函数的概念教案

函数y=Asin

　　2这些变换的规律是什么

　　帮助学生巩固、理解和归纳基础知识，为后面的学习作铺垫。促使学生学会对知识的归纳梳理。

　　〖问题探究〗

　　（一）师生合作探究周期变换

　　(1)自己动手，在几何画板中分别观察①y=sinx→y=sin2x;②y=sinx→y=sinx图象的变换过程，指出变换过程中图象上每一个点的坐标发生了什么变化。

　　(2)在上述变换过程中，横坐标的伸长和缩短与ω之间存在怎样的关系

　　（二）学生自主探究相位变换

　　(1)我们初中学过的由y=f(x)→y=f(xa)的图象变换规律是怎样的

　　(2)令f(x)=sinx,则f(xφ)=sin(xφ)，那么y=sinx→y=sin(xφ)的变换是不是也符合上述规律呢？请动手用几何画板加以验证。

　　设计这个问题的主要用意是让学生通过观察图象变换的过程，了解周期变换的基本规律。

　　设计这个问题意图是引导学生再次认真观察图象变换的过程，以便总结周期变换的规律。

　　师生合作探究已经让学生掌握了探究图象变换的基本方法，在此基础上，由学生自主探究相位变换规律，提高学生的综合能力。

　　〖归纳概括〗

　　通过以上探究,你能否总结出周期变换和相位变换的一般规律

　　设计这个环节的意图是通过对上述变换过程的探究,进而引导学生归纳概括,从现象到本质,总结出周期变换和相位变换的一般规律。

　　〖实践应用〗

　　（一）应用举例

　　(1)用五点法作出y=sin(2x)一个周期内的简图。

　　(2)我们可以通过哪些方法完成y=sinx到y=sin(2x)的图象变换

　　(3)请动手验证上述方法，把几何画板所得图象与用五点法作出的简图作比较，观察哪些方法是正确的，哪些方法是错误的。

　　(4)归纳总结

　　从上述的变换过程中,我们知道若f(x)=sin2x,则f(___)=sin(2x),由f(x)→f(xa)的变换规律得从y=sin2x→y=sin(2x

函数人生作文

　　人生就像一个函数。

　　上帝给了这个函数几个已知量，也给了这个函数一个未知量。

　　这个已知量不叫常数叫出身，这个未知量不是X是未来。

　　函数有曲的，也有直的，有起点高的，也有起点低的，有上升的，有下降的，有波澜不兴的，有大起大落的

　　人生有一马平川的，有坎坷不平的，有生来大富大贵的，有生来贫贱卑微的，有不断向高峰进军的，有徐徐沦落低谷的，有平稳安乐，闲适如一的，有风云突变，晴雨无常的

　　上帝给了人生一个已知量，故人生没有平等。

　　上帝给了人生一个未知量，故命运无法预知。

　　然而我们知道，函数最后的落点，与开始的起点千差万别的，当我们安于享乐，止步不前时，任上帝给了多高的起点，最后都无济于事，只能眼看命运落入低谷，当我们坚忍不拔，奋勇向前时，即使上帝给了一个很低的起点，也都无所谓；因为它最终会被远远甩开，会被我们微笑的俯视着。

　　于是我们发现，面对人生时，上帝也只能靠边站。在人生这张图纸上，到底画出怎样的命运图像，那只神奇的画笔，掌握在我们手里。

　　所以当有人为上帝给出的已知量不平时，我会告诉他一个著名影星的话：20岁前，命运是上帝给的，20岁后，命运是自己挣的。

　　所以当上帝给我们一个较低起点时，我们更要奋勇向前，当我们回首来路时会发现，原来我们也可以俯视上帝。

二次函数

　　第12讲、二次函数

　　1、二次函数的基本概念。

　　2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。

　　3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。

　　4、二次函数图象的平移。

　　5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。

　　1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

　　2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。

　　y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。增减性a0x0(h或)时，y随x的增大而减小；x0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a0x0(h或)时，y随x的增大而增大；x0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。

　　3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系：

　　(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；

　　(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系

　　抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置一元二次方程ax2+bx+c=0的解b2-4ac0两个公共点两个不相等的实数根b2-4ac=0一个公共点两个相等的实数根b2-4ac0没有公共点没有实数根

　　4、抛物线与的特殊关系。

　　当时，；当时，；

　　若，即当时，；若,即当时。

　　5、抛物线图像的平移。【口诀：左加右减，上加下减】

　　平移方向及距离平移前平移后简记向左平移个单位左加向右平原个单位右减向上平移个单位上加向下平移个单位下减

　　1、对于二次函数，有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1;②设，,则当x2x1时,有y2y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当0x2时,y0.其中正确的结论的个数为

　　A.1B.2C.3D.4

　　2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论：①b?4ac0;②4a?2b+c0;③2a?b=0;④a,其中正确结论的个数是

　　A.4个B.3个C.2个D.1个

　　3、如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为___.

