排列与组合解题技巧
高中的解题技巧
⑶由此，作者树立的正确的观点是什么
6、常见考点
①、议论文的论点考点:
第一，分清所议论的问题及针对这个问题作者所持的看法(即分清论题和论点)。
第二，注意论点在文中的位置:
(1)在文章的开头，这就是所谓开宗明义、开门见山的写法。
(2)在文章结尾，就是所谓归纳全文，篇末点题，揭示中心的写法。这种写法在明确表达论点时大多有。所以，总之，因此，总而言之，归根结底等总结性的词语。
第三、分清中心论点和分论点:分论一般位于段首或有标志性词语:首先、其次、第三等。
第四、要注意论点的表述形式:有时题目就是中心论点。一篇议论文只有一个中心论点。
第五、通过论据来反推论点:论据是为证明论点服务的，分析论据可以看出它证明什么，肯定什么，支持什么，这就是论点。
②、议论文的论据考点:论据是论点立足的根据，一般全为事实论据和道理论据。
1、用事实作论据。事例必须真实可靠，有典型意义，能揭示事物本质并与论点有一定的逻辑联系。议论文中，对所举事例的叙述要简明扼要，突出与论点有直接关系的部分。明确论据时，不仅要知道文中哪些地方用了事实论据，还要会概括事实论据。概括时，要做到准确，必须依据论点将论据本质特点把握住，然后用确切的语言进行表述。
2、用作论据的言论，应有一定的权威性，直接引用时要原文照录，以真核对，不能断章取义;间接引用时不能曲解原意。
③、议论文的结构、层次考点:结构有:并列式结构、对照式结构、层进式结构、总分式结构。
解题思路
1总分开路
开头总提问题，然后话分两头剖析，结尾归纳论点，全文构成总分总的关系。中间分说依据一分为二、矛盾对立统一的辩证思维。
2纵深开路
根据论点逐层论述，由表及里，由浅入深，步步深入，体现透过现象看本质的辩证思考。一般用于需要深层剖析事理的文章。
3横向开路
围绕论点向横的方向思索，把论述的广度逐步扩大，最后再收拢来。一般用于议论文的事实列举。要注意的是：一则必须紧扣论点展开，一则不能堆砌，展开的各面务必分属不同角度。上举佳作《我们》即是这一思路。
4纵横交错开路
一般用于比较复杂的论述，主要体现在全文的间架上，在一个段落内极少见到。
5对比开路
其中一个方面是正面的，一个是反面的。往往是用反面的来突出正面的。行文过程，一般是先正后反;但如果是用正面的来论证反面是错误的，行文过程又往往是先反后正。
6类比开路
通过讲故事、打比方或引用成语典故，对某些属性相同的事物进行比较，阐明问题，论证论点。行文结构，一般总是先概述用来类比的故事、寓言、成语典故，再引申到要说明的道理上来，进行类比阐发。最关键之点是借以类比的事物和所要说明的道理之间要有共同的属性，要类比得合乎逻辑，要准确把握两者之间的辩证关系。材料作文基本采用这种思路。
7逆转开路
先从一个方面论述问题，后面忽然来个逆转，否定前面的看法，论述另一种看法，思路发生了大转折。一般常用于对某些错误认识的分析批判。
8生发开路
有些议论文，上文从正面立论，直接阐明了作者的主张或见解，下文针对某些人不同意作者主张的看法进行驳斥，从而间接论证作者的主张，我们把这种思路称之为生发开路，或叫“生发开，驳异论”。这种辩证开路不但使正面立论更充分更周详，而且有妙笔生花之效果。
解题思路与技巧
1、议论文一般只有一个论点，有的还围绕中心论点提出几个分论点，分论点也是用来证明中心论点的。如：《怀疑与学问》中
分论点①：是从消极方面辨伪去妄的必要步骤。
中心论点：“学者先要会疑”
“学则须疑”
分论点②是从积极方面建设新学说启迪新发明的基本条件
2、找准论点：论点是明确的判断，是作者看法的陈述。有些文章题目就是中心论点，如《应有格物致知的精神》、《事物的正确答案不止一个》。有的文章开头就提出中心论点，如《谈骨气》在一开头就提出“我们中国人是有骨气的。”有的文章中心论点在中间提出，如《想和做》。有的文章中心论点在篇末。也有文章对论点表述不集中，需要自己去概括。
