同角的补角相等

尝试换种角度看世界

　　有位学者出了一道题：四个图形符号中，哪一个与其他三个类型不同？有人说圆形，因为圆形是惟一没有角的图形；也有人说三角形，它是惟一由直线构成的；又有人说半圆形也正确，它是惟一由直线和曲线组成的；最后有人说第四个图形也可以，因为它是惟一非对称性的图形。

　　请以“答案是丰富多彩的”为话题写一篇文章。

　　［注意］1.这个话题的范围是很宽泛的，只要与学者的这道题引发的思想感受有关，都符合要求。2.文体不限。可以记叙经历，编述故事，抒发感情，发表议论，展开想象，等等。3.题目自拟。4.不少于800字。

同位角、内错角、同旁内角

　　4．培养由较复杂的图形中分解出简单的、基本图形的能力．

　　◆要点讲解

　　1．两条直线被第三条直线所截时，构成了八个角，简称“三线八角”．

　　2．两条直线被第三条直线所截时，要分清是哪两条直线被哪一条直线所截（即第三条直线）．

　　3．每对同位角（或内错角或同旁内角）的四条边仅涉及三条直线，两个角的边涉及的同一条直线就是截其余两条直线的“第三条直线”，其余涉及的两条即为被截的两条直线．

　　4．通过一定数量的变式图形的辨认，大量正反例子的辨认来形成同位角、内错角、同旁内角的正确认识．

　　◆学法指导

　　1．在被截两条直线的同一方向，在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同位角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的两侧的一对角为内错角；在被截两条直线之间，在截线（即第三条直线）的同一侧的一对角为同旁内角．

　　2．在同位角、内错角、同旁内角中的“同”指在被截两条直线的同一方向或截线（即第三条直线）的同一侧：“内”指被截两条直线之间；“错”指在截线（即第三条直线）的两侧．

　　3．同位角的形状像英文字母“F”；内错角的形状像英文字母“Z”；同旁内角的形状像英文字母“C”或“n”．

　　4．同位角、内错角、同旁内角都是两条直线被第三条直线所截形成的没有公共顶点的一些所对的角．如果两角由四条直线构成（即它们没有公共截线），那么肯定既不是同位角，也不是内错角、同旁内角．

　　5．对于有些较复杂的图形，刚开始识别时有一定困难，解决这一困难的有效措施是：将指定的三条直线用有色笔描出来，突出研究截线，再去辩认角．若图形不标准，可根据情况把线段（或射线）向两边（或一边）作适当延长．

　　例题分析

　　【例1】如图所示，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截而成的？它们是同位角、内错角、同旁内角中的哪一类角

　　【分析】由于∠1和∠4的公共边是BD，则BD为截线，AB，CE为被截直线，且∠1和∠4在BD同一侧，在AB和CE的同一方向，∠2和∠3的公共边是AC，则AC为截线，CE，AB为被截直线，且∠2和∠3在AC的两侧，在AB和CE之间．∠3和∠4的公共边是AB，则AB为截线，AC、BC为被截直线，且∠3和∠4在AB的同一侧，在BC和AC之间．

　　【解】∠1和∠4是直线AB和CE被直线BD所截而成的同位角．

　　∠2和∠3是直线AB和CE被直线AC所截而成的内错角．

　　∠3和∠4是直线AC和BC被直线AB所截而成的同旁内角．

　　【注意】识别同位角、内错角、同旁内角的方法是：首先分清“两条直线”和“第三条直线”，再用“两条直线”分内外，“第三条直线”分两旁来确定每一个角的位置．

　　【例2】如图所示，直线DE交射线BA和BC于点E和D，请找出∠1的同位角与∠B的同旁内角．

　　【分析】∠1的同位角应与∠1有一条公共边DE或BC，若公共边是DE，则DE是截线，BA和BC是被截两线．此时在直线DE同一侧，在直线BA和BC同一方向的角是∠5；若公共边是BC，则BC为截线，DE和BA为被截两线，此时在BC同一侧，DE和BA同一方向的角是∠B．同理，∠B的同旁内角也有两个．

　　【解】∠1的同位角是∠5与∠B．∠B的同旁内角是∠2与∠3．

　　【注意】（1）三条线两两相交，任何一条线都可以看作是截线，而其余两条为截线，故需要分类讨论．

　　（2）找同位角、内错角、同旁内角应根据图形特点找出与角有关的线，剔除与相关的角无联系的线．

　　（3）若图形不标准，可视情况把线段（或射线）向两边（或一边）延长或者剔除一部分线段．

　　【例3】平行线EF、MN与两相交直线AB、CD相交成如图的图形．请你找出图中共有多少对同旁内角

　　【分析】因为每一个“三线八角”基本图形中都有2对同旁内角，从图中可以分解出下列4类基本图形（图1，图2，图3，图4）．

　　图1图2

　　图3图4

　　对于图1，三条直线AB、CD、EF两两相交，找同旁内角时，有三种情形：两直线AB和CD被第三条直线EF所截；两直线AB和EF被第三条直线CD所截；两直线CD和EF被第三条直线AB所截．因此，对于图1，可分解出三个基本图形，每个基本图形有2对同旁内角，共有6对同旁内角．

