数学高考常考题型
高考几何证明题
输入内容已经达到长度限制
∠B=2∠DCN
证明：
∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;
又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;
∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;
于是∠B=2∠DCN。
11
输入内容已经达到长度限制
∠B=2∠DCN
证明：
∵CN⊥CM，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠4=90°;
又∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴∠BCD=2∠DCN;
∵AB//DE，∴∠B=∠BCD;
于是∠B=2∠DCN。
12、
空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.
13
空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行;二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 (k∈R).
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 .
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题.
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： .
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.
首先该图形能建坐标系
如果能建
则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量
2。如果找不到，那么就设n=(x,y,z)
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z(或x或y)等于一个数
然后就求出面的一个法向量了
会求法向量后
1。二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求
2。点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点(除平面外那点在平面内的射影)
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求
三校生复习数学基础题目
三校生高考复习——数学基础题
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标签：校园数学杂谈分类：数学教学
三校生高考复习——数学基础题
组题/大罕
1．填空(用元素与集合、集合与集合的关系符号填空)
⑴-3N(自然数集)
⑵0{xx(x+1)=0}
⑶{0}{xx(x+1)=0}
⑷{-1,0}{xx(x+1)=0}
2．集合A={-1,0,1}，B={xx(x+1)=0}，求A∩B，A∪B
3．集合A=[-1,3]，B=（1,5〕，求A∩B，A∪B
4．集合U=R，A={xx≥1}，求CUA
5．解不等式：
⑴x2+x-56≤0⑵x2+x-120
6．解不等式：
⑴x2+2x-2≤0⑵x2-2≤0
7．解不等式：
⑴x1⑵x≥3
8．集合A={xx2-2x-15≤0}，B={xx2}，求A∩B，A∪B
9．求下列函数的定义域：
⑴y=1/x⑵y=x2
⑶y=3/(x+1)⑷y=√(2x+1)
10．画出下列函数的图像，指出函数的单调区间：
⑴y=2x⑵y=-x+2
⑶y=x2⑷y=x2+2x-3
11．作函数y=x-2的图像，指出它是奇函数还是偶函数。
12．奇函数y=f(x)在y轴左边的图像如下，画出它在y轴右边的图像。(图略)
13．指出哪些函数是奇函数，偶函数，非奇非偶函数：
⑴y=-2x⑵y=-x+2
⑶y=x2⑷y=x2+2x-3
⑸y=1/x
14．直线y=kx+b经过A(-1,2)、B(3,-2)两点，求此直线的方程。
15．函数y=x2+2x+3
⑴作函数的图像；
⑵当x取何值时，函数取得最小值
⑶指出函数的减区间与增区间。
16．计算：
⑴9-2⑵4230
⑶0.53⑷0.25-1
17．计算：
⑴log21⑵log28
⑶log0.50.5⑷log24
18．计算：
⑴16×2-3+60⑵0.5-1+9×3-2
19．计算：
⑴2log28⑵log39+2log21
20．求函数的定义域：
⑴y=log2(2x-1)⑵y=√(3-4x2)
21．函数的图像如下，根据图像指出它们分别是增函数还是减函数(图略)：
⑴y=2x⑵y=0.5x
⑶y=log2x⑷y=log0.5x
22．填空：
sin30°=sin60°=sin45°=
cos30°=cos60°=cos45°=
tan30°=tan60°=tan45°=
23．判断下列三角比的符号：
⑴sin102°⑵cos205°
⑶tan290°⑷cos320°
⑸sin222°⑹tan222
24．不用计算器，计算下列三角比的值：
⑴sin750°⑵cos405°
⑶sin1080°⑷cos420°
25．不用计算器，计算下列三角比的值：
⑴sin120°⑵cos120°
⑶sin135°⑷tan120°
26．不用计算器，计算下列三角比的值：
⑴sin120°⑵cos480°
⑶sin(-1320°)⑷tan120°
27．不用计算器，计算下列三角比的值：
⑴sin(-45°)⑵cos(-60°)
⑶sin(-30°)⑷cos(-420°)
28．已知sinα=3/5，且α为第二象限角，求cosα和tanα的值。
29．已知tanα=5/12，求sinα和cosα的值.
