数学思维训练课程内容

一堂思维训练课

　　“我来，我来！”是潘华有答案了。他大摇大摆地走上讲台去，拿起纸和剪刀就剪刀了一个小三角。孙老师见了，举起剪后的图形，问：“还有几个角啊？”

　　“五个！”“五个！”大家争先恐后地抢答了起来。

　　老师又说：“还有什么答案？上来剪一剪。如果没有其它的答案，这堂课就白上了。”大家听了，纷纷讨论起来。

　　忽然，有一个同学迅速地站了起来，自豪地说：“我来，我有答案！”他也大摇大摆地走上了讲台，拿起纸和剪刀，不一会儿就剪好了。孙老师把图形举了起来……

　　“六个角！”“六个角！”这次，不用老师问，大家就答起题来，老师笑了。

　　但是，不一会儿，大家开始捣蛋了。老师生气了，手打在桌上，大家见孙老师这样凶，马上坐回椅子上。

　　啊！这堂思维训练课真有趣！我真喜欢。

思维训练课

　　“这学期要上一门非常重要的新课，叫‘思维训练课’，由新的老师教。”班主任袁老师非常严肃地告诉我们。“思维训练课”？什么是“思维训练课”？它为什么非常重要？新的课程、新的老师以及袁老师的话使大家对“思维训练课”充满了好奇与期待。 一头乌黑的卷发，一身黑色的长裙——这便是教我们思维训练课的顾老师。这位顾老师果然与众不同，她要求我们“先思考，后发言；答案可以多种多样”等等。她提的问题也很有趣味：“在一个绝对不可能作弊的考场，出现了两份答案完全相同的试卷，这是为什么？”我们一听，马上就想到了“交白卷”。大家纷纷举手，抢着说出这一答案。没料到，顾老师微笑着又问了一句：“还有可能是其他什么情况吗？”一大片手刹时落了下来，大家都在苦思冥想，没人吱声了。顾老师期盼的目光在我们脸上扫过，希望有人能回答出问题，我们的脑子却一片空白，教室里鸦雀无声，陷入了尴尬之中。 这时，我灵机一动：连体婴儿不也是一种可能吗？我连忙自信地举起手，向老师说出自己的想法，顾老师微笑着向我投出赞许的目光。一阵沉默总算过去了。顾老师鼓励大家继续大胆思考，很快，又有几个同学想到了新答案。在顾老师的鼓励和启发下，大家情绪高涨。接着，“屋内取食”、“双手打结”等一串串有趣的题目使台上顾老师津津有味，满面红光，台下学生踊跃发言，还有几个同学迫不及待的同时抢答，虽然有的答案并不正确，有的还引起哄堂大笑，但顾老师还是表扬了大家的奇思妙想。短短的40分钟很快过去了，直到下了课，同学们还在讨论有什么新答案呢。

　　轻松的课堂气氛，新颖的教学方法，以及别开生面的教学内容，让我们喜欢顾老师，喜欢思维训练课。

思维训练课

　　刚开始时，我心想：这里的聪明题会不会是我们学校里老师出过的呢？可是，结果偏偏不如我愿，原来，这些全是合理安排时间的题目。比如说这到题 ：小明起床后，要做这几件事情：叠被子3分钟，刷牙洗脸4分钟，烧开水10分钟，吃早饭8分钟，整理书包2分钟，洗碗1分钟，怎么才能用尽可能短的时间做完这些事情？我们可以先叠被子，后刷牙洗脸，然后，再利用烧开水的时间，同时去吃早饭和整理书包，最后洗碗。这样就能节省10分钟的时间了。

　　通过今天的思维训练课，使我知道了，在日常生活中，也有那么多合理安排时间的问题，以后我要努力上好思维训练课，因为思维训练课不仅能够使大脑开发，而且对解决生活问题也有很大帮助呢！

数学专题复习转化思想专题训练

　　转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

　　例题分析

　　例1解方程组

　　分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为

　　，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

　　解：设

　　原方程组可化为

　　解之，得即

　　解之，得

　　例2若、p同时满足下面二式：，求的取值范围。

　　分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。

　　解：设，则

　　由(1)、(2)可得

　　(3)

　　(4)

　　此时，(5)

　　由(3)得

　　，由(4)得

　　由(5)得

　　例3如图，中，BC＝4，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大

　　分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。

　　解：设BP＝x，的面积为y

　　作于H

　　则

　　化简得

　　配方得

　　即P为BC中点时，的面积最大

　　这时的面积最大值为

　　例4已知二次函数过点O(0，0)，A，B和C四点。

　　(1)确定这个函数的解析式及值；

　　(2)判断的形状；

　　(3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。

　　分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出值。

　　(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。

　　(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。

　　解：(1)的图象过点O(0，0)、A、B

　　解得

　　二次函数解析式为

　　的图象过点

　　(2)

