)
10．1111．35012．3213．－8
14．144015．416．3017．17918．4
19．12．提示：解法1：若A、B之间间隔6垄，如果A在左，B在右，A的左边可以有2垄、1垄、0垄，相应B的右边有0垄、1
种．若A、B之间间隔7垄，若A在左，B在右，A的左边可以有1
(种)．解法2：用插空的方法．中间的6垄与两旁的A、B两垄先排好，A的两边有2个空，B的两边有2个空，这4个空选2个空种植其他2
三、解答题
21．
数学排列与组合知识点
一、排列
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的排列数，记为A
2排列数的公式与性质
(1)排列数的公式：A(n-1)(n-2)…(n-)
特例：当时，A!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1
规定：0!=1
二、组合
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出元素的一个组合
(2)从n个不同元素中取出元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的组合数，用符号C表示。
2比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点
1.计数原理知识点
①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)
2.排列(有序)与组合(无序)
An(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-)=n!/(n-!Ann=n!
Cn!/(n-!
Cn-+Cn+1!=(k+1)!-k!
3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
4.二项式定理知识点：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性质和主要结论：对称性Cn-最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1
③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
奇妙的排列组合
生活中的数学无处不在，只要你去认真观察、仔细思考，总能发现很多有趣的数学问题，而且很多数学问题是有规律的，就象本文要解决的问题。
关键词排列组合解决问题
生日的那天，我邀请了6个小朋友来参加我的生日晚会。晚会上，爸爸给我们拍了许多照片。过了一些日子，照片洗出来了。看着大家排成一排肩搭着肩的照片，我突然想到了一个问题，那天晚上包括我一共有7个小朋友，如果我们7个人排成一排，每拍一张照片就交换位置，并且每次的组合都不相同的话，一共可以拍多少张照片呢？我试着用数学办法来解决这个问题。
如果是1个人，那毫无疑问是1种组合。如果2个人，3个人……该如何算呢？我用A、B、C、D、E、F、G分别来代表7个小朋友。
人数（个）排列组合方式组合数（组）
1A1
2A、BB、A2
3A、B、CA、C、BB、A、C
B、C、AC、A、BC、B、A6
人数（个）排列组合方式组合数（组）
4A、B、C、D
A、B、D、C
A、C、B、D
A、C、D、B
A、D、B、C
A、D、C、B
类推下去，把A替换成B或C或D也各有6种排列方式4×6=24
算到这儿，我发现几个人组合数等于这个数乘上前一个数的组合数，譬如，
3个人的组合数等于3乘以2的组合数=3×2=6（组）
4个人的组合数等于4乘以3的组合数=4×6=24（组），照此类推
人数1234567
组合数126241207205040
我拿着我的发现去告诉爸爸。爸爸看了我的结论，表扬了我。他接着说：“你这个方法很好，只可惜要求a个人可以几种排法，先要知道（a-1）个人有几种排法，可如果我们还不知道（a-1）个人的几种排法，又要接着往前推，好象有点麻烦，能不能用一个公式来求解呢？”我带着爸爸的问题开始思考。
1个人：=1
2个人：=2×1=2
3个人：=3×2×1=6
4个人：=4×3×2×1=24
5个人：=5×4×3×2×1=120
6个人：=6×5×4×3×2×1=720
啊有了，如果求a个人有几种排法，只要从1开始乘一直乘至a为止，用公式表示是：a个人的组合数=……×（a-1）×a，所以，如果我们7个人排成一排，每拍一张照片就交换位置，用不同的排列竟然可以排出1×2×3×4×5×6×7=5040种不同的组合，可以拍出5040张照片，简直太让人难以置信了。
我拿着结果到来到爸爸身边，把我的想法和结论说给爸爸听。爸爸直夸我是个聪明的孩子，我心里别提有多高兴了。
排列组合
4A、B、C、D
A、B、D、C
A、C、B、D
A、C、D、B
A、D、B、C
A、D、C、B
类推下去，把A替换成B或C或D也各有6种排列方式4×6=24
算到这儿，我发现几个人组合数等于这个数乘上前一个数的组合数，譬如，
3个人的组合数等于3乘以2的组合数=3×2=6（组）
4个人的组合数等于4乘以3的组合数=4×6=24（组），照此类推
人数1234567
组合数126241207205040
我拿着我的发现去告诉爸爸。爸爸看了我的结论，表扬了我。他接着说：“你这个方法很好，只可惜要求a个人可以几种排法，先要知道（a-1）个人有几种排法，可如果我们还不知道（a-1）个人的几种排法，又要接着往前推，好象有点麻烦，能不能用一个公式来求解呢？”我带着爸爸的问题开始思考。
1个人：=1
2个人：=2×1=2
3个人：=3×2×1=6
4个人：=4×3×2×1=24
5个人：=5×4×3×2×1=120
6个人：=6×5×4×3×2×1=720
……
啊有了，如果求a个人有几种排法，只要从1开始乘一直乘至a为止，用公式表示是：a个人的组合数=……×（a-1）×a，所以，如果我们7个人排成一排，每拍一张照片就交换位置，用不同的排列竟然可以排出1×2×3×4×5×6×7=5040种不同的组合，可以拍出5040张照片，简直太让人难以置信了。
我拿着结果到来到爸爸身边，把我的想法和结论说给爸爸听。爸爸直夸我是个聪明的孩子，我心里别提有多高兴了。
排列组合
教学目标：理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它解决一些简单的应用问题；理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