　　4、如图,抛物线与x轴交于A(?1,0),B(3,0)两点。

　　(1)求该抛物线的解析式；

　　(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标。

　　5、如图,抛物线y=与x轴交于A.B两点,且B(1,0)

　　(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；

　　(2)如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；

　　(3)如图2,已知直线y=23x?49分别与x轴、y轴交于C.F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

　　6、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

　　(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。

　　(2)求该批发商平均每天的销售利润元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式。

　　(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少

　　7、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1)，拱高6跨度20相邻两支柱间的距离均为5

　　(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2)，求抛物线的解析式；

　　(2)求支柱EF的长度；

　　(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2高3三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由。

　　1、二次函数(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是

　　A.函数有最小值

　　B.对称轴是直线x=12

　　C.当?1x2时，y0

　　D.当x12，y随x的增大而减小

　　2、已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=?1，下列结论：①abc0；②2a+b=0；③a?b+c0；④4a?2b+c0。其中正确的是

　　A.①②B.只有①C.③④D.①④

　　3、要将抛物线平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是

　　A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位

　　C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

　　4、将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是（?）

　　A.y=(x?4)2?6B.y=(x?4)2?2C.y=(x?2)2?2D.y=(x?1)2?3

　　5、如图,抛物线与y轴交于点C,点D(0,1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为___.

　　6、、如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5

　　（1）足球飞行的时间是多少时，足球达到最大高度？最大高度是多少

　　（2）若足球飞行的水平距离x（单位：与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t.已知球门的高度为2.44如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28他能否将球直接射入球门

　　7、如图①是一张眼镜的照片，两镜片下半部分轮廓可以近似看成抛物线形状。建立如图②直角坐标系，已知左轮廓线端点A.B间的距离为4c点A.B与右轮廓线端点D.E均在平行于x轴的直线上，最低点C在x轴上，且与AB的距离CH=1c轴平分BD，BD=2c解答下列问题：

　　(1)求轮廓线ACB的函数解析式;(写出自变量x的取值范围)

　　(2)由(1)写出右轮廓线DFE对应的函数解析式及自变量x的取值范围。

　　8、跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线。正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.

　　(1)求该抛物线的解析式；

　　(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；

　　(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围___.

　　9、已知抛物线y=?x+3x+4交y轴于点A,交x轴于点B,C(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.

　　(1)写出A，B，C三点的坐标；

　　(2)若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

　　①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

　　②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

　　③设AP的中点是R,其坐标是，请直接写出的关系式，并写出取值范围。

　　1、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1)，拱高6跨度20相邻两支柱间的距离均为5

　　(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2)，求抛物线的解析式；

　　(2)求支柱EF的长度；

　　(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2高3三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由。

　　2、如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,?3)，动点P在抛物线上。

　　(1)b=___,c=___,点B的坐标为___;(直接填写结果)

　　(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

　　(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标。

　　3、对于二次函数y=?14+x?4,下列说法正确的是

　　A.当x0时，y随x的增大而增大B.当x=2时，y有最大值?3

　　C.图象的顶点坐标为(?2,?7)D.图象与x轴有两个交点

　　4、已知O为坐标原点，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x，0），B（x，0）.与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x·x＜0，x+x=4，点A，C在直线y=-3x+t上.

　　（1）求点C的坐标；

　　（2）当y随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

　　（3）将抛物线y向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n-5n的最小值.