　　是等边三角形

　　(3)设点M的坐标为(P，0)

　　⊙M与AC相切于T点

　　⊙M的半径为

　　若⊙M与OA、OC分别交于则

　　由(1)、(2)知，是方程的两个根

　　即的两根为

　　是等边三角形，

　　的弧长为（定值）

　　说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确定的度数，最后计算出的弧长。

　　例5如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。

　　求证：(1)CD、CE的长是方程的两个根；

　　(2)求PB的长。

　　分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。

　　略解：(1)依题意，可证

　　得CE＝AC

　　由切割线定理，得，即

　　又CD＝AB＝a

　　的长是方程的两个根

　　(2)由相交弦定理，得

　　即

　　解得（不合题意，舍去）

　　易错题分析

　　例1.四边形ABCD中，AC平分，求BC和AB的长。

　　分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于F。由已知可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。

　　解：作于E，于F

　　在中，

　　在中，

　　由勾股定理，

　　综上所述：。

　　例2.四边形ABCD中求AB。

　　分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。

　　解：过D点作的延长线于E，若为钝角，作延长线于F，（若为锐角，作于F，同理）

　　在中，

　　，

　　四边形EBFD是矩形

　　在中，

　　例3.在四边形ABCD中求CD的长。

　　分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。

　　解：若是锐角，（是钝角或直角同理）过C点作于F，过C点作的延长线于E。

　　四边形AECF是矩形

　　在中，

　　在中，

　　练习

　　一.选择题：

　　1.若x、y都是实数，且，则的值是

　　A.12B.－12C.D.9

　　2.设关于的二次方程的两根为，若，则的值是

　　A.3B.－1C.3或－1D.－3

　　3.如图，梯形ABCD中，AB//DC，AB＝a，BD＝b，CD＝c，且a、b、c使方程有两个相等实数根，则和的关系是

　　A.B.C.D.

　　4.在关于x的一元二次方程中，a、b、c是的三条边，那么这个方程根的情况是

　　A.没有实数根B.有两个相等的实数根

　　C.有实数根D.有两个不相等的实数根

　　5.已知a、b、c是三边的长，ba＝c，且方程两根的差的绝对值等于，则中最大角的度数是

　　A.B.C.D.

　　6.已知a、b、c是三条边长，关于x的方程有两个相等的实数根，且，则的值是

　　A.1B.C.D.

　　7.若是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程根的情况是

　　A.有两个相等的正根B.有两个不等的负根

　　C.有一正根和一个负根D.没有实数根

　　二.填空题：

　　1.在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成________个三角形。

　　2.方程在区间(－4，0)中有两个不相等实根，则取值范围是_______。

　　3.在中，D是BC中点，于E，AE＝7，则DE的长为_______。

　　三.解答题：

　　1.解分式方程：.

　　2.已知为实数，证明：。

　　3.如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若，求四边形ABCD的周长和面积。

　　4.已知：如图，在中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且，求。

　　5.已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交⊙O于F，求证：EF、FA的长是方程的两根。

　　疑难解答

　　A.教师自己设计问题：

　　1.怎样运用转化思想证明模拟试题中的解答题的第2小题

　　2.模拟试题中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形

　　B.对问题的解答：

　　1.模拟试题中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以

　　设，则

　　，

　　，即，

　　为实数，

　　将上面方程看成的一元二次方程时，

　　。

　　2.答：和都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于中AC已知，且，若以AC为一边和以为一内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。

　　(1)如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G

　　可证

　　这是构成直角三角形的解法

　　(2)如图：以AC为一边，为一内角，构成正三角形ACG

　　作的平分线交GA于F

　　则

　　可证

　　试题答案

　　一.

　　1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.A

　　二.

　　1.3980个2.3.

　　三.

　　1.提示：原方程转化为

　　即，令解方程后检验

　　知是原方程的解

　　2.提示：可转化为一元二次方程根的判别式来证明

　　3.提示：连结OD、OC，作于E，可得，四边形周长

　　4.提示：可以构造直角三角形或等边三角形来解，

　　5.提示：由勾股定理，得，由割线定理，得，将代入方程左边，右边＝0，是方程的根，同理也是方程的根，EF、FA是方程的两根。

数学思想

　　数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。

　　目录

　　函数与方程

　　等价转化

　　分类讨论

　　数形结合

　　如何寻找数学的思想方法

　　函数与方程

　　函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与数学思想方法

　　不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

　　等价转化

　　等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行数学思想领悟

　　必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。

　　分类讨论

　　在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如a的定义分a0、a＝0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax2时分a0、a＝0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

