相似一定合同吗(合同一定要相似吗)

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一、合同一定要相似吗

合同不一定要相似。合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。两矩阵合同的概念设A，B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同。

矩阵合同的性质

当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B，记为。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用（对称）矩阵表示二次型的问题中产生的。所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行（列）施行又得一矩阵。

二、合同一定是相似吗

合同矩阵不一定相似，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样，也就是特征值一样，就相似且合同，特征值不一样但正负性相同就合同但不相似。

设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵p，使得P^TAP=B，则称矩阵A、B为合同矩阵。设A、B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵)。

合同矩阵的性质：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。

3、传递性：A合同于B，B合同于C，就可以推出A合同于C。

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法如下：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

三、想知道相似一定合同吗

相似不一定合同。

实对称矩阵相似一定合同，但其他矩阵没有这种联系。因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵，而这个正交单位阵也可以用于合同变换。或者利用特征值和正惯性指数，实对称矩阵相似则特征值相同，合同则正惯性指数相同，因此正交相似可得合同。

实对称矩阵主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数。

3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若A具有k重特征值λ0必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。