邂逅函数

　　邂逅，只是完美的一瞬间。

　　函数，是数学中不可缺少的部分。

　　第一次听闻函数，不过是进入初中的那个暑假，听邻家的姐姐说到这个新名词，不禁对此充满期待。

　　不曾想象我的初中数学老师今年竟是如此相信我们，进入初中二个月后，他用满意的笑容对我们说道：“期中考试，你们考得都还不错，接下来的半个月里，我们一起学习一下初中的代数部分吧！”初一的我们，为此倍感自豪。一周后，进入函数学习，灿烂的笑容在我们的脸上逐渐被坐标系、点的连线而抹去。十道家庭作业题目，一题思考15分钟，最终还是错的。第二天，作业本发下来，仅3个勾，自信心此时已不知在哪个角落悄然而沉睡。

　　邂逅函数，并不是很美妙的开始。

　　第三天，双曲线、抛物线接踵而至，数学课上，再晴朗的天空此时也会乌云密布。不过，因为总持有对真正函数世界的好奇，也许邂逅函数，是兴趣之源。

　　直至初一结束，老师也再未提过函数。不过也许是邂逅了函数，我仍会闲暇之时做上几题，即使那坐标系上各种线令人眼花缭乱，我依旧努力学习着。

　　初二，真正接触函数，这学期得进一步学习，让我在数学世界中又一次邂逅函数。

　　又一个直角坐标系在黑板上呈现，x轴，y轴，望着黑板，不知老师又会解说着一个怎样神奇的数学故事。

　　“用当今一个流行的词语来形容今天学的这节内容是什么？”

　　大家你望望我，我望望你，一脸茫然。

　　数学老师开始滔滔不绝：“方程式与坐标系的一次邂逅，是与x轴交点，函数是世界上无法相遇的永恒，永无止尽（一切函数）。”

　　怕我们不理解，他还解释了邂逅一词的意思。

　　“原来函数也如此诗意，原来数学并不单调！”我在心中暗暗说道。

　　那从初一到初二的数学学习，第一次感到原来数学如此美丽！

　　邂逅函数，那数学之思从此在心中飞扬！

“90后”的函数图象

　　如果说“90后”的起点是坐标原点，那么x轴与y轴何尝不是“90后”的十字路口。缓缓闭上双眼，深呼吸，再慢慢睁开双眸，在坐标原点处，走好“90后”的每一步。

　　正比例 追逐时代的脚步

　　从坐标原点出发，沿着直线一直向前，我们昂扬的斗志紧跟时代的步伐。我们崇拜韩寒，喜欢郭敬明，陶醉于那个性的文字与扑朔迷离的故事；我们感叹动人的远景，追求个性的穿着；我们没心没肺的大笑，我们不知天高地厚。

　　因为，我们是“90后”，我们要以我们的姿态彰显我们闪光的年华。函数图像会一直向前，x与y的关系永不改变，像我们会一直追逐阳光的脚步，追逐时代的脚步。

　　二次函数 留下唯美的弧度

　　抛物线，像飞鸟飞过蓝天的痕迹，那是自由的弧线吗？有着傲人的脊梁，那是“90后”不辍笔耕的奋斗，那是“90后”留下了成熟的摸样，那是“90后”对青春情感的升华。一条抛物线，有着对称抽两侧标准的距离，我们不会做出任何出格的是，因为“90后”心里永远有一条对称轴，一条衡量是非的对称轴。

　　我们享受着激情与青春，经历人生的高潮，把我们的青春酝酿成自由的气息，顺着这条抛物线，流向远方梦幻般的记忆里，留下那唯美的弧度。

　　反比例 冰清玉洁的思想永不泯灭

　　随着时间的碾轧，“90后”终究要走下他们主宰的舞台，当岁月轰轰烈烈的向前奔，“90后”的思想冰清玉洁的持续拔节，但不可挽留的是潺潺而过的韶华时光，那忧郁的背景，我们的梦似乎支离破碎，看似被时间打磨掉了棱角，但亘古不变的是美好的思想。即使我们相反比例函数图像那样，我们所获的成就与力量同时间成反比例，那我们也无悔，因为函数图象永不与x轴y轴相交，我们的思想会一直延伸，我们冰清玉洁的思想永不泯灭。

　　宛如一场优雅的漫步，但生活没有退路，我们依然会保留生命的本真，用我们“90后”的真心来勾画“90后”本质的精彩，铭记起忠诚，坚定起信念，继续在人生的坐标中画出“90后"的函数图象。

生活函数

　　“会当凌绝顶，一览众山小。”想要世界因你而矮小，你就必须变得高大，要想变得高就得登上山峰，要想登上山峰，就得做出流血、流汗的准备，既然做出了准备，就得表示，那就是正比例函数的图象。

　　元旦，回到了家中，碰见了我的舅伯（数学老师）。他在我的亲戚中是我最害怕的一位。我刚一踏进门，舅伯就把我叫到他的身旁，开始唠叨起来，我也只有像做错事的小孩低着头咬着唇沉默不语。突然听见舅伯说了我最敏感的话题--学习。