　　数形结合

　　中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。数学思想在人类文明中的作用1、数学与自然科学：在天文学领域里，在第谷·布拉埃观察的基础上，开普勒提出了天体运动三定律：（a）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（b）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过的面积是F(如图)。（c）行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道C的半长轴的立方成正比。开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人，他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学。这一定律出色地证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理。的确是，现象的数学结构提供了理解现象的钥匙。爱因斯坦的相对论是物理学中，乃至整个宇宙的一次伟大革命。其核心内容是时空观的改变。牛顿力学的时空观认为时间与空间不相干。爱因斯坦的时空观却认为时间和空间是相互联系的。促使爱因斯坦做出这一伟大贡献的仍是数学的思维方式。爱因斯坦的空间概念是相对论诞生50年前德国数学家里曼为他准备好的概念。在生物学中，数学使生物学从经验科学上升为理论科学，由定性科学转变为定量科学。它们的结合与相互促进已经产生并将继续产生许多奇妙的结果。生物学的问题促成了数学的一大分支——生物数学的诞生与发展，到今天生物数学已经成为一门完整的学科。它对生物学的新应用有以下三个方面：生命科学、生理学、脑科学。2、数学与社会科学如果说在自然科学中，更多的是运用数学的计算公式及计算能力；那么在社会科学的领域中，就更能体现出数学思想的作用。要借助数学的思想，首先，必须发明一些基本公理，然后通过严密的数学推导证明，从这些公理中得出人类行为的定理。而公理又是如何产生的呢？借助经验和思考。而在社会学的领域中，公理自身应该有足够的证据说明他们合乎人性，这样人们才会接受。说到社会科学，就不免提一下数学在政治领域中的作用。休谟1曾说：“政治可以转化为一门科学”。而在政治学公理中，洛克的社会契约论具有非常重要的意义，它不仅仅是文艺复兴时期的代表，也推动了整个社会的进步。西方的资产阶级的文明比起封建社会的文明是进步了许多，但它必将被社会主义、共产主义文明所取代。共产党人提出的“解放全人类”——为人民谋幸福、“为人民服务”和“三个代表”应当也必将成为政府的基本公理。在政治中不能不提的便是民主，而民主最为直接的表现形式就是选举。而数学在选票分配问题上发挥着重要作用。选票分配首先就是要公平，而如何才能做到公平呢？1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理——阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统。这就是说，只有相对合理，没有绝对合理。原来世上本无“公平”！阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。在经济学中，数学的广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的变革之一。现代经济学的发展对其自身的逻辑和严密性提出了更高的要求，这就使得经济学与数学的结合成为必然。首先，严密的数学方法可以保证经济学中推理的可靠性，提高讨论问题的效率。其次，具有客观性与严密性的数学方法可以抵制经济学研究中先入为主的偏见。第三，经济学中的数据分析需要数学工具，数学方法可以解决经济生活中的定量分析。在人口学、伦理学、哲学等其他社会科学中也渗透着数学思想……

　　如何寻找数学的思想方法

　　数学认识的一般性与特殊性

　　数学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践——认识——再实践的认识路线。但是，数学对象（量）的特殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。由此产生数学认识论的特有问题。

　　数学认识的一般性认识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。数学作为对客观事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的认识路线。事实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的历史事实。数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，归纳或概括出新的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成数学研究的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，17世纪的微积分。由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。这时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升为有条理的、系统的理论知识。数学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展。同时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。由此可见，数学作为一种认识，与其他科学认识一样，遵循着感性具体——理性抽象——理性具体的辩证认识过程。这就是数学认识的一般性。

　　数学认识的特殊性科学的区分在于研究对象的特殊性。数学研究对象的特殊性就在于，它是研究事物的量的规定性，而不研究事物的质的规定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。所以数学对象的特殊性决定了数学认识方法的特殊性。这种特殊性表现在数学知识由经验形态上升为理论形态的特有的认识方法——公理法或演绎法，以及由此产生的特有的理论形态——公理系统和形式系统。因此，它不能像自然科学那样仅仅使用观察、归纳和实验的方法，还必须应用演绎法。同时，作为对数学经验知识概括的公理系统，是否正确地反映经验知识呢？数学家解决这个问题与自然科学家不尽相同。特别是，他们不是被动地等待实践的裁决，而是主动地应用形式化方法研究公理系统应该满足的性质：无矛盾性、完全性和公理的独立性。为此，数学家进一步把公理系统抽象为形式系统。因此，演绎法是数学认识特殊性的表现。

