高中立体几何

数学王子

　　他为科学奋斗了一生，他被公认为十八九世纪之交最伟大的数学家，他在格丁根大学的校园内有一个正门边形台座屹立着的塑像，他，100多年来享有“数学王子”的美称——他就是德国数学家高斯。

　　高斯生于1777年死于1855年2月23日。他从小聪明过人，具有数学天赋。有一次，他的父亲坐在昏暗的灯光下，埋头算帐。过了很久，他父亲长长的吐了一口气说：“终于算完了！”此时，年仅3岁的高斯说：“爸爸，你算错了！”父亲半信半疑，重新算了一遍，才发现真的错了。

　　高斯上小学的时候。有一天，老师站在讲台上，像军官下达命令那样说：“今天，你们从1加20加3一直加到100。谁算不出，就不许回家！”说完就坐到椅子上看他的书。

　　老师坐下不久，高斯拿着小石板走来了，说：“老师，答案是不是这样？”

　　老师连头也不抬，挥手说：“去！回去再算，错了！”

　　老师正想发作一通，可是，一看小石板上，却端端正正写着“5050”。他大吃一惊，心想：“这个8岁的娃儿，怎么会这么快算出来了呢？”于是，老师问他：“怎么算出来的？”高斯答着：“1头1尾的挨次两个数相加，和都是一样的：1加100是101，2加99也是101，直到50加51也是101；一共50个101，用50乘101，就是5050了，”老师一听，不由暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送他。

　　从此以后，高斯学习更加勤奋了，他11岁就发明了二项式定理，17岁发明了二次互反律，18岁发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，解决了2000年以来悬而未解的难题。21岁大学毕业，22岁获得博士学位。1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，他一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。他还是法国科学院 和其他科院的院士，被誉为世界历史上最伟大的数学家之一。他善于把数学成果有效的运用到天文学、物理学等科学领域，他不仅是著名的天文学家和物理学家，他还是与阿基米德、牛顿同享盛名的科学家。

　　高斯对科学的热爱达到如痴如醉的地步。一次，他正在研究一个深奥的问题，家里人告诉他，夫人病重，请他速回。可高斯似乎没有听见，继续工作。过了一会儿，家里人再次告诉他：“夫人已病入膏盲，请你立即回去。”高斯回答道：“我就来！”仍然继续工作着。等家里人第三次来通知：“夫人快断气了！”高斯抬起头回答道：“叫她等我一下，我一定来！”

　　这位为科学工作奋斗了一生，于1855年2年27日逝世的伟大科学家——高斯呕心沥血，编写出了自己一生经历的旅途。——他就是高斯！

高中数学

　　总事件，分事件，求概率。

　　且或非，原逆否，断真假。

　　线线面面，几何图形，三维空间。

　　XY原点，函数图形，千变万化。

　　不等方程，相互联立，区域求解。

人生几何体优秀作文

　　人生就像是一个几何体，有主视图、左视图与俯视图。从不同的角度看，获得意外的收获。

　　主视图：花的季节，绽放的季节，美丽的季节。有了这些美丽，我们不再孤独。李白以“安能摧眉折腰事权贵”的高尚品质写照自己；陶潜用“不为五斗米折腰”的思想境界充实自己；居里夫人用“成功之路是用血和泪铸成的”警醒自己。他们，都有自己的志向，有自己的追求。而高三的我们，临近的高考就是我们人生的主视图，它决定着我们的命运，我们能在所剩无几的时间里努力学习，改变自己的学习方法，提高自己的学习效率，将会有不同的收益。即使你没考上大学，但从某种意义上，你已经成功了，因为你已成功地战胜了自己，因为你的主视图已将你的能力展示得淋漓尽致，让你全身散发花香，你会跟着花香，走向花的殿堂。

　　左视图：花开花落，春去春又来。王永彬的《围炉夜话》中说：“莲朝开而暮合，至不能合，则将落矣，富贵无收敛意者，尚其鉴之；草春荣而冬枯，至于及枯，则又生矣，穷困而无振兴志也，亦如是也。”失败成功是伴随我们成长的音符，音符的高低决定歌曲是否激越。成与败是没有固定模式的，不同的角度有不同的收益，而这不同的收益就意味着你的人生歌曲是否高昂激荡。那么，“尚其鉴之”“振兴志也”就会为你人生的左视图增添无尽的色彩。

　　俯视图：俯瞰花园，你的生活更加阳光。当你俯首看去，花园里的花儿都向你绽放，仿佛都在向着你微笑。你的心情有豁达、有甜美。只要你坚守阳光，你也会和向日葵一样，永远追随太阳，斗志昂扬，意气风发。成功激励着你，失败历练着你，没有绝对的成功，也没有绝对的失败，只要有一颗向阳的心，太阳会每天俯视你。你的人生俯视图将会有异样的光芒。人生的几何体是什么样的呢？其实，每个人都会有属于自己的几何体，每个人的主视图、左视图与俯视图都有其异样的色彩。几何体没有规则与不规则，没有限制的点与面，也没有成功与失败，因为所有的这些，都会化为人生几何体中的元素，只要你从不同角度剖析这些元素，你就会有不同的收获。花开了，人生的几何体也绘成了！

立体几何(知识点)-2020年4月数学(理)开学大串讲

　　一、知识点

　　一常用结论

　　1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

　　2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

　　3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

　　4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

　　5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

　　6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

　　7.夹角公式：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.