　　“听说你很喜欢玩啊！连你买的羽毛球拍都被你打断了，而且是在两个星期内啊！”舅伯说。

　　我听了十分的害怕，也十分不好意思，脸也不争气的红了，对于这种事只好沉默了。

　　“孩子啊！不要总是想着玩，学习是一个积累汗水的过程。积累得越多，知识越广泛全面，就像那正比例函数的图像。原点0是你的起点，x轴是你积累的汗水，y轴是你的知识的表示者--成绩，若你积累的汗水越多，成绩就会越高，知识就会越广越全面；若你不积累或隔一段时间去积累，你的知识就怕对于别人为零。”

　　是啊！仔细想想学习正是如此，成绩也是如此。如2008年的游泳就获得8块金牌的非普尔斯，如果他没有把自己关在缺氧的条件下训练自己，积累自己的血汗，他哪里会获得“飞鱼”的称号。再加上2008年的撑杆跳的女运动员--伊辛巴耶娃。若不是他不畏寒冬酷暑坚持训练，又怎能一次又一次刷新自己创下的世界记录呢

　　那些没有在x轴上用汗水描下点的人，又何以变得高呢？诶蒙斯若能沉下心来训练积累汗水，又何至于两次奥运金牌从手中溜走呢？程菲若能想想丘索维金娜是怎样保持身体的灵活度积累自己的汗水，又怎能落得“真程菲跳”输给“假程菲跳”的下场呢

　　这样看来，积累的汗水越多就在x轴上值越大，所对应的y轴值越大，图象越高，你就登得越高，世界也就会因你而更加矮小。

简单函数

　　你是自变量

　　我是因变量

　　有时，我是你的正比例函数

　　你幸福，我快乐

　　你忧伤，我也忧伤

　　你失意时，给你架设胜利的桥梁

　　你辉煌时，为你唱首美丽的赞歌

　　条件：常数大于零

　　有时，我是你的反比例函数

　　寒冬腊月，我是你的小棉袄

　　如火的酷夏，我当你的雪糕

　　条件：常数大于零

　　行于世间，身心疲乏

　　因你的眼神而轻松

　　因你的笑容而欢乐

　　因你的问候而温暖

　　函数的种类纷繁

　　性质如云般万化

　　在我们简单的函数里

　　亘古不变的：

　　我是因你而变化

函数的起源与发展

　　今天的数学大厦已有数千年历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模糊逐渐严密，对于数学和科学来说，函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心智发展的重要标志。

　　——引言

　　众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。

　　设A，B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作或。

　　这个概念的产生也是有一段故事的，而故事的背后是时间的推动，是艰辛的岁月。

　　十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度。

　　要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。

　　十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Ne）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。

　　这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。

　　例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示x,x2,x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。

　　以“变量”为基础的函数概念在1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。

　　十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔（D’Ale）和欧拉（Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。在此之前的1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上，这两种定义就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。

　　后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。

　　函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数,不好解释。

　　十九世纪初，拉克若斯（Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义：x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是x值，另一栏是与它相对应的y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。

　　十九世纪法国数学家柯西（Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。

　　直到1930年，现代的函数概念才“出炉”，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数。

　　函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一道千古谜题。

　　题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。（尺规作图）

　　要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个晚上就解决了，他的名字就是高斯。

　　作图方法：

　　步骤一：

　　给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，

　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

　　步骤二：

　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

　　步骤三：

　　过G4作OA垂直线交圆O于P4，过G6作OA垂直线交圆O于P6，

　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

　　连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

　　证明方法：

　　设正17边形中心角为a,则17a=360°,即16a=360°-a

　　故sin16a=-sina,

　　而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

　　因sina不等于0,两边除之有:

　　16cosacos2acos4acos8a=-1

　　又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,

　　有2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

　　注意到

　　cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,

　　令x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a

　　y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

　　有:x+y=-1/2

　　又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

　　=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

　　经计算知xy=-1又有

　　x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

　　其次再设

　　x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

　　y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

　　故有x1+x2=(-1+根号17)/4y1+y2=(-1-根号17)/4

　　最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

　　可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出

　　三角函数的神奇之处体现于此。

　　同学们，数学如此奇妙，无限轮回，轮回转生，山重水复疑无路时，灵光一闪，柳暗花明又一村。同学们，不要抱怨数学题目的难度，方法总是人想出来的，让我们享受数学，享受函数的神奇魅力。

一次函数概念说课课件

　　一）教材的地位和作用

　　从数学自身的发展过程看，变量和函数的引入标志着数学从初等数学向变量数学的迈进。而一次函数是初中阶段研究的第一个函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面的二次函数、反比例函数的学习都奠定了基础。同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中。三者相互依存，紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。

