勾股定理教案
悬梁刺股
战国时期的苏秦，为了读书时不打瞌睡，每当他打瞌睡时就用锥子刺自己的大腿，腿一疼就不瞌睡了。之后他成了战国时期有名的大学问家。西汉时的孙敬，也十分爱读书，打瞌睡时，他会把自己的头发悬在梁上，一打瞌睡低头时，发辫就猛地一，瞌睡就跑了。之后他也成了有名的大学问家。
读了《悬梁刺股》的故事，我觉得他们很了不起。为了坚持学习，想出种种办法不打瞌睡。他们这种刻苦努力，坚持不懈的学习精神，值得我们好好学习。以后，我要下决心好好读书，像他们那样刻苦努力，坚持不懈。我还要给自己定一个目标，然后，围绕这个目标读书，说到做到。
苏秦刺股
古时候，有一个学者叫苏秦。苏秦自幼家境贫寒，连书都读不起。为了维持生计和读书，他不得不时常卖自己的头发或者帮别人打短工，后来又离乡背景到了齐国拜师学艺。
经过一年的学习，苏秦认为自己已经把老师的本领都学到了，便迫不及待告别老师和同学，去闯荡天下。但是一年后不仅一无所获，连钱也用完了。他只能穿着破衣草鞋踏上了回家之路。
到家时，苏秦已骨瘦如柴，全身破烂肮脏不堪，满脸尘土。妻子见他这个样子，摇头叹息，继续织布；嫂子见他这副样子扭头就走，不愿做饭；父母，兄弟，妹妹不但不理他，还暗暗笑他活该！
苏秦看到家人这样对待他，十分伤心。他关起房门，不愿意见人，对自己作了深刻的反省：“妻子不理丈夫，嫂子不认小叔子，父母不认儿子，都是因为我不争气，没有好好学习。”
他认识到了自己的不足，又重新振作精神，搬出所有的书本，发愤读书。他每天读书到深夜，有时候不知不觉伏在书案上就睡着了。第二天醒来，都后悔不已，但又没有什么办法不让自己睡着。有一天，读着读着实在困了，不由自主便扑倒在书案上，但他猛然惊醒——手臂被什么东西刺了一下。一看是书案上放着一把锥子，他马上想出了制止打瞌睡的办法：锥刺股（大腿）！以后每当要打瞌睡时，就用锥子扎自己的大腿一下，让自己突然“痛醒”。他的大腿因此常常是鲜血淋淋，目不忍赌。
家人见到这样，有些不忍心，劝他说：“你一定要成功的决心和心情我们可以理解，但不一定非要这样虐待自己啊！”
苏秦回答说：“不这样，就会忘记过去的耻辱！”
经过“血淋淋”的一年，苏秦已经很有学问了。他又开始出去闯荡天下，这一次终于事业有成，很有心得，开创了自己辉煌的政治生涯。
原文：苏秦乃洛阳人，学纵横之术，游说秦王，书十上而不为用，资用匮乏，潦倒而归。至家，妻不下紝，嫂不为炊，父母不以为子。苏秦乃叹曰：“此皆秦之罪也！”乃发奋读书，曰：“安有说人主而不得者乎？”读书欲睡，引锥自刺其股，血流至足。后卒合齐、楚、燕、赵、魏、韩抗秦，佩六国相印。
悬梁刺股
今天看了一则成语故事，这则成语讲的是两个故事。都是关于奋力学习的。悬梁是汉朝的孙敬为了防止睡觉打瞌睡，就用绳子把头发绑在房梁上，只要一困绳子就会拉他的头发，他就痛醒了。刺股是战国时期的苏秦为了专心读书，他为自己准备了一个锥子，只要一分心就用锥子刺大腿。而最后孙敬成了政治家，苏秦成了著名的外交家。
我被孙敬、苏秦读书的精神深深打动了，他们为了读好书那么努力，再想想我。不爱读书，做作业，做事情总是做的很慢，拖得很晚。老师，家长都对我很头痛。
现在生活条件好了，对我们学习有利的因素越来越多，我更应该抓住这良好的条件好好学习。
谁最先发现了勾股定理数学故事
关于勾股定理，我们已经谈过很多了。中国、希腊、埃及这些文明古国，处于不同的地区，然而却都很早地，独立地发现了勾股定理。那么，勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最先发现的。证据就是《周髀算经》中的记载。
《周髀算经》一开始，就记载了我国周朝初年的大政治家周公旦与当时的数学家商高的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了关于直角三角形的一些问题。其中就说到了勾三股四弦五的问题。
周公问商高：我听说您很精通于数，请问数是从哪里来的呢
商高回答说：数的艺术是从研究圆形和方形中开始的，圆形是由方形产生的，而方形是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀，设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)的长度为3，长直角边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并用四个上述直角三角形一样的半矩形把它围起来拼成一个方形盘，从它的总面积49中减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的两个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25，这种方法称为积矩。