　　概括数学本质的尝试

　　数学认识的一般性表明，数学的感性认识表现为数学知识的经验性质；数学认识的特殊性表明，数学的理性认识表现为数学知识的演绎性质。因此，认识论中关于感性认识与理性认识的关系在数学认识论中表现为数学的经验性与演绎性的关系。所以，认识数学的本质在于认识数学的经验性与演绎性的辩证关系。那么数学哲学史上哲学家是如何论述数学的经验性与演绎性的关系，从而得出他们对数学本质的看法的呢？数学哲学史上最早探讨数学本质的是古希腊哲学家柏拉图。他在《理想国》中提出认识的四个阶段，认为数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识。这是柏拉图对数学知识在认识论中的定位，第一次触及数学的本质问题。17世纪英国经验论哲学家J.洛克在批判R.笛卡尔的天赋观念中建立起他的唯物主义经验论，表述了数学经验论观点。他强调数学知识来源于经验，但又认为属于论证知识的数学不如直觉知识清楚和可靠。德国哲学家兼数学家莱布尼茨在建立他的唯理论哲学中，阐述了唯理论的数学哲学观。他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的”；数学只要依靠矛盾原则就可以证明全部算术和几何学；数学是属于推理真理。他否认了数学知识具有经验性。德国哲学家康德为了克服唯理论与经验论的片面性，运用他的先验论哲学，从判断的分类入手，论述了数学是“先天综合判断”。由于这一观点带有先验性和调和性，所以它并没有解决数学知识的经验性与演绎性的辩证关系。康德以后，数学发展进入一个新时期，它的一个重要特点是公理化倾向。这一趋势使大多数数学家形成一种认识：数学是一门演绎的科学。这种观点的典型代表是数学基础学派中的逻辑主义和形式主义。前者把数学归结为逻辑，后者把数学看作是符号游戏。1931年哥德尔不完全性定理表明了公理系统的局限性和数学演绎论的片面性。这就使得一些数学家开始怀疑“数学是一门演绎科学”的观点，提出，数学是一门有经验根据的科学，但它并不排斥演绎法。这引起一场来自数学家的有关数学本质的讨论。拉卡托斯为了避免数学演绎论与经验论的片面性，从分析数学理论的结构入手，提出数学是一门拟经验科学。他说：“作为总体上看，按欧几里得方式重组数学也许是不可能的，至少最有意义的数学理论像自然科学理论一样，是拟经验的。”尽管拉卡托斯给封闭的欧几里得系统打开了第一个缺口，但是，拟经验论实际上是半经验论，并没有真正解决数学性质问题，因而数学家对它以及数学哲学史上有关数学本质的概括并不满意。1973年，数理逻辑学家A.罗宾逊说：“就应用辩证法来仔细分析数学或某一种数学理论（如微积分）而言，在我所读的从黑格尔开始的这方面的著作中，还没有发现经得起认真批判的东西。”因此，当计算机在数学中的应用引起数学研究方式的变革时，特别是当计算机证明了四色定理和借助计算机进行大量试验而创立分形几何时，再次引起了数学家们对“什么是证明？”“什么是数学？”这类有关数学本质的争论。

