面积和周长的关系

长方体和正方体的周长面积和体积计算公式

　　体积：物体所占空间的大小。

　　容积：容器若能容纳的物体的体积。

　　表面积：长方体或正方体六个面的总面积。

　　底面积：（长×宽）

　　截面积：（宽×高）

　　以下公式要熟记，并且能够灵活运用。

　　长方形周长公式：（长+宽）×2

　　正方形周长公式：边长×4

　　长方体棱长总和公式：（长+宽+高）×4

　　正方体棱长总和公式：棱长×12

　　长方形面积公式：长×宽

　　正方形面积公式：边长×边长

　　长方体表面积公式：（长×宽+长×高+宽×高）×2

　　正方体表面积公式：棱长×棱长×6

　　长方体体积公式：长×宽×高

　　正方体体积公式：棱长×棱长×棱长

　　通用体积公式：底面积×高

　　截面积×长

　　表面积的变化要会分析。

　　长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之，两个相同，体或长方体拼在一起，一次会减少两个面。

　　长方体和正方体的特征，相同点和不同点要牢记。

微积分极限思想推导圆周长面积公式

　　圆周长公式推导

　　1.积分法

　　在平面直角坐标下圆的方程是x^2+y^2=r^2

　　这可以写成参数方程

　　x=rCost

　　y=rSint

　　t∈[0,2π]

　　于是圆周长就是

　　C=∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt

　　（Q:此处x,y对t为什么都要导

　　A:将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1),y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2).所以C就是√((x'(t))^2+(y'(t))^2)从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.）

　　=∫(0到2π)√((-rSint)^2+(rCost)^2)dt

　　=∫(0到2π)rdt

　　=2πr

　　2.极限法

　　在圆内做内接等n边形，

　　求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，

　　其底边长为2rsin(π/n)，所以等n边形周长为

　　n2rsin(π/n)

　　这个周长对n→∞求极限

　　li(π/n)]

　　运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x

　　所以li(π/n)]=liπ/n]=2πr.

　　圆面积公式推导

　　应用圆周长C=2πr

　　1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。

　　2.积分法

　　可将圆看成由无数个同心圆环组成.设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S=∫2πrdr,从0积到R.

　　所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]=πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法ShellMethod”与此法是类似的)

　　不应用圆周长C=2πr

　　1.积分法

　　(1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.

　　(2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A.C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2)，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是rC/n1/2=1/2r√(△x^2+△y^2)=1/2r√((x'(t))^2+(y'(t))^2).

　　于是圆的面积就是

　　S=∫(0到2π)1/2r√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt

　　=1/2r∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt

　　=1/2rC

　　=1/2r2πr

　　=πr^2.

　　2.极限法

　　类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形，

　　求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，

　　根据正弦定理，其面积为1/2rrsin(2π/n)，所以等n边形面积为

　　n1/2r^2sin(2π/n)

　　这个面积对n→∞求极限

　　li^2sin(2π/n)]

　　运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x

　　所以li^2sin(2π/n)]

　　=li^22π/n]=πr^2π.

数学日记长方形的面积

　　今天，显得非常地无聊，就随手拿出一张《数学报》，突然一个非常的特别的题目把我吸引了。

　　[题目]有一张长方形铁皮，剪下图中的阴影部分，正好能做成一个圆柱体这个圆柱体的底面半径为2分米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方分米

　　[分析与解题]仔细观察右图，可以发现阴影长方形的宽不可能是这个圆柱体的底面周长，那么，圆柱体的底面周长是阴影长方形的长，另外，我们还可以发现长方形铁皮的宽，即圆柱体的高是圆柱底面直径的2倍，圆柱的底面直径+底面周长=长方形铁皮的长。因此，长方形铁皮的长是2×2+2×3.14×2=16.56(分米)宽是2×2×2=8(分米)原来长方形铁皮面积是16.56×8=132.48(平方分米)。