商高对勾三股四弦五的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。而我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是比周朝的商高要晚的，所以证明，我国的数学家商高是最早发现勾股定理的人。而勾股定理一开始也叫勾股弦定理，这也形象地点明了这一定理的具体内容。
由数学网带给大家的最新数学故事：到底是谁最先发现了勾股定理就到这里了，愿您在学习上能更上一层楼。
悬梁刺股
这天，我看了《悬梁刺股》这个故事。我对主人公孙敬和苏秦刻苦学习的精神感到，无比佩服。
汉朝人孙敬为了好好学习，不让自己瞌睡，就把头发吊在房梁下，这样，他就不会睡着，这就是“悬梁”“刺股”就是苏秦的故事，他为了游说各诸侯国，成就大业，就刻苦学习，为了驱走睡意，就用锥子猛刺自己的大腿。这样，大腿一痛，就又精神起来了。孙敬和苏秦二人刻苦攻读，最后成为了政治家。他们的故事和起来，就是“悬梁刺股”。
应对孙敬和苏秦，我联想到自己。平时，老师布置读的作业时，我总会把读的数目少读一点，或不读。想到那里，我的脸火红火红的。此刻想想，如果一碰到读的作业，就不读，就什么也学不到，最后只能一事无成。
悬梁刺股这个故事教育了我，鼓舞了我，我要向他们学习，努力学习，不怕困难，做一个对祖国有用的人。
这天，我看了《悬梁刺股》这个故事。我对主人公孙敬和苏秦刻苦学习的精神感到，无比佩服。
汉朝人孙敬为了好好学习，不让自己瞌睡，就把头发吊在房梁下，这样，他就不会睡着，这就是“悬梁”“刺股”就是苏秦的故事，他为了游说各诸侯国，成就大业，就刻苦学习，为了驱走睡意，就用锥子猛刺自己的大腿。这样，大腿一痛，就又精神起来了。孙敬和苏秦二人刻苦攻读，最后成为了政治家。他们的故事和起来，就是“悬梁刺股”。
应对孙敬和苏秦，我联想到自己。平时，老师布置读的作业时，我总会把读的数目少读一点，或不读。想到那里，我的脸火红火红的。此刻想想，如果一碰到读的作业，就不读，就什么也学不到，最后只能一事无成。
悬梁刺股这个故事教育了我，鼓舞了我，我要向他们学习，努力学习，不怕困难，做一个对祖国有用的人。
这天，我看了《悬梁刺股》这个故事。我对主人公孙敬和苏秦刻苦学习的精神感到，无比佩服。
汉朝人孙敬为了好好学习，不让自己瞌睡，就把头发吊在房梁下，这样，他就不会睡着，这就是“悬梁”“刺股”就是苏秦的故事，他为了游说各诸侯国，成就大业，就刻苦学习，为了驱走睡意，就用锥子猛刺自己的大腿。这样，大腿一痛，就又精神起来了。孙敬和苏秦二人刻苦攻读，最后成为了政治家。他们的故事和起来，就是“悬梁刺股”。
应对孙敬和苏秦，我联想到自己。平时，老师布置读的作业时，我总会把读的数目少读一点，或不读。想到那里，我的脸火红火红的。此刻想想，如果一碰到读的作业，就不读，就什么也学不到，最后只能一事无成。
悬梁刺股这个故事教育了我，鼓舞了我，我要向他们学习，努力学习，不怕困难，做一个对祖国有用的人。
历史上由勾股定理产生的推论和猜想
数学中有一句口诀大家都耳熟能详，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的两条直角边长度分别是3和4时，它的斜边长度为5。现代研究认为，最早发现这一规律的是古巴比伦人。在中国，据传是商代的商高最早发现了这一规律，《周髀算经》里有记载，记曰：“数之法，出于圆方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，所以叫勾股定理。古希腊数学家毕达哥拉斯也发现并用演绎法证明了勾3股4弦5规律。由于欧洲文化在近现代的广泛传播，世界上将这一规律称为毕达哥拉斯定理。据说发现和证明这个定理之后，毕达哥拉斯宰了一百头牛来庆祝，所以又叫做百牛定理。
勾股定理的概念是：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
在高中数学必修五教材第一章中，有余弦定理，内容是：。从书上的原话，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的一种特殊情况。这样，在欧几里德平面的任意三角形中的情况都被考虑到了。
还有一种特殊的三角形，叫曲边三角形。曲边三角形中的边，实际上已经变成了曲线。它的“角度”也不是平时我们所熟知的角度了。对于曲边三角形的性质，我还不是很能理解。所以我产生的猜想仅限于直线构成的三角形。
如果将勾股定理推广到立体中，会怎么样呢
a4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c应当有数据满足三个数都是自然数。