　　数学本质的辩证性

　　正因为一些著名数学家不满意对数学本质的概括，他们开始从数学研究的体验来阐明数学的经验性与演绎性的相互关系。D.希尔伯特说：数学的源泉就在于思维与经验的反复出现的相互作用，冯·诺伊曼说：数学的本质存在着经验与抽象的二重性；R.库朗说：数学“进入抽象性的一般性的飞行，必须从具体和特定的事物出发，并且又返回到具体和特定的事物中去”；而A.罗宾逊则寄希望于：“出现一种以辩证的研究方法为基础的、态度认真的数学的哲学”。本节将根据数学知识的三种形态（经验知识、公理系统和形式系统）及其与实践的关系，具体说明数学的经验性与演绎性的辩证关系。经验知识是有关数学模型及其解决方法的知识。数学家利用数学和自然科学的知识，从现实问题中提炼或抽象出数学问题（数学模型），然后求模型的数学解（求模型解），并返回实践中去解决现实问题。这一过程似乎是数学知识的简单应用，但事实并非如此。因为数学模型是主观对客观的反映，而人的认识并非一次完成，特别是遇到复杂的问题时，需要修正已有的数学模型及其求解的方法和理论，并经多次反复试验，才能解决现实问题。况且社会实践的发展，使得旧的方法和知识在解决新问题时显得繁琐，甚至无能为力，从而迫使数学家发明或创造新的方法、思想和原理，并在实践中得到反复检验，产生新的数学分支学科。这时的数学知识是在解决实践提出的数学问题中产生的，属于经验知识，具有经验的性质。数学的经验性向演绎性转化第一部分讲过，数学经验知识具有零散性和不严密性，有待于上升或转化为系统的理论知识；而数学对象的特殊性使得这种转化采取特殊的途径和方法——公理法，产生特有的理论形态——公理系统。所以，数学的经验性向演绎性的转化，具体表现为经验知识向作为理论形态的公理系统的转化。公理系统是应用公理方法从某门数学经验知识中提炼出少数基本概念和公理作为推理的前提，然后根据逻辑规则演绎出属于该门知识的命题构成的一个演绎系统。它是数学知识的具体理论形态，是对数学经验知识的理论概括。就其内容来说，是经验的；但就其表现形式来说，是演绎的，具有演绎性质。因为数学成果（一般表现为定理）不能靠归纳或实验来证实，而必须通过演绎推理来证明，否则，数学家是不予承认的。公理系统就其对经验知识的概括来说，是理性认识对感性认识的抽象反映。为了证实这种抽象反映的正确性，数学家采取两种解决办法。一是让理论回到实践，通过实际应用来检验、修改理论。欧几里得几何的不严密性就是通过此种方法改进的。二是从理论上研究公理系统应该满足的性质：无矛盾性、完全性和公理的独立性。这就引导数学家对公理系统的进一步抽象，产生形式系统。形式系统是形式化了的公理系统，是由形式语言、公理和推理规则组成的。它是应用形式化方法从不同的具体公理系统中抽象出共同的推理形式，构成一个形式系统；然后用有穷推理方法研究形式系统的性质。所以，形式系统是撇开公理系统的具体内容而作的进一步抽象，是数学知识的抽象理论形态。它采用的是形式推理的方法，表现其知识形态的演绎性。数学的演绎性向经验性的转化这除了前面说过的认识论原因外，对公理系统和形式系统的研究也证实了这种转化的必要性。哥德尔不完全性定理严格证明了公理系统的局限性：（1）形式公理系统的相容性不可能在本系统内得到证明，必须求助于更强的形式公理系统才能证明。而相容性是对公理系统最基本的要求，那么在找到更强的形式公理系统之前，数学家只能像公理集合论那样，让公理系统回到实践中去，通过解决现实问题而获得实践的支持。（2）如果包含初等算术的形式公理系统是无矛盾的，那么它一定是不完全的。这就是说，即使形式系统的无矛盾性解决了，它又与不完全性相排斥。“不完全性”是指，在该系统中存在一个真命题及其否定都不可证明（称为不可判定命题）。所以，“不完全性”说明，作为对数学经验知识的抽象的公理系统，不可能把属于该门数学的所有经验知识（命题）都包括无遗。对于“不可判定命题”的真假，只有诉诸实践检验。因此，这两种情况说明，要解决公理系统的无矛盾性和不可判定命题，必须让数学的理论知识返回到实践接受检验。由此可见，数学的认识过程是：在解决现实问题的实践基础上获得数学的经验知识；然后上升为演绎性的理论知识（公理系统和形式系统）；再返回到实践中，通过解决现实问题而证实自身的真理性，完善或发展新的数学知识。这是辩证唯物论的认识论在数学认识论上的具体表现，反映了数学本质上是数学知识的经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一。

　　演算的方法

　　既然数学的本质是经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一，那么能否对数学的本质进一步作出哲学概括呢？即用简洁的语言表达数学的本质，就像拉卡托斯说的“数学是拟经验的科学”那样。为此，本文提出，数学是一门演算的科学（其中“演”表示演绎，“算”表示计算或算法，“演算”表示演与算这对矛盾的对立统一）。在此，必须说明三点：何以如此概括？“演算”能否反映数学研究的特点以及能否反映数学本质的辩证性

　　1.何以如此概括？首先，从理论上讲，数学本质是数学观的一个重要问题，而数学观与数学方法论是统一的，所以可以通过方法论来分析数学观。数学认识对象的特殊性决定了数学认识方法的特殊性。这种特殊性表现在，数学研究除了像自然科学那样仅仅采用观察、实验、归纳的方法外，还必须采用演绎法。因此，可以通过研究数学认识方法来反映数学认识的本质。其次，从事实上看，数学知识的经验性表明数学是适应社会实践需要而产生的，是解决实际问题的经验积累。社会实践提出的数学问题都要求给出定量的回答，而要作出定量的回答就必须进行具体的计算，所以计算表征了数学经验知识的特点。而对于各种具体的计算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法则），也都可以用“算”来概括、反映数学知识的经验性在方法论上的计算或算法特点。同时，数学知识的演绎性反映数学认识在方法论上的演绎特点，所以，可以用“演”来反映数学知识的演绎性。因此，我们可以用“演算”来反映数学本质的经验性与演绎性。第三，为避免概括数学本质的片面性。自从数学分为应用数学与纯粹数学以后，许多数学家认为，数学来源于经验是很早以前的事，现在已经不是了，而是变成一门演绎科学了。而一般人也接受这种观点。但这样强调数学的演绎性特点，却忽视了数学具有经验性质的一面。为了避免这种片面性，这里特别通过数学方法论来概括和反映数学的本质。