30．化简三角式：(sinΘ+cosΘ)/1+tanΘ
31．已知函数y=sinx，
⑴用“五点法”作出这个函数在[0，2π]内的图像；
⑵求它的最大值和最小值
⑶判断它的奇偶性
⑷在区间[-π，π]上何时递增？何时递减
32．作出余弦函数y=-sinx在[0，2π]内的图像。
33．求下列函数的周期：
⑴y=2sin2x
⑵y=sin(x/2+π/6)
34．一个正方体的棱长为1c求它的全面积和体积。
35．已知正三棱柱的底面边长为4c侧棱长为6c求正三棱柱的侧面积和全面积。
36．已知正四棱柱的底面边长为3c侧棱长为6c求它的全面积和体积。
37．已知圆柱的侧面展开图是边长为20c正方形，求这个圆柱的全面积。
38．已知圆锥底面半径为6c高为10c求它的体积。
39．已知正三棱锥的底面边长为5c斜高为15c求该三棱锥的侧面积、全面积和体积。
40．地球的半径为6370千米，求地球的表面积和体积。（可以用计算器）
41．点P(-3,1)在直线+2y+1=0上，求值。
42．求经过点(-3,1)，且与直线2x+3y+4=0平行的直线方程。
43．求经过点(1,-4)，且与直线2x+3y+4=0垂直的直线方程。
44．求直线x-y+1=0与直线x+y-7=0的交点坐标。
45．求直线2x+3y=12与直线y=2的交点，且与直线x-2y-8=0垂直的直线方程。
46．求点(-2,1)到直线4x-3y+1=0的距离。
47．求直线2x+3y=12与直线y=2的交点到直线4x-3y+5=0的距离。
48．圆心坐标为(-1,3)，半径是3的圆的方程是。
A(x+1)2+(y+3)2=9B(x-1)2+(y-3)2=9C(x+1)2+(y+3)2=9D(x-1)2+(y+3)2=9
49．判定方程x2+y2-4x+6y+4=0的图像是否是圆，若是圆，请求出圆心坐标和圆的半径并画出其图像。
50．求经过O(0,0)、A(0,3)、B(1,3)三点的圆的方程。
52．圆x2+y2-4x+6y+4=0与圆(x+1)2+(y+3)2=9的位置关系是
A相交B相切C相离D不确定
53．判定直线4x-3y-25=0与圆x2+y2=25的位置关系，如果直线与圆有交点，求交点坐标。
54．我们把既有大小，又有的量称为向量。
55．如果两个向量的且，那么称这两个向量叫做相等的向量。
56．在平行四边形ABCD中，向量AB=a,向量AD=b，作出向量a+b，a-b
57．已知向量a=(-3,4)，求a。
58．已知三角形的三个顶点A(-1,3)、B(2,2)、C(3,4)，BC的中点为D，求向量AD的坐标及向量AD的模。
59．已知向量a=(3,-2)与b=(-1,2)，求2a-b的坐标。
60．已知向量2a+3b=(-1,7)，a-2b=(3,0)，求向量a、b的坐标。
61．已知向量a=(-1,2)，b=(-2,-3)，求a+b
62．已知平面内两点P、Q的坐标分别为(-1,2)、(-2,4)，求向量PQ的单位向量。
63．矩阵A=,则a34=
64．某厂供应科发放甲乙丙丁四种钢材给ABC三个部门，2006年上半年与下半年的供应数量（单位：吨）列表如下：
2006年上半年
甲乙丙丁
A50407020
B32106041
C25248136
2006年下半年
甲乙丙丁
A40508040
B28386057
C35429012
⑴试用矩阵A，B表示2006年上、下半年各部门的钢材供应数量；
⑵试用矩阵表示并计算各部门下半年比上半年多供应的钢材数量；
⑶试用矩阵表示并计算全年平均每月各部门的钢材供应量。
65.在复数里，i叫，i2=
65．下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：
π，3+i，0,-3i,
66．已知复数-2-2i，
⑴在复平面内作出复数表示的点；
⑵在复平面内作出复数表示的向量；
⑶求复数的模。
67．计算：
⑴(2+i)+(-2-3i)-(4-5i)
⑵(2+i)(2-i)
⑶(2+i)/(1-i)
⑷(3+4i)2
68.已知复数z=+(-3，当何值时，z分别为①实数？②虚数？③0
69.已知复数z1=-3+，z1=-2i且z1+z2=5，求实数值。
70.已知(3x+yi)+(y+xi)=-x-y-I(其中x,y为实数),求实数x,y的值。
71．在复数范围内因式分解：
⑴x4-1⑵x2-2x+2
72．解下列方程：
⑴x4+2=0⑵x2+x+1=0
⑶x2+3x+$=0⑷2x2-x+1=0
73．已知是2+i方程2x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根，求另外一个根及b,c的值。
74．已知一个数列的前五项是：
⑴1,3,5,7,9;
⑵1,1/10,1/100,1/1000,1/10000
分别求出它们的一个通项公式.
