数列求和方法
数学排列与组合知识点
一、排列
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的排列数，记为A
2排列数的公式与性质
(1)排列数的公式：A(n-1)(n-2)…(n-)
特例：当时，A!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1
规定：0!=1
二、组合
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出元素的一个组合
(2)从n个不同元素中取出元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的组合数，用符号C表示。
2比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点
1.计数原理知识点
①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)
2.排列(有序)与组合(无序)
An(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-)=n!/(n-!Ann=n!
Cn!/(n-!
Cn-+Cn+1!=(k+1)!-k!
3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
4.二项式定理知识点：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性质和主要结论：对称性Cn-最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1
③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
说说等差数列求和
今天我要跟大家说一个数学公式，那就是等差数列求和公式。大家知道什么是等差数列求和公式吗？这要从一个叫高斯的人说起。
高斯是德国的一个数学家，他在上小学的时候，数学老师布置了一道很复杂的计算题：对自然数从1加到100求和。高斯用很短的时间就将这道复杂的题算了出来，他使用的方法是：对50对构成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。这一年高斯才9岁，跟我一样大的年纪。高斯发现的这个方法就是等差列数求和公式，也被成为高斯公式。高斯后来成为了世界著名的数学家。
等差数列求和公式就是：总和=（首项+末项）X项数／2。
以上就是等差数列求和公式的来历。
数列求和与数列的综合应用-理科数学一轮复习课时作业
课时作业34数列求和与数列的综合应用第一次作业基础巩固练一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为(C)
A．380－B．400－
C．420－D．440－
解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是(C)
A．16B．20
C．33D．120
解析：由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.
3．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(D)
A．2n＋1＋n－2B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2D．2n＋1－n－2
解析：因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②
所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.
4．(2019·沈阳市教学质量监测)在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1＝2，且a1a5＝64，则数列{}的前n项和是(A)
A．1－B．1－
C．1－D．1－
解析：∵数列{an}为等比数列，an0，a1＝2，a1a5＝64，∴公比q＝2，∴an＝2n，＝＝－.设数列
{}的前n项和为Tn，则Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－，故选A.
5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金(B)
A.斤B.斤
C.斤D.斤
解析：假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金(1－)x＝x；第3关收税金(1－－)x＝x；第4关收税金(1－－－)x＝x；第5关收税金(1－－－－)x＝x.依题意，得x＋x＋x＋x＋x＝1，即(1－)x＝1，x＝1，解得x＝，所以x＝×＝.故选B.
6．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a22，则n的最大值为(A)
A．51B．52
C．53D．54
解析：因为an＋1＋an＝2n＋1①，
所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3②，
②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，
所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，所以Sn＝
当n为偶数时，＝1350，无解(因为50×51
＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．
当n为奇数时，＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－，因为a22，所以3－a12，所以a11，
所以1351－1，所以n(n＋1)2700，
又n∈N，所以n≤51，故选A.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1(3n－2)，则前100项和S100等于－150.
解析：∵a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝a99＋a100＝－3，∴S100＝－3×50＝－150.
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N)，则S2018＝3·21_009－3.
解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，①∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1，②由①÷②得＝2，
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2018＝＋＝3·21009－3.
9．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝－63.
解析：解法1：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
解法2：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
三、解答题
10．(2019·贵阳市监测考试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q0，S2＝4，a3－a2＝6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：＋＋…＋2.
解：(1)∵S2＝a1＋a2＝4，a3－a2＝6，
∴
∵q0，∴q＝3，a1＝1，∴an＝1×3n－1＝3n－1，
即数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)证明：由(1)知bn＝log3an＋1＝log33n＝n，∴b1＝1，bn＋1－bn＝n＋1－n＝1，
∴数列{bn}是首项b1＝1，公差d＝1的等差数列，
∴Tn＝，则＝＝2(－)，
∴＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝2(1－)2，∴＋＋…＋2.
11．已知数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由已知得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
而a1＝1满足上式，所以an＝4n－3，n∈N.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n(4n－3)．
当n为偶数时，Tn＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n－7)＋(4n－3)]＝4×＝2n；
当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－(4n＋1)＝－2n＋1.
综上，Tn＝
12．(2019·石家庄质量检测(二))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S＝－4，S，S＝14(，且)．
(1)求值；
(2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．
解：(1)由已知得，a－S＝4，
且a＋a＝S－S，
设数列{an}的公差为d，
则有2a＝14，∴d＝2.
