合同一定相似吗(合同一定是相似吗)
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合同不一定要相似。合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。两矩阵合同的概念设A，B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同。
矩阵合同的性质
当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B，记为。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用（对称）矩阵表示二次型的问题中产生的。所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行（列）施行又得一矩阵。
二、对称矩阵,合同一定相似吗
未必，只需要给举个反例就行。
对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似，显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。
合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。
两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。
两矩阵相似的概念：设A/B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。
扩展资料：
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
(A')'=A
(A+B)'=A'+B'
(kA)'=kA'(k为实数)
(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵
三、合同一定是相似吗
合同矩阵不一定相似，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样，也就是特征值一样，就相似且合同，特征值不一样但正负性相同就合同但不相似。
设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵p，使得P^TAP=B，则称矩阵A、B为合同矩阵。设A、B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵)。
合同矩阵的性质：
1、反身性：任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性：A合同于B，B合同于C，就可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法如下：
设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。