　　类似地，对图2，也可分解出三个基本图形，共有6对同旁内角．

　　对于图3，由于EF和MN两直线平行，所以只有这一个基本图形，从而有2对同旁内角．

　　类似地，对于图4，也只有2对同旁内角．

　　【解】图中共有16对同旁内角．

　　【注意】将复杂的图形分解为基本图形，是解决几何问题的重要方法．

　　◆练习提升

　　一、基础训练

　　1．如图所示，AB、CD分别交EF于G、M，GH、MN分别与AB、CD交于G、M，有下列结论：

　　①∠1与∠4是同位角；②∠2与∠5是同位角；

　　③∠EGB与∠GMD是同位角；④∠3与∠4是同旁内角．

　　其中正确的结论个数有

　　A．4个B．3个C．8对D．12对

　　3．下图中，∠α和∠β不是同位角的是

　　ABCD

　　4．如图所示，E是BC延长线上一点，则直线AB和CD被AC所截而成的内错角是

　　A．∠2与∠3B．∠1与∠4C．∠D与∠5D．∠1与∠ACE

　　(第4题)(第5题)

　　5．如图所示，已知直线MN分别交AB、AC于点D、E．

　　（1）直线DE和BC被AB所截而成的同位角是______，同旁内角是______．

　　（2）∠2与∠6是直线_____和_____被直线_____所截而成的内错角．

　　（3）∠A与∠3是直线_____和_____被直线_____所截而成的_______．

　　6．如图所示，回答下列问题：

　　（1）∠1和∠B构成什么角？（2）∠2和∠A构成什么角

　　（3）∠B和哪些角构成同旁内角

　　7．如图所示，直线a和直线b被直线L所截而成的同位角、内错角、同旁内角分别有多少对？请写出这些同位角、内错角、同旁内角．

　　8．如图所示，BD是四边形ABCD的对角线，E是CD延长线上一点．

　　（1）∠1与∠2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角

　　（2）AB和CD被BD所截，其内错角是哪一对角

　　9．如图所示，若以AB、CD为两条被截直线，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来．

　　10．如图所示，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的一点，连结DE、EF．

　　（1）∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角

　　（2）∠1和∠B是哪两条直线被哪一条直线所截得的什么角？∠EFC和∠C呢

　　二、提高训练

　　11．下列图中，∠1与∠2不是同旁内角的是

　　12．如图所示，下列判断正确的是

　　A．4对同位角，4对内错角，2对同旁内角

　　B．4对同位角，4对内错角，4对同旁内角

　　C．6对同位角，4对内错角，4对同旁内角

　　D．以上判断都不对

　　13．如图所示，直线a∥b∥c，则图中共有内错角

　　A．4对B．6对C．8对D．10对

　　14．如图所示，直线DE和BC被直线AB所截．

　　（1）∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？（2）∠1与∠5是内错角吗

　　（3）如果∠1=∠4，那么∠1=∠2呢？∠1和∠3互补吗？为什么

　　15．如图所示，直线a、b被直线c所截，若∠1的同旁内角等于60°56′，求∠1的内错角的度数．

　　三、拓展训练

　　16．如图所示，如果与∠1成同位角的角的个数为a，与∠1成内错角的角的个数为b，那么a、b的大小关系是：a_____b．（填“”、“=”或“”）

　　(第16题)(第17(1)题)(第17(2)题)

　　17．（1）如图所示，直线a，b，c两两相交于A，B，C三点，则图中有______对对顶角；有______对同位角；有______对内错角；______对同旁内角．

　　（2）如图所示，若四条直线两两相交于不同点，则图中有_____对对顶角；有______对同位角；有_____对内错角；______对同旁内角．

　　（3）若n条直线两两相交于不同点，则图中有____对对顶角；有_____对同位角；有_____对内错角；有_____对同旁内角．

　　答案:

　　1．B2．B3．A4．B

　　5．（1）∠1和∠B，∠6和∠B（2）AB，AC，DE（3）AB，DE，AC，同位角

　　6．（1）同位角（2）内错角（3）∠3，∠A，∠BCD

　　7．4对同位角：∠1与∠6，∠4与∠5，∠2与∠8，∠3与∠7；2对内错角：∠3与∠6，∠4与∠8；2对同旁内角：∠4与∠6，∠3与∠8

　　8．（1）∠1与∠2是BC、AD被BD所截而成的内错角．（2）∠ABD与∠BDC

　　9．略（提示：分四种情况，第三条直线可能是AD，AC，CE或BC．）

　　10．（1）∠1和∠2是AB，EF被DE所截得的内错角

　　（2）∠1和∠B是DE，BC被AB所截得的同位角；∠EFC和∠C是EF，EC被FC所截得的同旁内角

　　11．B12．C13．B

　　14．（1）内错角、同旁内角、同位角（2）不是

　　（3）∠1=∠2，∠1+∠3=180°．理由略

　　15．119°4′

　　16．

　　17．（1）6，12，6，6（2）12，48，24，24

　　（3）n（n-1），2n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2），n（n-1）（n-2）

　　（提示：三条直线两两相交共有3个三线八角的基本图形，四条直线两两相交于不同点共有12个三线八角的基本图形，n条直线两两相交于不同点共有n（n-1）（n-2）个三线八角的基本图形，而每个三线八角基本图形有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角）

　　因为有爱，这个社会织了一个梳不清的网，逃不出的网，因为有爱，大家才走到一起来，生活有了欢乐，有苦恼，有了说不完的千千结，谁也无法去解。因为有爱，你认识了我，我认识了你，也许就因为那一眼，我们从此在也不得分离。因为有爱，人们走南创北，什么地方都去，不管天涯海角，一个爱就有很多的力量，驱使你去很远很远，因为有爱，多少人远走他乡，离乡背景，永远不回头了。

　　因为有爱，天意会安排你去坐飞机，去坐轮船，去坐火车，去坐大客运，有可能那个上飞机的剪票员，剪过千万张机票，都懒的看他一眼，偏偏就看了你一眼，恰在这时一个证件就让她给拾了，从此相识了，走在一块，永远不分离，爱情的基础，就是剪票口看了一眼，就产生了不可磨灭的真爱。有可能坐在飞机的座位上，那个身边的姑娘在你们的谈话中，彼此就默默的分不开了，至于以前，谁去过问，也勿须过问，有爱还问历史干什么，那种爱是纯真切的，不是对每个人都有这样机遇，所以一旦走到一块，彼此之间格外珍惜，那是神话般的美丽故事，谁能不珍惜呢

　　因为有爱，才坐到一个火车上，她就坐在你的身边，瞌睡了，她就倒在你的身上睡了一路，醒来了，她不好意思，你也不好意思，就这样认识了熟悉了，当下了火车时，彼此在也不想分离，当他们走在一起时，两家的距离确是相隔千万里的路程，要是平常，你愿意从万里以外的地方说媳妇吗？就是有，谁给你牵这线，你愿意嫁到万里之遥的地方吗？你肯定没有想过，是天意给他们安排了这次火车的机遇。要不他们怎样能到一块呢

　　无边的蓝天，如纱的白云，茫茫的大海，乘风破浪巨轮，因为有爱，一个小小的世界，就会安排他们相见，或许你买的船票，和她就在一个船舱里，就是不在一个船舱，甲板上也会相遇，一块沐浴着海风的吹拂，一块欣赏着大海的波涛。不觉间走到了一块，当谈完大海的宽阔，在论海风凉爽时，才知道对方并不熟悉的人，交谈中就对方说出了自己的姓名，下了船到了一个同一的城市，就是自己的依靠了，相依为命，在艰难在困惑，日子总算一天天的好了起来，你说这是不是因为爱才走到一起来呢

　　也许彼此都喜欢上了对方，但谁也不知道谁的名字，也不知道都在什么单位，只在是下班的十字口彼此投过一个眼神，就这样在风雨里等待，也无法去打听，也没有勇气敢问对方，偶然的一次班车上，坐在了一块，去同一个城市玩，也没有什么目地，纯粹是一个人出去散心，有情侣人终成眷属，苍天安排了一次机遇，就走到了一起，当成为一家人时，自己单位的人几个都是她的亲戚，他的单位几个人都是他的亲戚，可当时谁给你介绍呢？苍天安排的亲眷没有一丝缝隙，百分之百的成功。

　　因为有爱，男女的结合没有什么理由，爱你没有商量，现在的旅游发展的特别快，当你走出世界的时候，你发现生活很有意思，不知乍的，一个车上，东南西北的人都有，只要坐在一个车上，就如同一家人似的，瞬间就改变了人们的思想观念，车上有老的，有少的，有中年的，短时间的相处，就如同父母和儿女，兄弟和姐妹，有说有笑，相互关系，分离时，都有一种恋恋不舍的那种感觉，用佛的观念来说，因为缘分还没有修到，只能今生短暂的相聚，很有意思，就因为有那么一段爱的缘分，今生天意就安排了一段旅游的机会，令人很欣慰。