解题技巧
一、找准论点：
论点应该是明确的判断，是作者看法的完整陈述，在形式上应该是完整的句子。有些文章，标题就是中心论点，如(俭以养德)。有的文章开头就提出论点，如《淡骨气》一开头就提出了“我们中国人是有骨气的”。有些文章的中心论点出现在篇末。有些文章则是在论述过程中提出中心论点，如《想和做》。也有些文章对论点的表述不很集中。这就要用明确的语句把它概括出来。
除了以上分析论点在文章中的位置来找沦点外，还可以用以下方法：
1、分析文章内容，有助于找出论点。
2、分析论据有助于找到论点。因为论据是证明论点的，分析论据，看它证明的是什么问题，这个问题就是论点。
3、分析题目有助于找到论点。注意区别：有的标题不是论点，而是论题。如《谈骨气》，是论题，不是论点。但它里边包含着论点，以它为线索去分析，往往就能找到论点。“淡骨气”是一个动宾短语，中心词是“谈”，表明文章主要内容的词语是“骨气”。显然， “骨气”是个比喻的说法，用来比喻“气节"，由此可以推测本文要论述的是“气节"问题，出论点即“我们中国人是有骨气的”。
二、分析论据：
1、分清是事实论据，还是道理论据。
2、找出此论据是用来证明什么观点的。
三、明确论证方法：
辨别文章使用了举例论证、道理论证、比喻论证、对比论证中的哪些方法。其中，举例论证比较好辨别。道理论证一般指引用了名人名言做论据的。比喻论证指论证的语句采用了比喻这种修辞手法的。对比论证一般须找出正反两方面的论述。
四、分析文章的结构：
议论文的一般结构是提出问题--分析问题--解决问题(即引论--本沦--结论)。要理清文章的思路：看开头提出了什么问题，是从几个方面分析论证的，其中着重论述的是哪个方面，再进一步研究这么安排的道理。
五、分析议论文的语言特点：
要注意理解富有概括力的关键性词语。议论文的语言往往概括性强，利用比较抽象的词语表现丰富的内容。例如<俭以养德)中“俭以养德”，意思是要生活节俭，以此来培养品德。它内涵丰富，警策动人，只有联系作品背景和全文内容，才能有较深理解。
六、阅读议论文：
同样涉及到语音、词语、句意的理解等基础知识，这就要在平时做一个有心人，随时积累词语，遇到有意思的句子要揣摩、领悟。考题上出现此类内容，要从文章内容上，尤其是从文章的中心上去理解。
七、要从整体上把握：
答题要在通读了全文之后再动手，有时甚至需要读两遍，才能真正读懂。只有读懂了。答题才会准确。
数学排列与组合知识点
一、排列
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的排列数，记为A
2排列数的公式与性质
(1)排列数的公式：A(n-1)(n-2)…(n-)
特例：当时，A!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1
规定：0!=1
二、组合
1定义
(1)从n个不同元素中取出元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出元素的一个组合
(2)从n个不同元素中取出元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出元素的组合数，用符号C表示。
2比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点
1.计数原理知识点
①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)
2.排列(有序)与组合(无序)
An(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-)=n!/(n-!Ann=n!
Cn!/(n-!
Cn-+Cn+1!=(k+1)!-k!
