正定矩阵是对称矩阵吗(正定矩阵一定是对称阵吗)

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一、正定矩阵一定是对称阵吗

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1-1;1 1]，A=[1 0;0 1]。

等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵。

（2）A的一切顺序主子式均为正。

（3）A的一切主子式均为正。

（4）A的特征值均为正。

（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C。

（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B。

二、线性代数,实对称矩阵一定是正定矩阵吗

你要明白什么是正定矩阵。正定矩阵的充要条件：判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：

1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。

2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

三、正定矩阵是否一定是对称阵

矩阵不是实对称矩阵，也存在二次型，只不过二次型矩阵不是原矩阵，是改造过的对称矩阵。正定矩阵也就是正定二次型必须实对称矩阵，但是可以改造成不是对称矩阵。2011年超越135里面就有一题关于改造的问题。