　　因为有爱，这个社会织了一个梳不清的网，逃不出的网，因为有爱，大家才走到一起来，生活有了欢乐，有苦恼，有了说不完的千千结，谁也无法去解。因为有爱，你认识了我，我认识了你，也许就因为那一眼，我们从此在也不得分离。因为有爱，人们走南创北，什么地方都去，不管天涯海角，一个爱就有很多的力量，驱使你去很远很远，因为有爱，多少人远走他乡，离乡背景，永远不回头了。

　　因为有爱，天意会安排你去坐飞机，去坐轮船，去坐火车，去坐大客运，有可能那个上飞机的剪票员，剪过千万张机票，都懒的看他一眼，偏偏就看了你一眼，恰在这时一个证件就让她给拾了，从此相识了，走在一块，永远不分离，爱情的基础，就是剪票口看了一眼，就产生了不可磨灭的真爱。有可能坐在飞机的座位上，那个身边的姑娘在你们的谈话中，彼此就默默的分不开了，至于以前，谁去过问，也勿须过问，有爱还问历史干什么，那种爱是纯真切的，不是对每个人都有这样机遇，所以一旦走到一块，彼此之间格外珍惜，那是神话般的美丽故事，谁能不珍惜呢

　　因为有爱，才坐到一个火车上，她就坐在你的身边，瞌睡了，她就倒在你的身上睡了一路，醒来了，她不好意思，你也不好意思，就这样认识了熟悉了，当下了火车时，彼此在也不想分离，当他们走在一起时，两家的距离确是相隔千万里的路程，要是平常，你愿意从万里以外的地方说媳妇吗？就是有，谁给你牵这线，你愿意嫁到万里之遥的地方吗？你肯定没有想过，是天意给他们安排了这次火车的机遇。要不他们怎样能到一块呢

　　无边的蓝天，如纱的白云，茫茫的大海，乘风破浪巨轮，因为有爱，一个小小的世界，就会安排他们相见，或许你买的船票，和她就在一个船舱里，就是不在一个船舱，甲板上也会相遇，一块沐浴着海风的吹拂，一块欣赏着大海的波涛。不觉间走到了一块，当谈完大海的宽阔，在论海风凉爽时，才知道对方并不熟悉的人，交谈中就对方说出了自己的姓名，下了船到了一个同一的城市，就是自己的依靠了，相依为命，在艰难在困惑，日子总算一天天的好了起来，你说这是不是因为爱才走到一起来呢

　　也许彼此都喜欢上了对方，但谁也不知道谁的名字，也不知道都在什么单位，只在是下班的十字口彼此投过一个眼神，就这样在风雨里等待，也无法去打听，也没有勇气敢问对方，偶然的一次班车上，坐在了一块，去同一个城市玩，也没有什么目地，纯粹是一个人出去散心，有情侣人终成眷属，苍天安排了一次机遇，就走到了一起，当成为一家人时，自己单位的人几个都是她的亲戚，他的单位几个人都是他的亲戚，可当时谁给你介绍呢？苍天安排的亲眷没有一丝缝隙，百分之百的成功。

　　因为有爱，男女的结合没有什么理由，爱你没有商量，现在的旅游发展的特别快，当你走出世界的时候，你发现生活很有意思，不知乍的，一个车上，东南西北的人都有，只要坐在一个车上，就如同一家人似的，瞬间就改变了人们的思想观念，车上有老的，有少的，有中年的，短时间的相处，就如同父母和儿女，兄弟和姐妹，有说有笑，相互关系，分离时，都有一种恋恋不舍的那种感觉，用佛的观念来说，因为缘分还没有修到，只能今生短暂的相聚，很有意思，就因为有那么一段爱的缘分，今生天意就安排了一段旅游的机会，令人很欣慰。

　　因为有爱，生活中苍天给你周围安排了很多朋友，有男的，有女的，有老的，有少的，他们和你没有一点血缘关系，就是一次会议，一次酒宴，一次下乡，或许在朋友家相逢，或许路上见的多了，总的来说不管是什么原因，番正是认识了，有个什么事

　　情，你也不知是别人知道了，都来帮忙，有人叫你大侄子，有人叫你哥，有人叫你弟，还有称同学的，好象一家子人似的，谁也没有图谁什么，说句老实话，有些都不知他们在什么单位，这些人就这样从认识到熟悉，亲如一家，一见老人去叫叔姨，同辈我在称他们哥，弟，姐和妹，在小的也就是我侄子了，因为有爱，我成了天然的一家。