接下来我又发现，a5+b5=c5，在a与b也是10以内没有一组数据满足三个数都是自然数。
于是我产生了一个猜想：不会有任何三个自然数a、b、c满足an+bn=cn（n为奇数）。
这个猜想其实是初三时候偶然想起的。但是后来看到了“费尔马大定理”，才明白我的猜想是有错误的。“费尔马大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数）。所以“费尔马大定理”中提出，在a4+b4=c4中也没有满足的自然数,并且凡是2以后的n值都不会有。但是对于这个的理解，是我设计了一个计算程序之后才肯定的。
这个程序能够判断对于a4+b4=c4中，a、b在1000以内时我的猜想是否正确。如果有三个自然数满足，程序将会自动退出；如果没有，最后将显示“终止，未发现有符合数据”字样。实事证明费尔马对了而我错了。但1000只是无穷多个自然数中无限小的一个范围，用我这种方法，是永远证明不了费尔马大定理的，而只能证明在某一个范围内费尔马大定理是对的。
对于数学家们究竟使用什么方法证明“费尔马大定理”的，限于我知识有限，无法理解明白。1637年，法国业余大数学家费尔马提出这一定理，经过了欧拉等天才数学家的努力仍然无法全部给予证明，而只能证明n<100时的定理是正确的。最后给予完整证明的是英国著名数学家andre（安德鲁•威尔斯）。他的证明占满了美国《数学年刊》第142卷，竟然长达130页，这也是要有对数学的极度痴迷和耐心才能够做出来的伟大的成绩。
勾股定理的无字证明
在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即 由此推出勾股定理 ，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。
(1)请你用图(2)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。
(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 ：
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：
(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq
2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号
欧几里得的证法
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
其余见： 勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站： 梁卷明
2009年3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，2009年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明：
勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.
证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合!
故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：AC+BC=AB.
勾股定理无字证明
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊
2
刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。
3
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号
西方的勾股定理之父毕达哥拉斯
毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，
曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。
毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。
勾股定理
以愤怒为斜边
寂寞为股
失望为股
寂寞与失望互为交织
等边的公平
直角的心理
股弦勾
两股的孤独面积
合蹦
延伸出自己走的斜边
蜿蜒的路
掌中平原
斜高等于两股乘积除以斜边
从三角上割下一直
一道垂直的脓
这是古代历法
不变