数学所有图形的周长面积体积表面积公式

　　小学数学图形计算公式

　　平面图形图形名称图形周长（C）公式面积（S）公式正方形（4条对称轴）a周长＝边长×4C=4a公式变换：a=C÷4=C面积=边长×边长S=a×a=a2长方形（2条对称轴）ba周长＝长+长+宽+宽=2长+2宽=（长+宽）×2C=（a+b）×2公式变换：a=C÷2－bb=C÷2－a面积=长×宽S=a×b=ab公式变换：a=S÷bb=S÷a三角形（等边△有3条对称轴；等腰△有1条对称轴）cbhaa周长＝边长a+边长b+边长cC=a+b+c注：等边△周长C=3a公式变换：a=C÷3面积=底×高÷2s=ah÷2=ah公式变换：三角形高=面积×2÷底h=2s÷a三角形底=面积×2÷高a=2s÷h平行四边形（没有对称轴）ahaab周长＝边长a+边长a+边长b+边长b＝边长a×2+边长b×2C＝2a+2b=2（a+b）面积=底×高s=ah公式变换：a=s÷hh=s÷a梯形（等腰梯形有1条对称轴）haedb周长＝边长a+边长b+边长d+边长eC＝a+b+d+e面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2公式变换：a=2s÷h－bb=2s÷h－a圆形rd周长=直径×π=2×π×半径C=πd=2πr公式变换：d=2rr=d÷2d=C÷πr=C÷2π※半圆周长=πr＋d面积=半径×半径×πS=πr2圆环周长=C大圆+C小圆=πD+πd=2πR+2πr=2π（R+r）面积=S大圆－S小圆=πR2－πr2=π（R2－r2）立体图形图形名称图形总棱长（L）公式表面积（S）公式体（容）积（V）公式正方体a总棱长=棱长×12L=12aS=一个面的面积×6S=a×a×6=6a2体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a3长方体hba总棱长=长×4+宽×4+高×4=4（长+宽+高）L=4（a+b+h）表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)体积=长×宽×高V=abh圆柱体侧面积=底面周长×高S侧=ch=dπh=2πrh表面积=底面积×2+侧面积S表=S底×2+S侧圆柱的表面积公式：（1）有两个底面的圆柱的表面积公式：S表=S底×2+S侧=πr2×2+πdh=πr2×2+2πrh=2πr（r+h）（2）只有1个底面的圆柱的表面积公式：S表=S底+S侧=πr2+πdh=πr2+2πrh=πr（r+2h）（3）两个底面都没有的圆柱的表面积公式：S表=S侧=ch=πdh=2πrh体积=底面积×高＝侧面积÷2×半径V=S底×h=πr2h圆筒大圆柱直径为D，半径为R，周长为C；小圆柱直径为d，半径为r，周长为c；高都为hS表=S大圆柱侧+S小圆柱侧+（S大圆柱底－S小圆柱底）×2=C大圆柱h+c小圆柱h+（πR2－πr2）×2=Dπh+dπh+（πR2－πr2）×2=πh（D+d）+2π（R2－r2）=2πh（R+r）+2π（R2－r2）V=V大圆柱－V小圆柱=S大圆柱底×h－S小圆柱底×h=πR2h－πr2×h=πh（R2－r2）圆锥体体积=底面积×高÷3V圆锥=V圆柱=S底×h=πr2hV圆柱=3V圆锥等底等体积的圆柱与圆锥，圆锥的高=圆柱高的3倍

关于面积的数学日记

　　今天，老师教我们面积。

　　面积的意思是：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。单位有平方厘米、平方分米、平方米。

　　通过学习面积，我知道了1平方厘米差不多有我食指的指甲那么大。1平方米地面约可以站16个同学。4个同学手拉手大约是1平方米。我们新课桌面大约有24平方分米。我们新黑板面大约有4平方米。我还知道了1厘米和1平方厘米的不同，1厘米是用来量长度的，而1平方厘米是用来量大小的。

　　我知道了这么多，那你们知道了吗

　　这个星期我知道了面积单位的进率是100，我还知道100平方厘米=1平方分米，1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米，1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷，8平方分米=800平方厘米，3公顷=30000平方米，400平方分米=4平方米。1100平方千米=11公顷。我还知道一个教室的面积约50平方米，200个这样的教室，面积约1公顷。一个足球场的面积约7000平方米，140个足球场的面积约1平方千米，你知道这些吗?，如果不知道就看我的日记。

