合同的矩阵一定对称吗(矩阵合同必定是对称矩阵吗)
您好，今天的分享主题是合同的矩阵一定对称吗。同时，我们也将探讨一下矩阵合同必定是对称矩阵吗的相关问题。如果你对这两个话题有任何疑问，这篇文章将为你一一解答，希望我们的分享能帮到你。下面，就让我们开始这趟知识的学习之旅吧！
未必，只需要给举个反例就行。
对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似，显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。
合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。
两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。
两矩阵相似的概念：设A/B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。
扩展资料：
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
(A')'=A
(A+B)'=A'+B'
(kA)'=kA'(k为实数)
(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵
二、为什么对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵
根据对称阵的含义与转置的性质，若A对称，则A^T=A，则[(C^T)AC]^T=(C^T)(A^T)(C^T)^T=(C^T)AC，所以合同矩阵(C^T)AC也是对称阵。
唯一的是其中正的对角线元素的个数，负的对角线元素的个数。（也就是二次型的正负惯性指数）。比如a与b合同，则存在可逆矩阵p，使得a=p'bp，如果把p换成2p，则有a=(2p)'(1/4b)(2p)，所以a与1/4b也是合同的。
扩展资料：
合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得则称方阵A与B合同，记作 A≃B。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
三、矩阵合同必定是对称矩阵吗
是的。
合同矩阵一定是实对称矩阵。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵C，使得C，TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。假如A和B不是实对称矩阵，即使存在可逆矩阵P令P'AP=B，那A和B也不算合同矩阵。
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：
设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