75．在等差数列中：
⑴已知a1=16,d=-4，求a10；
⑵已知a3=-2,a6=-4，求S6.
76．在等比数列中：
⑴已知a1=25,q=-1/5，求a10；
⑵已知a2=6,q=2，求S6.
77．四个数前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数为1，第四个数为6，求这个数的和。
78．⑴用1，2，3，5，7五个数字，每次取出两个数相加，最多可以写出多少个不的加法式子
⑵用1，2，3，5，7五个数字，每次取出两个数相加，最多可以得到不同的和
79．⑴从42名同学中选两位同学当代表，出席校代会，共有多少不同的选举结果
⑵从42名同学中选两位同学分别参加汽修和轨道知识比赛，共有多少不同的方式
80．全家五口人排成一排照像，小孙女站在中间的概率是多少
81．从8名班委会成员中，选出3人参加学代会，求班长恰好在内的概率．
高等数学基本知识
一、函数与极限
1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：aA。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。
集合的表示方法
⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合
⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系
⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB（或BA）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：
①、任何一个集合是它本身的子集。即AA
②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算
⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即A∪B＝｛xx∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
即A∩B＝｛xx∈A，且x∈B｝。
⑶、补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。
即CUA＝｛xx∈U，且xA｝。
集合中元素的个数
⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有
card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)
我的问题：
1、学校里开运动会，设A＝｛xx是参加一百米跑的同学｝，B＝｛xx是参加二百米跑的同学｝，C＝｛xx是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x1≤x≤3}，B＝{x(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A＝B成立
4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢
5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗
2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：
[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；
(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；
(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞
注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法
a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2
b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：
3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.
注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).
注：严格增(减)即是单调增(减)
例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：
5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
状元推荐2020年数学全真模拟冲刺卷
2020高考数学仿真模拟专练
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知U＝{yy＝log2x，x1}，P＝{yy＝，x2}，则?UP＝
A.B.
C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪
2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z为纯虚数，且(1＋i)z＝a－i(其中a∈R)，则a＋z＝
A.B.
C．2D.
3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．(－∞，3]B．(－∞，－2]∪[2，3)
C．(2，3]D．[3，＋∞)
4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为
A．13πB．12π
C．11πD．2π
5．[2019·湖南岳阳质检]函数f(x)＝(－x2＋x)ex的图象大致为
6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为
A．4B．5
C．6D．7
7．[2019·河南开封定位考试]将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移)个单位长度后得到的图象与函数y＝ksinxcosx(k0)的图象重合，则k＋最小值是
A．2＋B．2＋
C．2＋D．2＋
8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x，y满足x＋y≤1，则z＝2x－y的最大值为
A．5B．4
C．3D．2
9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为
A.B.
C.D.
10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是
A.B.
C.或D.或
11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝＝n，则＋最小值为
A．2B．2
C．6D．6
12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B两点，且·＝0，则直线AB的斜率k＝
A.B.
C.D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sinα·(－tan10°)＝1，则α＝________.
14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：
12＝；
12＋22＝；
12＋22＋32＝；
12＋22＋32＋42＝；
……
照此规律，当n∈N时，12＋22＋32＋…＋n2＝________.
.
15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．
16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an0，若an＝＋(n≥2且n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn＝an·2an，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，且AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．
组数分组天数第一组[50，80)3第二组[80，110)4第三组[110，140)4第四组[140，170)6第五组[170，200)5第六组[200，230)4第七组[230，260)3第八组[260，290)1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率e＝，点A(b，0)，B，F分别为椭圆C的上顶点和左焦点，且BF·BA＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出取值范围；如果不存在，请说明理由．
21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f(x)＝2－3x2＋1．
(1)当时，求f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值；
(2)求证：“”是“函数f(x)有唯一零点”的充分不必要条件．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤απ)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A，B，若AB＝8，求α的值．
23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲]
已知不等式2x＋1＋2x－14的解集为M.