3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
4.二项式定理知识点：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性质和主要结论：对称性Cn-最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1
③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
排列组合
4A、B、C、D
A、B、D、C
A、C、B、D
A、C、D、B
A、D、B、C
A、D、C、B
类推下去，把A替换成B或C或D也各有6种排列方式4×6=24
算到这儿，我发现几个人组合数等于这个数乘上前一个数的组合数，譬如，
3个人的组合数等于3乘以2的组合数=3×2=6（组）
4个人的组合数等于4乘以3的组合数=4×6=24（组），照此类推
人数1234567
组合数126241207205040
我拿着我的发现去告诉爸爸。爸爸看了我的结论，表扬了我。他接着说：“你这个方法很好，只可惜要求a个人可以几种排法，先要知道（a-1）个人有几种排法，可如果我们还不知道（a-1）个人的几种排法，又要接着往前推，好象有点麻烦，能不能用一个公式来求解呢？”我带着爸爸的问题开始思考。
1个人：=1
2个人：=2×1=2
3个人：=3×2×1=6
4个人：=4×3×2×1=24
5个人：=5×4×3×2×1=120
6个人：=6×5×4×3×2×1=720
……
啊有了，如果求a个人有几种排法，只要从1开始乘一直乘至a为止，用公式表示是：a个人的组合数=……×（a-1）×a，所以，如果我们7个人排成一排，每拍一张照片就交换位置，用不同的排列竟然可以排出1×2×3×4×5×6×7=5040种不同的组合，可以拍出5040张照片，简直太让人难以置信了。
我拿着结果到来到爸爸身边，把我的想法和结论说给爸爸听。爸爸直夸我是个聪明的孩子，我心里别提有多高兴了。
排列组合
生活中的数学无处不在，只要你去认真观察、仔细思考，总能发现很多有趣的数学问题，而且很多数学问题是有规律的，就象本文要解决的问题。
生日的那天，我邀请了6个小朋友来参加我的生日晚会。晚会上，爸爸给我们拍了许多照片。过了一些日子，照片洗出来了。看着大家排成一排肩搭着肩的照片，我突然想到了一个问题，那天晚上包括我一共有7个小朋友，如果我们7个人排成一排，每拍一张照片就交换位置，并且每次的组合都不相同的话，一共可以拍多少张照片呢？我试着用数学办法来解决这个问题。
如果是1个人，那毫无疑问是1种组合。如果2个人，3个人……该如何算呢？我用A、B、C、D、E、F、G分别来代表7个小朋友。
2020数学复习名题选萃排列、组合、二项式定理
一、选择题
1．小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
[]
A．26B．24
C．20D．19
2．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
[]
3．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
[]
A．24个B．30个
C．40个D．60个
4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
[]
A．150种B．147种
C．144种D．141种
5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
[]
A．90种B．180种
C．270种D．540种
－(a1＋a3)2的值为
[]
A．1B．－1
C．0D．2
二、填空题
7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种(用数字作答)．
8．在(3－x)7的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
9．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．
10．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋1(n∈N)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
11．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选法有________种(结果用数值表示)．
12．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答)．
13．在(1＋x)6(1－x)4的展开式中，x3的系数是________(结果用数值表示)．
14．有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有________种(结果用数值表示)．
16．从集合｛0，1，2，3，4，5，7，11｝中任取3个元素分别作直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得经过坐标原点的直线有________条(结果用数值表示)．
17．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________(用数字作答)．
＝________．
19．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)．
三、解答题
21．已知i，是正整数，且1＜i≤．
(2)证明(1＋＞(1＋n)
参考答案提示
一、选择题
1．D2．D3．A4．D5．D6．A
提示：6．本小题考查二项式定理的有关知识．解法1：由二项式
二、填空题
7．2528．－1899．2n(n－1)
10．1111．35012．3213．－8
14．144015．416．3017．17918．4
19．12．提示：解法1：若A、B之间间隔6垄，如果A在左，B在右，A的左边可以有2垄、1垄、0垄，相应B的右边有0垄、1
种．若A、B之间间隔7垄，若A在左，B在右，A的左边可以有1
(种)．解法2：用插空的方法．中间的6垄与两旁的A、B两垄先排好，A的两边有2个空，B的两边有2个空，这4个空选2个空种植其他2
三、解答题
21．
历届中的排列组合题
一、选择题：(每小题10分，计80分)
1．(2008福建文、理)某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求
至少有1名女生，那么不同的选派方法有
Ａ．14Ｂ．24Ｃ．28Ｄ．48
2.（2005湖南文）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个
不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是
A．20B．19C．18D．16
3.（2006湖南理）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的
项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有
A.16种B.36种C.42种D.60种
4．(2008全国Ⅰ卷文)将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都
没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有
A．6种B．12种C．24种D．48种
5（2004湖北文）．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为
A．120B．240C．360D．720
6.（2007福建文)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000B.4096C.5904D.8320
7．（2004全国Ⅳ卷文、理）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任
（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有
A．210种B．420种C．630种D．840种
8．（2003北京文、理）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同
土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
A．24种B．18种C．12种D．6种
二、填空题：（每小题10分，计40分）
9．(2008重庆文)某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有种（用数字作答）.
10．（2006江苏）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）。
11.（2004天津理）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个。（用数字作答）
12.（2002春招上海）如图，A、B、C、D是海上的四个小岛，要建三座桥，
将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有种.
