特征值相同为什么不合同(为什么不一定合同)
各位老铁们好，相信很多人对特征值相同为什么不合同都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于特征值相同为什么不合同以及为什么不一定合同的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！
特征值相等是矩阵相似的必要条件.特征值相等不一定相似,除非这些特征值都不相同.比如两个矩阵特征值都是1.2.3那么肯定相似,如果都是1.1.2就不一定.
合同的充要条件是正负惯性指数相同,你可以求一下它们的特征值,或者用配方化成标准型,看一下正负惯性指数就可以.另外还有一个充分不必要条件,就是特征值相同必合同,也就是相似必合同.你可能奇怪为什么这里我说特征值相同也就是相似.因为合同是对实对称矩阵而言的,实对称矩阵必可以相似对角化.前面举得栗子里面,特征值都是1.1.2时,之所以说不一定相似,就是这个有重根特征值的矩阵,不一定可以化成对角阵,而两矩阵相似,是有传递性的,如果它们相似它们必定也相似于同一个对角阵,所以如果有一个不能对角化,那就不能相似了
二、为什么矩阵相似不一定合同
因为矩阵相似有可能正交化之后特征向量改变,也就是说进行变换的目标矩阵改变了,也就不合同，所以这种矩阵相似不一定合同。因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵,而这个正交单位阵也可以用于合同变换。或者利用特征值和正惯性指数,实对称矩阵相似则特征值相同,合同则正惯性指数相同,因此正交相似可得合同。相似与合同都是乘满秩矩阵,因此相似与合同变换都不改变秩,都等价。
判断两个矩阵是否相似的辅助方法：
（1）判断特征值是否相等。
（2）判断行列式是否相等。
（3）判断迹是否相等。
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。
三、特征值相同的两个矩阵一定合同吗
特征值相同，不一定相似，也不一定合同。
但是:
1）如果都是对称矩阵，那么特征值相同，能推出合同
2）如果两矩阵都可以相似对角化，则两矩阵特征值相同，能推出相似。
扩展资料：
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。
加法
矩阵的加法满足下列运算律(A，B，C都是同型矩阵)：
应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法。
减法
数乘
矩阵的数乘满足以下运算律：
矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。
转置
把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵[9]，这一过程称为矩阵的转置
矩阵的转置满足以下运算律：；；
共轭
矩阵的共轭定义为:
.一个2×2复数矩阵的共轭如下所示：则
共轭转置
矩阵的共轭转置定义为：，也可以写为：。一个2×2复数矩阵的共轭如下所示：则
参考资料：百度百科-矩阵