　　2.“演算”反映了数学研究的特点数学研究对象的特殊性产生了数学研究特有的问题：计算与证明。它们成为数学研究的两项主要工作。关于“证明”。数学对象的特殊性使得数学成果不能像自然科学成果那样通过实验来证实，而必须通过逻辑演绎来证明，否则数学家是不予承认的。所以，数学家如何把自己的成果表达成一系列的演绎推理（即证明）就成为重要工作。证明成为数学研究工作的重要特点。关于“计算”。数学本身就是起源于计算，即使数学发展到高度抽象理论的今天，也不能没有计算。数学家在证明一个定理之前，必须经过大量的具体计算，进行各种试验或实验，并加以分析、归纳，才能形成证明的思路和方法。只有在这时候，才能从逻辑上进行综合论证，表达为一系列的演绎推理过程，即证明。从应用数学来看，更是需要大量的计算，所以人们才发明各种计算机。在电子计算机广泛应用的今天，计算的规模更大了，以致在数学中出现数值实验。因此，计算成为数学研究的另一项重要工作。既然“计算与证明”是数学研究的两项主要工作和特点，那么“数学是演算的科学”这一概括是否反映出这一特点？“证明”是从一定的前提（基本概念和公理）出发，按照逻辑规则所进行的一种演绎推理。而“演（绎）”正可以反映“证明”这一特点。而“算”显然更可以直接反映“计算”或“算法”及其特点。由此可见，“演算”反映了数学研究的计算和证明这两项基本工作及其特点。

　　3.“演”与“算”的对立统一反映数学性质的辩证性首先，从数学发展的宏观来看。数学史告诉我们，数学起源于“算”，即起源于物体个数、田亩面积、物体长度等的计算。要计算就要有计算方法，当各种计算方法积累到一定数量的时候，数学家就进行分类，概括出适用于某类问题的计算公式、法则、原理，统称为算法。所以数学的童年时期叫做算术，它表现为一种经验知识。当欧几里得建立数学史上第一个公理系统时，才出现“演绎法”。此后，“演”与“算”便构成了数学发展中的一对基本矛盾，推动着数学的发展。这在西方数学思想史中表现最为突出。大致说来，在欧几里得以前，数学思想主要是算法；欧几里得所处的亚历山大里亚前期，数学主要思想已由算法转向演绎法；从亚历山大里亚后期到18世纪，数学主要思想再次由演绎法转向算法；19世纪到20世纪上半叶，数学主要思想又由算法转向演绎法；电子计算机的应用促进了计算数学的发展及其与之交叉的诸如计算流体力学、计算几何等边缘学科的产生以及数学实验的出现。这一切又使算法思想重新得到发展，成为与演绎法并驾齐驱的思想。可以预言，随着计算机作为数学研究工具地位的确立，算法思想将成为今后相当长一个时期数学的主要思想。算法思想与演绎思想在数学发展过程中的这种更迭替代，从一个侧面体现了“演”与“算”这对矛盾在一定条件下的相互转化。所以，有的数学史工作者从方法论的角度把数学的发展概括为算法倾向与演绎倾向螺旋式交替上升的过程。其次，从数学研究的微观来看。“演”中有“算”，这充分表明了我们上面所分析的“证明”中包含着“计算”，包含着“算”向“演”转化。“算”中有“演”，这充分表现在算术和代数中。算术和代数表现为“算”，但是，算术和代数的“算”，并不是自由地计算，而是要遵循基本的四则运算及其规律，即计算要按照一定的计算规则，就像证明要遵守推理规则一样。所以“算”中包含着“演”，包含着“演”向“算”的转化。“演”与“算”的这种对立统一更充分地体现在计算机的数值计算和定理证明中。这种“算”与“演”的对立统一关系，从一个侧面反映了数学的经验性与演绎性的辩证关系，反映了数学性质的辩证性。综上所述，既然“演算”概括了数学研究的特点，反映了数学的经验性与演绎性及其辩证关系，我们就有理由把它作为对数学本质的概括，说“数学是一门演算的科学”。

奥数学习有利于训练孩子的思维能力

　　数字迷

　　一讲我们主要研究加、减法的数字迷。

　　1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟

　　2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶

　　3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶

　　4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼

　　5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟

　　6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完

　　7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒

　　8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼

　　9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米

　　1.解：每截一次需要：6÷（3-1）=3（分钟），截成7段要3×（7-1）=18（分钟）

　　答：截成7段要18分钟。

　　2.解：从1层走到11层共走：11-1=10（个）楼梯，从1层走到11层一共要走：17×10=170（级）台阶。

　　答：从1层走到11层，一共要登170级台阶。

　　3.解：每一层楼梯的台阶数为：48÷（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：16×5=80（级）台阶。

　　答：从1楼到6楼共走80级台阶。

　　4.解：到小英家共经过的楼梯层数为：64÷16=4（层），小英家住在：4＋1=5（楼）

　　答：小英家住在楼的第5层。

　　5.解：火车的总长度为：5×20+1×（20-1）=119（米），火车所行的总路程：119＋81=200（米），所需要的时间：200÷20=10（分钟）

　　答：需要10分钟。

　　6.解：每个间隔需要：6÷（3-1）=3（秒），12点钟敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）