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测二）
一、选择题：(每小题10分，计80分)
1．（2007北京文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有
Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个
2.（2004春招北京理）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是
A.B.C.D.
3．(2008海南、宁夏理)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有
A.20种B.30种C.40种D.60种
4.（2006北京文）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个（B）24个（C）18个（D）6个
5（2002春招北京文、理）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有
（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种
6.（2007辽宁文）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若则不同的排列方法种数为
A．18B．30C．36D．48
7．（2006天津理）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A．10种B．20种C．36种D．52种
8.（2005湖北文）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
A．168B．96C．72D．144
二、填空题：（每小题5分，计30分）
9．（2008浙江文、理）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答)。
10.（2007重庆文）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）
11、（2005春招北京理科）从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有_____个，其中不同的偶函数共有______个。（用数字作答）
12．（2003天津文）将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字答）
历届高考中的“二项式定理”试题精选（自我检测）
一、选择题：(每小题5分，计60分)
1．(2008江西文)展开式中的常数项为
A．1B．C．D．
2．(2008全国Ⅱ卷理)的展开式中的系数是
A．B．C．3D．4
3．(2008重庆文)若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为
(A)6(B)7(C)8(D)9
4.（2007湖北文、理）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3B.5C.6D.10
5．（2007江苏）若对于任意实数，有，则的值为
A．B．C．D．
6．（2007江西理）已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于
A．4B．5C．6D．7
7.（2006湖南文）若的展开式中的系数是80，则实数a的值是
A．-2B.C.D.2
8．（2006辽宁文）的值为
Ａ．61Ｂ．62Ｃ．63Ｄ．64
9.（2006湖北文）在的展开式中，x的幂的指数是整数的有
A.3项B.4项C.5项D.6项
10.(2005山东文、理）如果的展开式中各项系数之和为128，则开式中的系数是
（A）(B)(C)(D)
11．（2005浙江理）在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是
(A)74(B)121(C)－74(D)－121
12.(2004浙江文、理)若展开式中存在常数项,则n的值可以是
(A)8(B)9(C)10(D)12
二、填空题：（每小题5分，计40分）
13．(2008福建理)若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=_______.(用数字作答)
14.(2008广东理)已知(k是正整数)的展开式中，的系数小于120，则k=_____.
15.（2007天津文）的二项展开式中常数项是（用数字作答）．
16.(2007安徽理)若(2x3+)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于
17、（2006广东）在的展开式中，的系数为________.
18．（2005天津理）设,则
19.（2004天津理）若，则
。（用数字作答）
20．（2000上海文、理）在二项式的展开式中，系数是小的项的系数为。
（结果用数值表示）
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测一）
参考答案
一、选择题：(每小题10分，计80分)
二、填空题：（每小题10分，计40分）
9．12.10．___1260__.11.300.12.16.
历届高考中的“排列与组合”试题精选（自我检测二）
参考答案
一、选择题：(每小题10分，计80分)
二、填空题：（每小题5分，计30分）
9．40.10.288.11、__18__，__6_.12．42
历届高考中的“二项式定理”试题精选（自我检测）
参考答案
一、选择题：(每小题5分，计60分)
二、填空题：（每小题5分，计40分）
13．__31___.14._1___.15.84．16.7
17、-1320.18．.192004.20．－462
排列组合
教学目标：理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它解决一些简单的应用问题；理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
教学重难点：掌握排列、组合数公式，及一些简单的应用。
教学方法：讲练
教学过程
一、知识