(1)求集合M；
(2)设实数a∈M，b?M，证明：ab＋1≤a＋b.
2020高考数学仿真模拟专练（答案）
1、选择题
1：答案：A
解析：因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{yy0}，函数y＝在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝{y0y}，所以?UP＝{yy≥}．故选A.
2：答案：A
解析：复数z＝＝＝，根据题意得到＝0?a＝1，z＝－i，∴a＋z＝1－i＝，故选A.
3：答案：B
解析：若命题p为真命题：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减，则f′(x)＝3x2－a≤0在[－1，1]上恒成立，故a≥(3x2)在x∈[－1，1]上恒成立，又(3x)＝3，所以a≥3.若命题q为真命题：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，则必须使x2＋ax＋1能取所有正数，故Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.因为命题p∨q是真命题，p∧q为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当p为真命题，q为假命题时，可得{aa≥3}∩{a－2a2}＝?，当q为真命题，p为假命题时，可得{aa3}∩{aa≤－2或a≥2}＝{aa≤－2或2≤a3}．综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3)，故选B.
4：答案：B
解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.
5：答案：A
解析：令f(x)＝0，得x＝0或x＝1，所以点(1，0)在函数f(x)＝(－x2＋x)ex的图象上，所以排除B，C.当x→＋∞时，f(x)→－∞，排除D，故选A.
6：答案：C
解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{an}，且首项a1＝1，公差d＝.小鼠前三天打洞长度之和为＋1＋2＝，之后每天打洞长度是常数2，令n·1＋·＋＋(n－3)·2≥22(n指天数，且n是正整数)，则有n2＋11n－100≥0，即n(n＋11)≥100，则易知n的最小值为6.故选C.
7：答案：A
解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos2x的图象向左平移)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋]＝－cos(2x＋2＝sin，平移后得到的图象与函数y＝ksinxcosx＝sin2x(k0)的图象重合，所以得k＝2，π＋(n∈Z)，又，所以最小值为，可知k＋最小值为2＋.故选A.
8：答案：D
解析：令x＝a，y＝b，则且z＝2a－b.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b＝2a，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z取得最大值，且z＝2×1－0＝2.故选D.
9:答案：D
解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P＝1－＝，故选D.
10:答案：D
解析：由sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，得2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，即sinBcosA＝3sinAcosA．当cosA＝0时，A＝，而C＝，c＝，所以B＝，b＝ctanB＝×＝，所以此时△ABC的面积为bc＝××＝；当cosA≠0时，可得sinB＝3sinA，由正弦定理得b＝3a，又c＝，所以cosC＝＝＝cos＝，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积为absinC＝×1×3×＝.综上可知，△ABC的面积为或.故选D.
11:答案：A
解析：连接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因为P，M，Q三点共线，所以＋＝1，所以＋＋＋＝＝＋＋≥＋2＝2，当且仅当＝，即＝1时取等号，
所以＋最小值为2.故选A.
12:答案：B
解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(易知k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得x1·x2＝1，x1＋x2＝.
又·＝0，易知F(1，0)，所以(1－x1)(1－x2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0，即2k2＋2＋(k2－1)＝0，解得k＝.故选B.
2、填空题
13:答案：40°
解析：由题意知sinα(－tan10°)＝sinα·＝sinα·＝sinα·＝sinα·＝＝1，即sinα＝sin40°.因为α为锐角，所以α＝40°.
14:答案：
解析：第一个式子：12＝；第二个式子：12＋22＝；第三个式子：12＋22＋32＝；第四个式子：12＋22＋32＋42＝；……第n个式子：12＋22＋32＋…＋n2＝＝
15:答案：288
解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．
16:答案：
解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，解得a＝－1，所以当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，则f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝.