由S，得＋×2＝0，即a1＝1－∴a＋×2＝＝4，∴
(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6，
∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3，
∴(an＋6)·bn＝2n×2n－3＝n×2n－2.
设数列{(an＋6)·bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①
2Tn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②
①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1＝－n×2n－1＝2n－1－－n×2n－1，
∴Tn＝(n－1)×2n－1＋(n∈N)．
第二次作业高考·模拟解答题体验1．(2019·河北名校联考)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.
解：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1，
∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.
∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，
∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.
(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，
∴＝－2，又C1＝－1，
∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴Tn＝＝－[1－(－2)n]．
2．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1cn(n∈N)．
解：(1)设数列{an}的公差为d，
则
解得或(舍去)，
所以an＝n＋1，Sn＝.
又b1＝a1＝2，b2＝a3＝4，所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
(2)证明：因为an·bn＝(n＋1)·2n，
所以Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①
所以2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②
①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，
所以Kn＝n·2n＋1.
则cn＝＝，cn＋1－cn
＝－
＝0，所以cn＋1cn(n∈N)．
3．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
设等比数列{an}的公比为q，
由a4＝a1q3，得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N.
(2)Sn＝＝2n－1，
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－，n∈N.
4．(2019·石家庄质量检测)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，
又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，
累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1＝＋＋…＋，
即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，设数列{}的前n项和为Tn，
则Tn＝＋＋＋…＋①，
Tn＝＋＋＋…＋②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.
易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，
∴Sn＝n(n＋1)－4＋.
5．已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且2Sn＝a＋an，等比数列{bn}的公比q1，b1＝2，且b1，b3，b2＋10成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an·bn＋(－1)n·，记T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n，求T2n.
解：(1)当n≥2时，由题意得2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，
2an＝a－a＋an－an－1，
a－a－(an＋an－1)＝0，
(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－10，∴an－an－1＝1，
当n＝1时，2a1＝a＋a1，∵a10，∴a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×1＝n.
由b1＝2,2b3＝b1＋(b2＋10)，得2q2－q－6＝0，
解得q＝2或q＝－(舍)，∴bn＝b1qn－1＝2n.
(2)由(1)得cn＝n·2n＋(－1)n·＝n·2n＋(－1)n，
∴T2n＝(1×2＋2×22＋…＋2n·22n)＋＝(1×2＋2×22＋…＋2n·22n)＋，
记W2n＝1×2＋2×22＋…＋2n·22n，
则2W2n＝1×22＋2×23＋…＋2n·22n＋1，
以上两式相减可得－W2n＝2＋22＋…＋22n－2n·22n＋1＝－2n·22n＋1＝(1－2n)·22n＋1－2，
∴W2n＝(2n－1)·22n＋1＋2，
∴T2n＝W2n＋＝(2n－1)·22n＋1＋＋1.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项的和为Sn，试求数列{S2n－Sn}的最小值；
(3)求证：当n≥2时，S2n≥.
解：(1)由条件an＋1＝2an，
得＝2·，又a1＝2，所以＝2，
因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列．
＝2·2n－1＝2n，因此，an＝n·2n.
(2)由(1)得bn＝，设cn＝S2n－Sn，
则cn＝＋＋…＋，
所以cn＋1＝＋＋…＋＋＋，从而cn＋1－cn＝＋－＋－＝0，
因此数列{cn}是单调递增的，所以(cn)＝c1＝.
数列求和的解题方法总结
一.等比数列求和的教学基础
1.知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.
2.重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=1两种情况.
3.学习建议
①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论
③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣
④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.
⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大
⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
二、等比数列求和公式
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，
即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2×2^(n-1) 通项公式 an=a1×q^(n-1);
1.通项公式与推广式
推广式：an=a^(n- [^的意思为q的(n-次方];
2.求和公式
Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞) (q为公比，n为项数)
3.等比数列求和公式推导
①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)
③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
④(1-q)Sn=a1-a1*q^n
⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)
⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
4性质 简介
①若 、p、q∈N，且+q，则a×aq;
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质
③若、q∈N，且，则a(aq)^2;
④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠ 0);
⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零
三.学习等比数列的方法
1知识与技能目标
理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.
2.过程与方法目标
通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.
