正定矩阵的乘积是正定矩阵吗(两个正定矩阵的乘积还是正定矩阵吗)
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不一定，A*=|A|A^-1——伴随矩阵等与其行列式乘以它的逆。因此，A*B*的问题转化成了他们的逆矩阵的问题。正定矩阵的逆矩阵仍然是正定矩阵，于是，这道题就相当于问正定矩阵的乘积是否为正定矩阵。
当然很容易证明，正定矩阵的乘积的特征值都是整数。因此有人误以为正定矩阵的乘积正定了。这也是这道题之所以被很多试卷采用的原因之一。
其实，正定矩阵要求三条：第一，实矩阵。第二，对称。第三，特征值都大于零。两个正定矩阵的乘积可以保持第一，第三个条件，唯独很难保证第二个条件。只有当他们相乘可以交换的时候，才可以保证第二个条件。所以，正定矩阵的乘积未必正定。
最后，提醒一下，在处理矩阵的判断题的时候，要先考虑矩阵的乘积特殊性：不为零的乘积为零；乘积是否可以交换。祝你学有所成！
二、正定矩阵是否必为实对称阵
是的。
正定矩阵的定义是建立在对称矩阵的基础上的：对称矩阵A对任意非零向量x，满足x'Ax>0，则定义A正定。然后对称矩阵是实矩阵的时候，满足上边定义我们叫他“正定矩阵”
A=A’是复矩阵的时候，满足x'Ax>0，叫做“正规矩阵”。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
扩展资料：
一、正定矩阵的判定方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
二、相关应用
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
参考资料来源：百度百科－正定矩阵
三、两个正定矩阵的乘积还是正定矩阵吗
两个对称阵的乘积不一定是对称阵，而正定的前提是对称。
两个正定矩阵的和是正定矩阵;正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。实对称矩阵是“母”概念。正定矩阵是“子”概念。正定矩阵是实对称矩阵的一种。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
正定矩阵性质
1、正定矩阵的行列式恒为正。
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。
3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵。
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