3、解答题
17:解析：(1)依题意知an＝＋(n≥2且n∈N)，且an0，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
两式相除，得－＝1(n≥2)，
可知数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝2n－1(n∈N)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)·22n－1，
则Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1①，
4Tn＝1×23＋3×25＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1②，
①－②得－3Tn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1＝2＋2×－(2n－1)×22n＋1＝－＋×22n＋1，
所以Tn＝.
高考数学总复习指导
高三数学复习应该是知识整理而不是知识回顾，可以站在新的高度，全面、系统、扎实地掌握教材中的知识内容，形成知识网络。学生要去掉依赖性，要主动思考、主动分析，解决问题时需要有强烈的纠错意识。
高三数学复习应该是知识整理而不是知识回顾，可以站在新的高度，全面、系统、扎实地掌握教材中的知识内容，形成知识网络。学生要去掉依赖性，要主动思考、主动分析，解决问题时需要有强烈的纠错意识。
一、要有纠错意识
目前有很多同学在这方面往往做得不够，平时的作业、练习等在做完之后从不检查，当完成任务，仅仅追求解题数量。而作业一旦老师批改后，或者自己做的练习核对答案后恍然大悟一下，错的地方不是不会做、不懂，而是不够仔细，没有检查。下次再做，然后再错。优秀的学生的错误往往出现在脑子中，同时又消灭在脑子中，而一般的同学的错误往往直接出现在本子中。
每个高三的同学，都应该学会自主学习，有目的有计划地复习，特别是自己要学会知识整理与归纳，对老师上课讲的内容、例题，对自己平时做的习题要进行分析，每个同学自己应该有自己的学习计划、复习计划，做到心中有底。一份试卷做完后，不但知道哪些会做，哪些不会做，而且还要知道哪些能得分，哪些会失分。
二、分类型解题
高三学习过程中，效率问题非常关键。重点问题重点学习，难点问题认真钻研。对一个比较难的知识点，要努力通过各种途径，如钻研、查找资料、老师指导等多种形式，真正弄懂它，杜绝一知半解。
函数、不等式、数列始终是高中数学的重点内容，解析几何、立体几何两大几何问题，通过几何特征考查学生分析问题、推理论证的能力，同时运算能力的考查也蕴涵其中。导数、向量的工具作用在高考中也得到充分的体现，三角、复数、排列组合、概率虽说难度不大，但可以考察知识掌握的熟练程度和数学的基本功。
每一种题型的解题方法应有所不同，选择题要巧做，如特殊值法、排除法等；填空题要细做，因为填空题只有一个答案，没有过程分，方法正确，结果错误，是没有分数的；基础题要稳做，这是得分的关键，不能因为简单而一带而过，而把大量的时间化在难题上；高难题要敢做，近几年高考压轴题，得一半甚至一半以上的分数是很多同学可以做到的，能做好的同学却不多。
三、关注新颖解题法
学好数学关键在于解题，但只解题不一定能学好数学。在训练时，首先提高正确率、然后注意解题速度。解题时不要满足于会做，更要注意解题后的反思，从中悟出解题策略，体会数学思想方法。
近几年高考中都有一些创新题。平时要注意一些新颖问题的解题方法，找到与所学知识之间的相互联系，处理问题的方法的共同点，思考问题的突破口，使自己在遇到新问题时不会措手不及，能够从容面对。此外，心态有时比学习方法更重要，在数学复习中培养兴趣，保持进取状态。
2012年试题分项解析数学
专题08立体几何（教师版）
一、选择题:
1.(2012年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
2.(2012年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是
3.(2012年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是
A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱
4．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．
6.(2012年高考湖北卷理科10)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159….判断，下列近似公式中最精确的一个是
A．B．C．D．
7.(2012年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
8.(2012年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
9.(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为
10．(2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为
11.(2012年高考安徽卷理科6)设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且,则“”是“”的
充分不必要条件必要不充分条件
充要条件即不充分不必要条件
【答案】
【解析】如果；则与条件相同.
12.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为
（A）（B）（C）（D）
13.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
15．(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为
A．2B．C．D．1
16.(2012年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】取长的棱的中点与长为的端点；则.
二、填空题:
1.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。
2.(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_______.
3．（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为c
4.(2012年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.
6.(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。
7.(2012年高考安徽卷理科12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
8．(2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积
为的半圆面，则该圆锥的体积为.
9．(2012年高考上海卷理科14)如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是.