　　答：33秒钟敲完。

　　7.解：每上一层楼梯需要：100÷（5-1）=25（秒），还需要的时间：25×（10-5）=125（秒）

　　答：从5楼再走到10楼还需要125秒。

　　8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上2×5=10个楼梯，所以B上到10＋1=11（层）。

　　答：A上到第16层时，B上到第11层楼。

　　9.解：火车2分钟共行：50×（37-1）=1800（米）

　　2分钟=120秒

　　火车的速度：1800÷120=15（米/秒）

　　答：火车每秒行15米。

　　1.鸡兔同笼

　　鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只

　　【分析】假设只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡，小朋友们，请你按此思路做做这道题目！

　　2.鸡兔同笼

　　鸡和兔共有100只脚，若将鸡换成兔，将兔换成鸡，则共有86只脚，则鸡有多少只？兔有多少只

　　【分析】【解法一】：鸡兔互换后减少的腿数：100-86=14（条）；

　　鸡比兔子少的只数：14÷（4-2）=7（只）；

　　让鸡只数和兔只数相等后的脚数：100+7×2=114（条）；

　　鸡的脚数：114÷（2+1）=38（条）；

　　鸡的只数：38÷2=19（只）；兔的只数：19-7=12（只）；

　　【解法二】鸡兔互换后减少的腿数：100-86=14（条）；

　　鸡比兔子少的只数：14÷（4-2）=7（只）；

　　让兔只数和鸡只数相等后的脚数：100-7×4=72（条）；

　　鸡的脚数：72÷（2+1）=24（条）；

　　兔（鸡）的只数：24÷2=12（只）；鸡的只数：12+7=19（只）；

　　【解法三】：方程法设鸡有x只，兔有y只；

　　解方程得：x=12；y=19；

　　1.找规律答案：

　　(1)在这数列中，后一个比前一个数多2，根据这个规律，括号里里应该填10、12;

　　(2)在这个数列里，后一个比前一个数多3，根据这个规律，括号里里应该填10、13;

　　(3)在这个数列里，前一个数比后一个数多5，根据这个规律，括号里应填15、10。

　　2.找规律答案：

　　(1)在这数列中，前一个比后一个数多2，根据这个规律，括号里里应该填24、22、20;

　　(2)在这个数列里，第一个数加2是第二个数，第三个数加3是第三个数，依次规律，括号里应填10和15

　　(3)在这个数列里，前一个数比后一个数少5，根据这个规律，括号里应填30、35。

　　3.找规律答案：

　　为了寻找规律，再多写出几项出来：

　　12345，23451，34512，45123，51234，12345，23451，34512，45123，51234，12345，23451……

　　仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项……也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项。100÷5=20

　　可见第100项与第5项、第10项一样(项数都能被5整除)，即第100项是51234。

　　考点：加减法中的巧算．．

　　分析：共9项，公差为100，找到中间一项，乘以9即可求解．

　　解答：解：197+297+397+…+997，

　　=597×9，

　　=（600-3）×9，

　　=600×9-3×9，

　　=5400-27，

　　=5373．

　　故答案为：5373．

DK儿童数学思维手册

　　这本书从我们的日常生活说起，展示了数学在生活中的应用，例如数学测量、图形转换、时间日历等。还介绍了数学的发展历史，数学名人等方方面面，其中包含了我最喜欢的数学问题之一迷宫。书中不仅介绍了简单型、复杂型和编织类的迷宫，还描述了如何创造一个克里特岛式迷宫。通过阅读迷宫知识，我才知道原来可以把复杂的迷宫转化成简单的路线图，又称为“网络”。在日常生活中像地铁的线路图和电子电路，都可以简化为网络图来处理。

　　看来数学真是无处不在，所以我们要多阅读、多思考、多动手，探索数学奥秘，发现数学之美。

数学中的“数学思维”

　　国际上的相关研究表明，即使对小学数学这样十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质。数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。

　　一、“数学思维”的基本形式

　　现代关于数学思维研究的一项重要成果指明了所谓的“凝聚”，也即由“过程”向“对象”的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。对于所说的“凝聚”可进一步分析如下：

　　（一）“凝聚”事实上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者则又可以说集中地体现了数学的高度抽象性，即“是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”。这正如著名哲学家、心理学家皮亚杰所指出的：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的……当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类‘实体’进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成‘更强’的结构，或者在由‘更强的’结构来予以结构化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的发展显然也可被看成更高水平上的不断“建构”。