　　8．异面直线所成角：=

　　（其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

　　9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).

　　10、空间四点A、B、C、P共面，且x+y+z=1

　　11.二面角的平面角

　　或（，为平面，的法向量）.

　　12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.

　　13.空间两点间的距离公式若A，B，则=.

　　14.异面直线间的距离：(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

　　15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

　　16.三个向量和的平方公式：

　　17.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.

　　（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

　　18.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是，它们所在平面所成锐二面角的).

　　19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

　　20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

　　21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）

　　〈二〉温馨提示：

　　1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围

　　①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

　　②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

　　〈三〉解题思路：

　　1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

　　线面平行的判定：

　　线面平行的性质：

　　三垂线定理（及逆定理）：

　　线面垂直：

　　面面垂直：

　　2、三类角的定义及求法

　　（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

　　（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

　　（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

　　三类角的求法：

　　①找出或作出有关的角。

　　②证明其符合定义，并指出所求作的角。

　　③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

　　二、题型与方法

　　考点1点到平面的距离

　　求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.

　　考点2异面直线的距离

　　此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.

　　考点3直线到平面的距离

　　此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

　　考点4异面直线所成的角

　　此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

　　考点5直线和平面所成的角

　　此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常

　　考内容.

　　考点6二面角

　　此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进求解.二面角是高考的热点，应重视.

　　考点7利用空间向量求空间距离和角

　　众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.

　　考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.

　　考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算

　　二选择题辨析

　　[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

　　②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

　　③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.

　　④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

　　⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）

　　⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）

　　⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.

　　[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥.（×）（平面外一条直线）

　　②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.（×）（平面外一条直线）

　　③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

　　④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）

　　⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）

　　⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

　　⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）

　　[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）

　　②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

　　③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）

　　[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]

　　⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上

　　[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）

　　②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

　　③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

　　④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

　　[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

　　②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以

　　[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

　　ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

　　iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

　　[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）

　　ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

　　简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令

　　得，已知

　　则.

　　iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

　　iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

　　简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.

　　注：①若与共线，与共线，则与共线.（×）[当时，不成立]

　　②向量共面即它们所在直线共面.（×）[可能异面]

　　③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]

　　④若为非零向量，则.（√）[这里用到之积仍为向量]

高中立体几何计算方法总结

　　1．位置关系：

　　（1）两条异面直线相互垂直

　　证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

　　（2）直线和平面相互平行

　　证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

　　（3）直线和平面垂直

　　证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

　　（4）平面和平面相互垂直

　　证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

　　2．求距离：

　　求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

　　（1）两条异面直线的距离

　　求法：利用公式法。

　　（2）点到平面的距离

　　求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。

　　3．求角

　　（1）两条异面直线所成的角

　　求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

　　（2）直线和平面所成的角

　　求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。

　　（3）平面与平面所成的角

　　求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

高中立体几何知识点总结

　　1.棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征

　　⑴棱柱：①有两个互相平行的面(即底面平行且全等)，②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都平行且相等)。

　　⑵棱锥：①有一个面(即底面)是多边形，②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。

　　⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点，②两底面是平行且相似的多边形。

　　⑷圆台：①平行于底面的截面都是圆，②过轴的截面都是全等的等腰梯形，③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点。

　　2.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式

　　3.线线平行常用方法总结

　　(1)定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。

　　(2)公理：在空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　(3)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

　　(4)线面垂直的性质：如果两条直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。

　　(5)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，那么两条交线平行。

　　4.线面平行的判定方法。

　　(1)定义：直线和平面没有公共点。

　　(2)判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

　　(3)面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

　　(4)线面垂直的性质：平面外于已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面。

　　5.判定两平面平行的方法。

　　(1)依定义采用反证法;

　　(2)利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

　　(3)利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。

　　(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。

　　(5)平行于同一个平面的两个平面平行。

　　6.证明线线垂直的方法

　　(1)利用定义。

　　(2)线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线。

　　7.证明线面垂直的方法

　　(1)线面垂直的定义。

　　(2)线面垂直的判定定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么，这条直线与这个平面垂直。

　　(3)线面垂直的判定定理2：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面。

　　(4)面面垂直的性质：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

　　(5)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么这条直线必定垂直于另一个平面。

　　8.判定两个平面垂直的方法

　　(1)利用定义。

　　(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

　　9.其他定理

　　夹在两平行平面之间的平行线段相等。

　　经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行。

　　两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。

　　10.空间直线和平面的位置关系

　　直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行

　　直线在平面外——直线和平面相交或平行，记作aα包括a∩α=A和a∥α

　　11.空间平面与平面的位置关系

　　垂直于同一个平面的所有直线(即平面的垂线)互相平行;

　　垂直于同一条直线的所有平面(即直线的垂面)互相平行。