11.(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
三、解答题:
1.（2012年高考江苏卷16）（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面ADE．
2.(2012年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
3．(2012年高考北京卷理科16)（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
(I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
4.(2012年高考湖北卷理科19)（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
5.(2012年高考福建卷理科18)（本小题满分13分）
如图，在长方体中，为中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长.
66．(2012年高考上海卷理科19)（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：
（1）三角形的面积；
（2）异面直线与所成的角的大小.
7．(2012年高考浙江卷理科20)(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
8.(2012年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）
10.(2012年高考新课标全国卷理科19)（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，
是棱的中点，
（1）证明：
（2）求二面角的大小。
11.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，
丄，丄，.
(Ⅰ)证明：丄；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，
求的长.
12.(2012年高考江西卷理科19)（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面与平面BB1C1C夹角的余弦值。
13.(2012年高考安徽卷理科18)（本小题满分12分）
平面图形如图4所示，其中是矩形，
。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都
与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答
下列问题。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。
14.(2012年高考四川卷理科19)(本小题满分12分)
15.(2012年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
16.(2012年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）
（Ⅰ）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真；
（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）
17.(2012年高考全国卷理科18)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
18.(2012年高考重庆卷理科19)（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）
如图，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面的距离;
（Ⅱ）若,求二面角的平面角的余弦值。
2018年全国高等院校统一招生考试江苏数学试卷
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学@科网
参考公式：
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，那么▲．
2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为▲．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．
5．函数的定义域为▲．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
▲．
7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是▲．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是▲．
9．函数满足，且在区间上，则的值为
▲．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为▲．
12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为▲．
13．在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为▲．
14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体中，．
求证：（1）；
（2）．
16．（本小题满分14分）
已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}2．23．904．8
5．[2，+∞）6．7．8．2
9．10．11．–312．3
13．914．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）因为，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得
，即，
得，即，则．
当时，满足方程组，即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得，令，则b0．
函数，
则．
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得
，即
此时，满足方程组，即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值．
①当时，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x0时，
所以单调递减，从而f（0）=1．
当时，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求BC的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵．
（1）求的逆矩阵；
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
23．(本小题满分10分)
设，对1，2，···，n的一个排列，如果当st时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求的值；
（2）求的表达式(用n表示)．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=，OC=2，
所以OP==4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为，所以A可逆，
从而．
（2）设P(x，y)，则，所以，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网
解：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
因为AB=AA1=2，
所以．
（1）因为P为A1B1的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
因此，n≥5时，．
2012年全国统一数学试卷(文科)(新课标)及解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012?新课标）已知集合A={xx2﹣x﹣2＜0}，B={x﹣1＜x＜1}，则
A．A?BB．B?AC．A=BD．A∩B=
2．（5分）（2012?新课标）复数z=的共轭复数是
A．2+iB．2﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）（2012?新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．﹣1B．0C．D．1
4．（5分）（2012?新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A．B．C．D．
5．（5分）（2012?新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）
6．（5分）（2012?新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B．为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5分）（2012?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6B．9C．12D．18
8．（5分）（2012?新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．πB．4πC．4πD．6π
9．（5分）（2012?新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
A．B．C．D．
10．（5分）（2012?新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为
A．B．C．4D．8
11．（5分）（2012?新课标）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
12．（5分）（2012?新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为
A．3690B．3660C．1845D．1830
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012?新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．
14．（5分）（2012?新课标）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=．
15．（5分）（2012?新课标）已知向量夹角为45°，且，则=．
16．（5分）（2012?新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为则M+．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2012?新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（12分）（2012?新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920频数10201616151310
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12分）（2012?新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
20．（12分）（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线，直线n与行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．
21．（12分）（2012?新课标）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）（2012?新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．（2012?新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PA2+PB2+PC2+PD2的取值范围．
24．（2012?新课标）已知函数f（x）=x+a+x﹣2
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤x﹣4的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x﹣1＜x＜2}，
∵B={x﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B?A．
故选B．
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）
【考点】相关系数．
【专题】规律型．
【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5分）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得PF2=F2F1，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴PF2=F2F1
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5分）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题．
【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+即C（1+，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（x﹣1）
当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣
∴
故选A
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．
6．（5分）
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=×6×3×3=9．
故选B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8．（5分）
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为：=．
所以球的体积为：=4π．
故选B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5分）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
10．（5分）
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
将A点坐标代入双曲线方程得=4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5分）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
12．（5分）
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用
数列的结构特征，求出{an}的前60项和．
【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，
故选D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．
故答案为：y=4x﹣3．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（5分）
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴（q﹣1）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1
15．（5分）
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由已知可得，=，代入2====可求
【解答】解：∵，=1
∴=
∴2====
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质=是求解向量的模常用的方法
16．（5分）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）==，
令，则为奇函数，
∴的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）=
∴A﹣30°=30°
∴A=60°
（2）由
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12
∴b+c=4
解得：b=c=2
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12分）
【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N）（6分）
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
19．（12分）
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．（12分）
【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p
点A到准线l的距离，
∵△ABD的面积S△ABD=，
∴=，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设，则，
∵A，B，F三点在同一直线，
数学试题真题
注意事项：
1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.