　　（二）“凝聚”主要包括以下三个阶段：1.内化；2.压缩；3.客体化。其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备。前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思──我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。容易看出，上述的分析对于我们改进教学也具有重要的指导意义。例如，所说的“内化”就清楚地表明了这样一点：我们既应积极提倡学生的动手实践，但又不应停留于“实际操作”，而应十分重视“活动的内化”，因为，不然的话，就不可能形成任何真正的数学思维。另外，在不少学者看来，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”这一传统做法的合理性。

　　（三）由“过程”向“对象”的过渡不应被看成一种单向的运动；恰恰相反，这两者应被看成同一概念心理表征的不同侧面，我们应善于依据不同的情景与需要在这两者之间作出必要的转换，包括由“过程”转向“对象”，以及由“对象”重新回到“过程”。

　　综上可见，在算术的教学中我们应自觉地应用和体现“凝聚”这样一种思维方式。

　　二、数学思维的互补与整合。

　　首先，互补与整合的数学思维形式对于小学数学具有特殊的重要性。我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。

　　其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式……教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的；然而，需要强调的是，除去对于各种学习方式与表述形式的直接肯定以外，我们应更加重视在不同学习方式或表述形式之间所存在的重要联系与必要互补。

　　最后，我们应清楚地看到在形式和直觉之间所存在的重要的互补关系。特别是，就由“日常数学”向“学校数学”的过渡而言，不应被看成对于学生原先所已发展起来的朴素直觉的彻底否定；毋宁说，在此所需要的就是如何通过学校的数学学习使之“精致化”，以及随着认识的深化不断发展起新的数学直觉。在笔者看来，我们应当从这样的角度去理解《课程标准》中有关“数感”的论述，这就是，课程内容的学习应当努力“发展学生的数感”，而后者又并非仅仅是指各种相关的能力，如计算能力等，还包含“直觉”的含义，即对于客观事物和现象数量方面的某种敏感性，包括能对数的相对大小作出迅速、直接的判断，以及能够根据需要作出迅速的估算。当然，作为问题的另一方面，我们又应明确地肯定帮助学生牢固地掌握相应的数学基本知识与基本技能的重要性，特别是，在需要的时候能对客观事物和现象的数量方面作出准确的刻画和计算，并能对运算的合理性作出适当的说明──显然，后者事实上已超出了“直觉”的范围，即主要代表了一种自觉的努力。

　　综上可见，即使是小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实“帮助学生学会基本的数学思想方法”这一重要目标。

我爱数学思维训练

　　都说学奥数的孩子是聪明的孩子，思维活跃，反应灵敏。于是，我怀着好奇心和求知欲走进了奥数的世界。那时我才二年级，为了入门奥数，我看了很多关于数学思维训练的书籍，一开始，觉得实在太难，没有信心去学。爸爸妈妈鼓励我并耐心地告诉我学习奥数对我的思维和解题方法会有很多帮助。于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我踏上了攻克奥数难题的征程，开始了真正的奥数生涯。转眼三年了，通过数学思维训练，我的思维变得敏捷了，解题的思路也宽阔了，遇到难题能用学到的方法去破解，课堂中书本上的数学题目解答对我来说变得越来越轻松了。为了检验我的奥数学习情况，四年级，我参加了全国希望杯数学邀请赛，获得了全国铜牌，五年级上半学期，我又报了“上海市第九届中环杯数学思维竞赛”，我十分重视这次比赛，在家做了很多竞赛题，刻苦专研相关的题目。及时把不懂的难题向校教导楼老师请教。最后也得到了三等奖的好成绩。

　　三年的奥数学习让我掌握了破解难题的方法，尝到了成功的喜悦。虽然过程有苦有甜，但现在努力终于有了汇报。上周日，我又参加了 “全国数学希望杯邀请赛”五年级的决赛。我知道今天的成绩是与我自己的努力和校教导楼老师的指导分不开的。在即将来临的数学期中质量评价中，我一定要再接再厉，以优异的成绩汇报母校老师的精心培养和关心。

有趣的数学思维课

　　今天是星期二，有两节数学思维与游戏，这两节课，可比平常的数学课有趣多了。

　　叮铃铃，叮铃铃，上课了，只见一个长的不高的男老师走进教师，我们都叫他陈老师。陈老师先给我们讲了水和牛奶的问题， 再讲了一家人怎么过河，最后讲了人、狗、鸡、菜，怎么过河。其中，我最喜欢的是，一家人怎么过河？这个问题是这样的：有一家人要过河，可是只有一条船，最多载重50千克。爸爸和妈妈各重50千克，儿子和女儿各重25千克，狗重10千克，狗不能自己划船，怎么样才能让他们不超重，安全过河呢？这个问题我想了很久也没有想出来，我就问同桌邓瑞林，他说：“如果狗是齐天大圣变的就好了。”原来他也不会。但是，最终我想出了正确答案。你们想出来了吗

　　下了课，我想，下次课会讲些什么呢