3.情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
4..教学重点、难点
①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公 式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力
.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用. 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定;二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
数列求和的解题方法总结
一教学知识点：
数列通项与数列求和
二. 教学要求：
掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。
三. 教学重点、难点：
重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。
难点：转化的思想以及转化的途径。
四. 基本内容及基本方法
1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;
(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.
(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.
(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，
=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).
2、数列的前n项和
(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
(2)等差数列的前n项和公式：
Sn= = .
(3)等比数列的前n项和公式：
①当q=1时，Sn= .
②当q≠1时，Sn= .
(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.
(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.
方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。
②对通项中含有(-1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性。
③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。
【典型例题】
例1. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证：{an}为等差数列;
(2)求S n的最小值及相应的n;
(3)记数列{
}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。
解：(1)n=1时，a1=S1=-8
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10
∴ an=2n-10 an+1-an=2
∴ {an}是等差数列.
(2)Sn=n2-9n=(n-
)2-
∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.
(3)an=2n-10 ∴ -10 令an≥0
n≥5 ∴ 当n≤4时， -2n
Tn=
，当n≥5时，
Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an
=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4
=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40
数列求和的解题方法总结
摘 要：数列求和是高中数学知识中的重点和难点，它在高考中出现的频率高，题型多种多样，考查方式灵活。将数列求和的方法进行总结和归纳能够帮助学生找到其中的解题规律，提高该类型题的成功率。
关键词：高中数学；数列求和；方法；归纳
求数列的前n项和是数列题中的高频考点。它的考查十分灵活，题型变化多样，有以选择题的方式出现，有的则是填空题，甚至还会以一道综合大题的方式进行考查。本文通过用列举典型题的方式，总结归纳了6种常见的数列求和方法，供大家参考。
一、倒序相加法
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法，它的基本类型可以用公式表示为：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具体解法见下面的例题。
例：设等差数列{an},公差为d,求证：{an}的前n项和Sn=n（a1+an）/2
解：Sn=a1+a2+a3+…+an①
倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②
①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n（a2+an） Sn=n（a1+an）/2
倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系，这就需学生要有一定的敏感度，一眼就能找准解题的方法，然后就是要细心地做。因此，做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外，大量的习题训练也是十分必要的。
二、用公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。等差数列的基本求和公式为：Sn=（a1+an）n/2;变形公式为Sn=na1+n（n-1）d/2（d为公差）。等比数列的求和公式为：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型，它的难度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。
三、裂项相消法
裂项相消法是数列求和中比较难的一类题型，因为它不好看出数列之间的规律。如果裂项不对，也不能将问题解出。裂项相消法的解题原理是：将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
四、错位相减法
若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出{anbn}前n项和。
错位相减法其实并不难，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应项，如果二者相减的时候没有找准对应项，即便思路再对，也会满盘皆输。因此，做任何一道数列题，都要求书写工整，格式规范，以免造成不必要的失分。
五、叠加法
叠加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an,从而求出Sn.
六、分组求和法
分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法。记住了这一类题型的特点，就能准确找到解题思路。
总之，数列求和以其灵活多变的出题方式和较高的错题率成为高中数学中的难点。这类题虽然难，但也并不是无规律可循的。万变不离其宗，教师在讲课当中应该帮助学生多多总结归纳相关的解题技巧和解题方法，并配合适当的试题训练；学生自身也要多思考，可以准备一个错题记录本时常翻看，有助于将这类问题消化吸收，最终将其完全掌握。
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数列求和的方法技巧总结
一、倒序相加法
此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1. 已知
求
解：
。 ①
把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：
②
把①②两式相加得
二、错位相消法
此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列
的前n项和。
解：设
当
时，
当
时，
①
①式两边同时乘以公比a，得
②
①②两式相减得
三、拆项分组法
把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列
的前n项和。
解：设数列的前n项和为
，则
当
时，
当
时，
说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与
的情况进行讨论。
四、裂项相消法
用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如
例4. 求数列
的前n项和。
解：
五、奇偶数讨论法
如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出
与n的关系进行求解。
例5. 已知数列
求该数列的前n项和
。
解：
对n分奇数、偶数讨论求和。
①当
时，
②当
时，
六、通项公式法
利用
，问题便转化成了求数列
的通项问题。这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。
例6. 已知数列
求该数列的前n项和
。
解：
即
∴数列
是一个常数列，首项为
七、综合法
这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。
例7. 已知
求
分析：注意观察到：
其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。
解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：
②当n为偶数时，可知：
由①②可得
说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。