卷一（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）
1.集合，则等于
A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}
2.不等式的解集是
A.(,4)B.(,6)C.D.
3.函数的定义域是
A.B.C.D.
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在等比数列中，则的值是
A.B.5C.D.9
6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为
第6题图
A.B.C.D.
7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是
A.B.
C.D.
.8.关于函数，下列叙述错误的是
A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线
C.函数的单调递减区间是D.函数的图象经过点（2,0）
9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是
A.10B.20C.60D.100
10.如图所示，直线l的方程是
第10题图
A.B.
C.D.
11.对于命题p,q,若是假命题，是真命题，则
A.p,q都是真命题B.p,q都是假命题C.p,q一个是真命题一个是假命题
D.无法判断
.12.已知函数是奇函数，当时，则的值是
A.B.C.1D.3
.13.已知点在函数的图象上，点A的坐标是（4,3），则的值是
A.B.C.D.
14.关于x，y的方程，给出下列命题：
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；
③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；
⑤当时，方程表示椭圆.
其中，真命题的个数是
A.2B.3C.4D.5
15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是
A.0B.C.D.32
.
16.不等式组表示的区域（阴影部分）是
ABCD
17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是
A.B.C.D.
.18.已知向量则的值等于
A.B.C.1D.0
19.已知表示平面，表示直线，下列命题中正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若则
20.已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是
A.B.C.2D.3
卷二（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.
22.在△ABC中则BC=.
.23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.
.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于.
.25.集合都是非空集合，现规定如下运算：
.且.
若集合，其中实数a，b，c，d，e，f，满足：①；②；③.则.
三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.
.
27.（本小题8分）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：
（1）函数的最小正周期T及的值；
（2）函数的单调递增区间.
15SD7第27题图
.28.(本小题8分)已知函数（且）在区间上的最大值是16.
(1)求实数a的值;
(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.
29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，.
(1)求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：.
15SD8第29题图
30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.
15SD10第30题图
答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】.
3.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】且得该函数的定义域是.
4.【考查内容】充分、必要条件
【答案】C
【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.
5.【考查内容】等比数列的性质
【答案】D
【解析】，.
6.【考查内容】向量的线性运算
【答案】B
【解析】.
7.【考查内容】终边相同的角的集合
【答案】A
【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是
8.【考查内容】二次函数的图象和性质
【答案】C
【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）
10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.
11.【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】
13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模
【答案】D
【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算
【答案】A
【解析】
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A.若，则或n在内；B.若，则或异面；D.若且相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
【解析】的坐标为，设P点坐标为，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.
21.【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】
【解析】由正弦定理可知，,
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】
【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，则短轴长为
26.【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.
答：第一排应安排18名演员
【考查内容】正弦型函数的图象和性质
【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.
(2)因为函数的单调递增区间是.
所以，解得，
所以函数的单调递增区间是
【考查内容】指数函数的单调性
【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
当时，函数在区间上是增函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，
又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.
(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,
所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.
【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系
【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，
所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，
所以抛物线方程是.
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，
则方程为，整理得，
设联立直线l与抛物线的方程得,
消去y，并整理得，
于是.
由①式变形得，代入②式并整理得，
于是，又因为，所以，即，
，解得或.
当时，直线l的方程是，不满足，舍去.
当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.
25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集
【答案】
【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，.