　　（二）教学目标

　　1.知识目标

　　(1)理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

　　(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

　　2.能力目标

　　(1)经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

　　(2)通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

　　3.情感目标

　　(1)通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

　　(2)经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。

　　（三）教材重点、难点

　　1、重点

　　(1)一次函数、正比例函数的概念及关系。

　　(2)根据具体情境所给的信息确定一次函数的表达式

　　2、难点

　　根据具体情境所给的信息确定一次函数的表达式

　　接下来我来谈谈第二方面：教法与学法：

　　在本节课的教学中我准备采用的教学方法主要是指导——自学方式。根据学生的理解能力和生理特征，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上，另一方面要创造条件和机会，让学生发表意见，发挥学生的主动性。通过本节课的学习，教给学生从特殊到一般的认知规律去发现问题的解决方法，培养学生独立思考的能力和解决问题的能力。

数学知识点集合与函数概念

　　集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（cantor，g.f.p，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

　　集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合

　　集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

　　元素与集合的关系

　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

　　集合与集合之间的关系

　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合a的所有元素同时都是集合b的元素，则a称作是b的子集，写作a？b。若a是b的子集，且a不等于b，则a称作是b的真子集，一般写作a？b。中学教材课本里将？符号下加了一个≠符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

　　集合的几种运算法则

　　并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作a∪b（或b∪a），读作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={xx∈a，或x∈b}交集：以属于a且属于b的元差集表示

　　素为元素的集合称为a与b的交（集），记作a∩b（或b∩a），读作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={xx∈a，且x∈b}例如，全集u={1，2，3，4，5}a={1，3，5}b={1，2，5}。那么因为a和b中都有1，5，所以a∩b={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说a∪b={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是a∩b。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

　　1再相乘。48个。对称差集：设a，b为集合，a与b的对称差集a？b定义为：a？b=（a-b）∪（b-a）例如：a={a，b，c}，b={b，d}，则a？b={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：a？b=（a∪b）-（a∩b）无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令n是正整数的全体，且n_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合a与n_n一一对应，那么a叫做有限集合。差：以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差（集）。记作：ab={x│x∈a，x不属于b}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集u不属于集合a的元素组成的集合称为集合a的补集，记作cua，即cua={xx∈u，且x不属于a}空集也被认为是有限集合。例如，全集u={1，2，3，4，5}而a={1，2，5}那么全集有而a中没有的3，4就是cua，是a的补集。cua={3，4}。在信息技术当中，常常把cua写成~a。共2页，当前第1页12

　　集合元素的性质

　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合a={xx集合有以下性质

　　若a包含于b，则a∩b=a，a∪b=b

　　集合的表示方法

　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：a，b，c…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：a={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

　　常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{xp}（x为该集合的元素的一般形式，p为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x0

　　4.自然语言常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作n；不包括0的自然数集合，记作n（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作z+；负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作z-（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作z（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作q。q={p/qp∈z，q∈n，且p，q互质}（正负有理数集合分别记作q+q-）（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作r（正实数集合记作r+；负实数记作r-）（6）复数集合计作c集合的运算：集合交换律a∩b=b∩aa∪b=b∪a集合结合律（a∩b）∩c=a∩（b∩c）（a∪b）∪c=a∪（b∪c）集合分配律a∩（b∪c）=（a∩b）∪（a∩c）a∪（b∩c）=（a∪b）∩（a∪c）集合德.摩根律集合

　　cu（a∩b）=cua∪cubcu（a∪b）=cua∩cub集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合a的元素个数记为card（a）。例如a={a，b，c}，则card（a）=3card（a∪b）=card（a）+card（b）-card（a∩b）card（a∪b∪c）=card（a）+card（b）+card（c）-card（a∩b）-card（b∩c）-card（c∩a）+card（a∩b∩c）1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律a∪（a∩b）=aa∩（a∪b）=a集合求补律a∪cua=ua∩cua=φ设a为集合，把a的全部子集构成的集合叫做a的幂集德摩根律a-（buc）=（a-b）∩（a-c）a-（b∩c）=（a-b）u（a-c）～（buc）=~b∩~c～（b∩c）=~bu~c~φ=e~e=φ特殊集合的表示复数集c实数集r正实数集r+负实数集r-整数集z正整数集z+负整数集z-有理数集q正有理数集q+负有理数集q-不含0的有理数集q