谁的面积大？

　　现在学生居然这样学习，受教了！

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　　再一次做题时，我遇到了这样一道题：用24c铁丝围成长方形、正方形、圆的面积之中，谁的面积最大。所以正好利用了这个锲机，让自己计算出来。我跃跃欲试，迅速拿出了草稿本。

　　长方形的面积：24÷2=12（c可以拆成1和11c和10c和9c和8c和7c就取最大的面积5和7好了。5×7=35（c）长方形的面积就是352c！

　　正方形的面积：24÷2=12（c÷2=6（c×6=36（c）正方形的面积是36c。

　　最后一个是最麻烦的圆：圆的面积：（24÷3.14÷2）2×3.14≈45.86（c）圆的面积为45.86c。

　　比较：35c＜36c＜45.86c，圆的面积最大。

　　哦~原来圆的面积最大啊，怪不得生活中有那么多圆形的东西！

　　这次计算不仅让我得到了知识，还使我知道，有不懂就应该努力探索，说不定会有意外收获的哦！

有关面积的数学日记

　　一天，在上奥数兴趣班时，我打开书预习要学的内容，原来今天学第十四讲：配对求和呀!听老师说：“配对求和也叫高斯求和，因为这种求和方法是数学家高斯最早发现的”。

　　当我看到例题3的时候，被这道题难住了。题目是：“有一堆木材叠堆在一起，一共是20层，第一层有12根，第二层有13根，……，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根?”我拿起铅笔，在草稿本上左画一个图，右画一个图，也没有做出这道题。上课时，老师给了我们一个公式——梯形面积=(上底+下底)×高÷2。这个公式是什么意思?为什么要用一个这样的公式呢?我想了很久，也找不出答案，于是我就向老师提出了这个问题，老师说：“你可以结合长方形面积计算方法想。”根据老师的提示，我在本子上画了图并进行演算，结果画出了下面这个图，

　　原来梯形的上底与下底和就是长方形的长，梯形的高就是长方形的宽，一个梯形面积就是长方形面积的一半，所以得出梯形面积=(上底+下底)×高÷2这个公式。因为这堆木材成了梯形的形式，所以可以运用这个公式计算它的根数，于是我很快就求出下底的长度(即下底有多少根)12+20-1=31(根)，随后算出梯形的面积，也就是这堆木材的总根数，(12+31)×20÷2=430(根)。我看了一下思路导航，“YES!这道题我算对了!耶!”我兴奋地说。

　　做完了这道题，老师说：“同学们，这种题类似于求梯形面积，你们以后会在五年级学到的。”我心里美滋滋的，因为我现在才三年级就已经学过一道五年级的算术题，还知道了梯形面积公式的来历，并且懂得如何运用到日常生活中去。

生活中的面积

　　自从学了《多边形的面积计算》，我就了解到了图形的面积就是：这个图形的平面大小。生活中有不少的平面有大小的东西，也就有很多面积。

　　放学回家了，在准备洗手吃饭的时候，无意中发现了我们经常熟视无睹的东西——香皂，我家的这块香皂长大概10厘米，宽大概5厘米：

　　长方形的面积计算方式：

　　长 × 宽 = 面积

　　这道题：10×5=50(平方厘米)

　　这块香皂的面积大概50平方厘米用我们学过的单位名称的转换可以=0.5平方分米=0.005平方米……可是香皂太小了，不适合用平方分米、平方米。

　　吃完晚饭，我跑到妈妈跟前，妈妈正在为他们单位员工（护士）出考题。我有奇迹般的发现电脑又长又宽有时长方形的，它一定有面积。我那卷尺量了量长和宽，长大概是:40厘米（4分米），宽大概是20厘米（2分米）。面积就是40×20 =800（平方厘米）合8平方分米。