教学重难点：掌握排列、组合数公式，及一些简单的应用。
教学方法：讲练
教学过程
一、知识
1．排列的概念：
从个不同元素中，任取个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
全排列数：（叫做n的阶乘）
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出元素的组合数；②求每一个组合中元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（2）组合数的公式：
或
4．组合数的性质1：
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出元素的每一个组合，与剩下的n元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出元素的组合数，等于从这n个元素中取出n元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
又，∴
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③或．
组合数的性质2：＝+．
一般地，从这n+1个不同元素中取出元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
∴＝+．
二、题型应用
例1（局部定序型）
7人站成一排，其中三人顺序已定，二人顺序已定，则不同的排法有多少种
解析：部分元素顺序固定(静止)，位置不清楚，不好直接动笔，还是先当作都是动的进行排列，再除以定序的排列。6人站成一排，有种排法，在这些排法中三人有种顺序，我们只要其中的一种，二人有种顺序，我们也只要其中的一种，故有种不同的排法。注意这里只定序，并没有说明是否相邻。
【评注】局部定序问题，先将所有元素作全排列，再除以定序元素的全排列。只有一组定序时，也可先排其它元素，留下空位给定序元素。
例2（(局部)平均分组型）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为
A．70B．140C．280D．840
解析：三组人数相同，但甲、乙需分在同一组，故甲、乙所在的一组与其余两组元素间机会并不均等，但其余两组间元素机会均等。所以不同分组方法为种。
【评注】主要包括整体平均分组问题和局部平均分组问题二类情况。平均分组需要元素间机会均等，且无顺序要求，平均分成组，分母需除以。
例3（相同元素隔板型）有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有种。
解析：先给1，2，3号盒子分别装入0，1，2个球，问题转化为将7个球装入3个盒子，每盒至少1球，所以有=15种。
【评注】处理相同元素问题，将个相同的小球放到个不同盒子中，每个盒子中至少放一球，则只需在排成一排的个小球的个空中放置块隔板把它隔成份即可，共有种不同方法，实际应用中要注意将命题等价转化。
例4（多排排列问题）8人分坐两排，要求面对面坐下，但其中甲、乙两人不可相邻也不可面对面，有________种坐法。
解：8人分坐两排可看成没有区别的一排，从特殊元素入手，先甲再乙后其他。若甲在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的5个位置上，有种，若甲不排在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的4个位置上，有种。由分类计数原理，符合条件的坐法有+=25920种。
评注：多排排列问题，可把首尾连成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。
例5（至少问题）某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，求：（1）此小组中的男、女生数目各为多少？（2）求至少有两名男生入选的概率
错解：(1)设共有名男生，则女生人数为名，由题意得，解得，即小组中的男生、女生人数分别为4人和2人；
(2)基本事件总数为．第一步保证两名男生，有种，第二步确定余下的一名是男生，还是女生，有2+2种，共有4种．因此所求概率为．
剖析：第二问中1.21，显然错误．原因是重复，如关于男生，可选男1和男2，余下的两名男生可选男3；也可选男1和男3，余下的两名男生可选男2．二者结果相同，因此导致重复．
对于“至少”问题，一般有两种处理方法：一是正面分类，进行穷举，分为三名男生和两男一女．．二是“正难则反”，利用排除法进行处理．反面为一名男生或没有(不可能)．．另外关于分配问题，较好的方法是先分堆(类)，再分给人，这样计算既没有重复，也不会遗漏．
例6（逆向思维型）
(1)为建设节约性社会，三峡坝区某市某条街上有20盏路灯，在不影响照明的情况下，要求熄灭3盏，熄灭的灯不能相邻，则共有多少种不同的熄灯方案。
(2)有8个座位连成一排，安排5人就坐，恰有两个空位相连的不同坐法有___种。
(3)某学校军训时进行射击演练，张三射击10次，射中5次，恰有两枪连中(无三枪及以上连中情况)，则不同射击情况共有______种。
分析：排列组合问题中，有很多表面上都是静止，如路灯问题，受其影响，从正面直接思考，很难凑效，如果变静为动，就可迎刃而解。熄灭路灯问题按先排好亮灯，再插入熄灭灯方法进行处理。空位相连问题按照先排人，再插入相连空位，最后插入不相连空位三步进行处理。射击射中相连问题按照先排未中枪，再插入相连中枪，最后插入不相连中枪三步进行处理。另外还有一些问题可以采用穷举的方法进行。
解：(1)路灯是静止不动的，按静止来想，思维明灭受阻。假设路灯没有安装好，处于设计阶段，先排17盏亮灯，再将3盏熄灭的灯插入到18个空中，则有种不同的熄灯方案。
(2)8人座位已固定好，很不方便，假设座位是可移动的，不妨将3个空座先搬出来，第一步安排5人就座种，第二步将相连两空位捆绑在一起(内部不需再排序)插入6空中，有种，第三步将另一空位插入余下5个空中，有种，故共有种坐法。
(3)射击时每枪本有固定顺序，依此方向思考，数字较大时，情况比较复杂，很难想清楚。按动态处理，先把中枪拿出来后再排，第一步将未射中的5枪排成一排有1种，第二步将连中2枪(捆绑在一起)插入6空中，有种，第三步将其余射中的3枪插入余下的5空中，有种(想一想为什么不是)，故共有种。
