二次型化为标准型唯一吗(二次型化为标准型的结果是唯一的吗)
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不唯一。
化二次型为标准型，有两种方法。
1、配方，配方只是用了某种坐标变换，得到标准型的系数，不一定是特征值。
2、正交变换，得到的标准型系数一定是特征值。
可以随意的调换这些系数的位置，只要使用的变换矩阵的向量对应就可以了。
n个变量的二次多项式，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
扩展资料：
任何非零的n维二次形式定义在投影空间中一个(n-2)维的投影空间。在这种方式下可把3维二次形式可视化为圆锥曲线。
二次空间是有序对（V,q），这里的V是在域k上的向量空间，而q:V→k是在V上的二次形式。
例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。
如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果Q(V)=0则Q被称为完全奇异的。
参考资料来源：百度百科——二次型
二、二次型的标准型唯一吗
二次型的标准型不唯一。
一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求处Q，然后做正交变换x=Qy（xy为列向量），把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型。
若二次型只有平方项，则称二次型为标准型。
如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。
此外，求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。
三、二次型经正交变换得到标准型唯一么
二次型经正交变换得到的标准型不唯一。原因如下：
1、从求出正交矩阵P的过程即可得知：对特征值a,(A-aE)X=0的基础解系不唯一，正交化后自然也不唯一，所以构成正交矩阵P也不是唯一的。
2、正交变换的正交矩阵本身各列都可以调换顺序，当然相应的特征值对应调换顺序，导致系数的位置不一致，因此不唯一。
3、最终的对角阵由特征值组成，所以在不计对角线上元素顺序时唯一。
如果是二次型，每一个系数会对应一个单项式，以上对角阵对角线元素顺序不同对应的是字母排列的顺序不同。
比如x^2+2y^2和2x^2+y^2都是同样的标准型
扩展资料：
二次型化成标准型的方法：
1、配方法：
如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aij不为0，可先通过xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。
2、初等变换法：
将二次型的矩阵A与同阶单位阵I合并成n_2n的矩阵（A|I），在这个矩阵中作初等行变换并对子块A再作同样的初等列变换，当将A化为对角阵时，子块I将会变为C’。
3、正交变换法：
先写出二次型f的tdbl，它是实对称矩阵，求出全部特征值λi（i=1，2，……，n）；再对每一特征值写出它所对应的单位特征向量（特征值相同的不同特征向量注意正交化）；把上述单位正交特征向量作为矩阵的列构造正交矩阵T，那么正交变换X=TY将会把二次型X'AX化为标准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
参考资料来源：百度百科-二次型