　　趁妈妈上厕所的时候偷偷地玩了一会电脑，真玩得起劲的时候，忽然想到老师上课让调查我国各个省市的占地面积。我以最快的速度在网上找来找去足足花了半个小时，其实妈妈已经在我的旁边站着那。最后终于找完了重庆市8.23万平方千米；四川省48万平方千米；河南省16万平方千米；广东省18万平方千米；贵州省17.6万平方千米。

　　生和中有无处不在的面积，也有无处不在的数学。

关于面积的作文

　　在这个星期里，我们学习了表面积。今天，老师就让我们写一篇关于表面积的日记。于是，我就把我的复读机拿了出来，算起了它的表面积。

　　我先把老师教给我的概念写下来。长方体的表面积=上下+左右+前后=（长×宽×2）+（宽×高×2）+（长×高×2）。然后，我拿起尺子量长、宽、高的长度。长12厘米，宽6厘米，高1厘米。最后，我就算了起来：（12×6×2）+（6×1×2）+（12×1×2）=180（平方厘米）。

　　我又拿出一个正方体，又把概念写了下来。正方体的表面积=棱长×棱长×6。然后，我拿出尺子量正方体的棱长。棱长是6。最后我把正方体的表面积求了出来：6×6×6=216（平方厘米）。

　　这是我第一次写的数学日记，在我写题目时，我就想：该怎么办呢，怎样才能写好呢？可是，当我写完时，我就觉得数学日记是如此有趣的。

面积、周长、体积公式

　　1、长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2

　　2、长方形的面积=长×宽S=ab

　　3、正方形的周长=边长×4C=4a

　　4、正方形的面积=边长×边长S=a?a=a2

　　5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2

　　6、平行四边形的面积=底×高S=ah

　　7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2

　　8、直径=半径×2d=2r

　　半径=直径÷2r=d÷2

　　9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2C=πd=2πr

　　10、圆的面积=圆周率×半径×半径S=πr2

　　11、n°圆心角对应的扇形的面积=n×圆周率×半径×半径÷360=弧长×半径÷2

　　S=nπr2÷360=lr÷2

　　12、n°圆心角对应的扇形的弧长=n×圆周率×半径×2÷360l=2πrn÷360=πrn÷180

　　13、n°圆心角对应的扇形的周长=扇形弧长+半径×2C=l+2r=πrn÷180+2r

　　14、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2S=2×（ab+ah+bh）

　　15、长方体的体积=长×宽×高V=abh

　　16、正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a2

　　17、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a?a?a=a3

　　18、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch=2πrh

　　19、圆柱的表面积=底面圆面积×2+侧面积S=2πr2+2πrh

　　20、圆柱的体积=底面积×高V=Sh=πr2h

　　21、圆锥的体积=底面积×高÷3V=Sh÷3=πr2h÷3

　　三角形中特殊的等号

　　1、等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等。

　　2、等边三角形的三个角相等均为60°，三条边相等。

　　3、一个角为60°的直角三角形中，最短的直角边的长度是斜边的一半。

　　4、下图△ABC中D为BC的中点，BD=CD，则S△ABD=S△ADC

　　5、下图△ABC为直角三角形，∠A=30°，D是AC的中点，则AD=DC=BD=BC。

　　求图形面积方法

　　方法一：公式法。所求图形是规则图形，可以通过常用公式直接带入计算。

　　举例：在一个边长8c正方形纸板里剪出一个最大的圆，圆的面积是多少

　　方法二：加减法。所求图形不是规则图形，可以通过一个或几个规则图形相加减去一个或几个规则图形得到。

　　举例1：一个环形的外圆直径1内圆半径4d它的面积是多少

　　举例2：求阴影部分面积

　　方法三：割补法。所求图形不是规则图形，可以将图形中的某个部分移至某个特殊的地方，拼接成为规则图形。然后再根据方法一计算得到。

　　举例：求阴影部分面积

　　方法四：相等法。所求图形是一个或几个三角形组合而成，根据等底等高的三角形面积相等的原理得出所求图形面积。

　　举例：已知△ABC的积为4，D、E、F分别是BC、AD、EC上的中点，求阴影部分的面积。