正定矩阵一定是对称吗(正定矩阵是否一定是对称阵)
大家好，如果您还对正定矩阵一定是对称吗不太了解，没有关系，今天就由本站为大家分享正定矩阵一定是对称吗的知识，包括正定矩阵是否一定是对称阵的问题都会给大家分析到，还望可以解决大家的问题，下面我们就开始吧！
你要明白什么是正定矩阵。正定矩阵的充要条件：判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
二、正定矩阵是否一定是对称阵
矩阵不是实对称矩阵，也存在二次型，只不过二次型矩阵不是原矩阵，是改造过的对称矩阵。正定矩阵也就是正定二次型必须实对称矩阵，但是可以改造成不是对称矩阵。2011年超越135里面就有一题关于改造的问题。
三、正定矩阵是否必为实对称阵
是的。
正定矩阵的定义是建立在对称矩阵的基础上的：对称矩阵A对任意非零向量x，满足x'Ax>0，则定义A正定。然后对称矩阵是实矩阵的时候，满足上边定义我们叫他“正定矩阵”
A=A’是复矩阵的时候，满足x'Ax>0，叫做“正规矩阵”。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
扩展资料：
一、正定矩阵的判定方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
二、相关应用
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
参考资料来源：百度百科－正定矩阵