1．排列的概念：
从个不同元素中，任取个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
2．排列数的定义：
从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
全排列数：（叫做n的阶乘）
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出元素的组合数；②求每一个组合中元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（2）组合数的公式：
或
4．组合数的性质1：
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出元素的每一个组合，与剩下的n元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出元素的组合数，等于从这n个元素中取出n元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵
又，∴
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③或．
组合数的性质2：＝+．
一般地，从这n+1个不同元素中取出元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
∴＝+．
二、题型应用
例1（局部定序型）
7人站成一排，其中三人顺序已定，二人顺序已定，则不同的排法有多少种
解析：部分元素顺序固定(静止)，位置不清楚，不好直接动笔，还是先当作都是动的进行排列，再除以定序的排列。6人站成一排，有种排法，在这些排法中三人有种顺序，我们只要其中的一种，二人有种顺序，我们也只要其中的一种，故有种不同的排法。注意这里只定序，并没有说明是否相邻。
【评注】局部定序问题，先将所有元素作全排列，再除以定序元素的全排列。只有一组定序时，也可先排其它元素，留下空位给定序元素。
例2（(局部)平均分组型）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为
A．70B．140C．280D．840
解析：三组人数相同，但甲、乙需分在同一组，故甲、乙所在的一组与其余两组元素间机会并不均等，但其余两组间元素机会均等。所以不同分组方法为种。
【评注】主要包括整体平均分组问题和局部平均分组问题二类情况。平均分组需要元素间机会均等，且无顺序要求，平均分成组，分母需除以。
例3（相同元素隔板型）有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有种。
解析：先给1，2，3号盒子分别装入0，1，2个球，问题转化为将7个球装入3个盒子，每盒至少1球，所以有=15种。
【评注】处理相同元素问题，将个相同的小球放到个不同盒子中，每个盒子中至少放一球，则只需在排成一排的个小球的个空中放置块隔板把它隔成份即可，共有种不同方法，实际应用中要注意将命题等价转化。
例4（多排排列问题）8人分坐两排，要求面对面坐下，但其中甲、乙两人不可相邻也不可面对面，有________种坐法。
解：8人分坐两排可看成没有区别的一排，从特殊元素入手，先甲再乙后其他。若甲在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的5个位置上，有种，若甲不排在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的4个位置上，有种。由分类计数原理，符合条件的坐法有+=25920种。
评注：多排排列问题，可把首尾连成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。
例5（至少问题）某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，求：（1）此小组中的男、女生数目各为多少？（2）求至少有两名男生入选的概率
错解：(1)设共有名男生，则女生人数为名，由题意得，解得，即小组中的男生、女生人数分别为4人和2人；
(2)基本事件总数为．第一步保证两名男生，有种，第二步确定余下的一名是男生，还是女生，有2+2种，共有4种．因此所求概率为．
剖析：第二问中1.21，显然错误．原因是重复，如关于男生，可选男1和男2，余下的两名男生可选男3；也可选男1和男3，余下的两名男生可选男2．二者结果相同，因此导致重复．
对于“至少”问题，一般有两种处理方法：一是正面分类，进行穷举，分为三名男生和两男一女．．二是“正难则反”，利用排除法进行处理．反面为一名男生或没有(不可能)．．另外关于分配问题，较好的方法是先分堆(类)，再分给人，这样计算既没有重复，也不会遗漏．
例6（逆向思维型）
(1)为建设节约性社会，三峡坝区某市某条街上有20盏路灯，在不影响照明的情况下，要求熄灭3盏，熄灭的灯不能相邻，则共有多少种不同的熄灯方案。
(2)有8个座位连成一排，安排5人就坐，恰有两个空位相连的不同坐法有___种。
(3)某学校军训时进行射击演练，张三射击10次，射中5次，恰有两枪连中(无三枪及以上连中情况)，则不同射击情况共有______种。
分析：排列组合问题中，有很多表面上都是静止，如路灯问题，受其影响，从正面直接思考，很难凑效，如果变静为动，就可迎刃而解。熄灭路灯问题按先排好亮灯，再插入熄灭灯方法进行处理。空位相连问题按照先排人，再插入相连空位，最后插入不相连空位三步进行处理。射击射中相连问题按照先排未中枪，再插入相连中枪，最后插入不相连中枪三步进行处理。另外还有一些问题可以采用穷举的方法进行。
解：(1)路灯是静止不动的，按静止来想，思维明灭受阻。假设路灯没有安装好，处于设计阶段，先排17盏亮灯，再将3盏熄灭的灯插入到18个空中，则有种不同的熄灯方案。
(2)8人座位已固定好，很不方便，假设座位是可移动的，不妨将3个空座先搬出来，第一步安排5人就座种，第二步将相连两空位捆绑在一起(内部不需再排序)插入6空中，有种，第三步将另一空位插入余下5个空中，有种，故共有种坐法。
(3)射击时每枪本有固定顺序，依此方向思考，数字较大时，情况比较复杂，很难想清楚。按动态处理，先把中枪拿出来后再排，第一步将未射中的5枪排成一排有1种，第二步将连中2枪(捆绑在一起)插入6空中，有种，第三步将其余射中的3枪插入余下的5空中，有种(想一想为什么不是)，故共有种。
