正定矩阵一定可逆吗(正定矩阵可逆)

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一、正定矩阵一定是对称阵吗

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1-1;1 1]，A=[1 0;0 1]。

等价命题

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵。

（2）A的一切顺序主子式均为正。

（3）A的一切主子式均为正。

（4）A的特征值均为正。

（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C。

（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B。

二、正定矩阵可逆

正定矩阵可逆。

因为正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于0，若矩阵A正定，则必有

|A|（矩阵A的行列式）>0，所以矩阵A可逆。

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>

0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。

或者一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>

0。其中zT表示z的转置。

扩展资料：

正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

三、在线性代数中:可逆矩阵一定是方阵吗

一般来说，可逆矩阵一定是方阵。

为什么是“一般来说”呢？

对于不是方阵的矩阵，我们可以定义它的“广义逆”。

不过，如果是本科生的线性代数课程，可逆矩阵一定是方阵。