不等式的解题方法与技巧

中级和高级数独训练

　　数独的基本解题技巧

　　1．唯一解法：当某行、某列或某一宫内已填数字到达8个，那么剩下的那个格子里的数字就确定了。例1是典型例题。

　　2．基础摒除法就是利用1～9的数字在每一行、每一列、每一个宫都只能出现一次的规则进行解题的方法。基础摒除法可以分为行摒除、列摒除、九宫格摒除。

　　此例当中，？处可以利用黄色标注的数字推断出来只能是9。

　　3．区块摒除法是基础摒除法的提升方法，是直观法中使用频率最高的方法之一。（例2中有所体现。）

　　从左图看，用粉色标注的两个6是左下角那个宫内可能填入6的地方，虽然具体位置没确定，但是在左下角的那个宫内，6一定填在第一行。那么再看右图，根据粉色标注的6以及用粉圈圈起来的6，可以在图中画出绿叉子，从而确定中下边的那个宫内6的位置。

　　4．单元摒除法是比较基本的排除方法。

　　（1）在一个宫内进行排除：

　　根据两个圈的3，可以画出粉色的叉子，从而确定左边中间那个宫内3的位置。

　　（2）在一列内进行排除：

　　（3）在一行内进行排除：

　　5．唯余解法就是某宫内可以填入的数已经排除了8个，那么这个宫格的数字就只能填入那个没有出现的数字。这也是最基本的排除办法。（例1和例2中都有所体现。）

　　6．利用隐藏数对：在某一行、某一列或者某一宫内，有两个数字只能填在某两个格内，虽然他们的具体位置没定，但是其它数字都不能填入。

　　在此例中，左图右上角的那个宫里，所有画粉叉子的地方都不能填1和2，那么只有B9和C8能填入1和2，这时可以确定这两个格内不能再填其它数字。再看右图，根据两个画粉圈的3可以确定右上角那个宫里3的具体位置。

　　中级篇

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　　高级篇

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抓住不变的量，让问题迎刃而解

　　我们在解答一些比较复杂的分数应用题时，由于题目提供的信息比较复杂，解题时会觉得无从下手，不知怎么办才好。遇到这样的情况，我们应该从题目中找出不变的量，把他看作单位“1”，将已知的复杂条件进行转化，算出要求的结果占单位“1”的几分之几，这样就能解答了。

　　比如这一题：“操场上原有男生人数占男女生总人数的3/8，后来又来了20个男生，现在男生人数占男女生总人数的7/12。这个操场上现有学生多少人？”

　　你知道从哪里入手吗？这道题一定已经把你弄得晕头转向了吧！

　　用“抓住不变的量”的方法求就很简单。

　　要解题，首先要注意3/8和7/12不是同一个单位“1”，3/8的单位“1”是原有总人数；7/12的单位“1”是现有总人数，这是一个必须弄清的重要问题。可是，你有没有注意到，自始至终，女学生的人数都没有变？它就是我们的着手点。把女学生人数看作单位“1”，男学生占原来总数的3/8，那么女学生人数就占5/8，原来男生人数就占女生的3/8-3。同理，后来男生人数就占女生的7/12-7。这样就找到了新来的20个男同学相当于女学生的（7/12-7）-（3/8-3）=4/5。这样用20÷（4/5）=25（人）就求出了女生人数，再用女生人数25÷（1-7/12），就求出了这个操场上现有的男女生总数为60人。

　　其实还有另一种方法，也把女生人数看作单位“1”，原来总人数看作女生的8/8-3，后来的总人数看作女生人数的12/12-7，也能求出女生人数来。这两种方法的共同特征就是把不变的量即女生人数看作单位“1”，先求出女生人数，从而解决整个问题。

高考作文指导：用辩证的方法看问题

　　现在我们首先提出第一个关键性的名词——“思维方式”。全国卷新课标一卷中的作文题目整体难度特别大，也涉及到同学们的眼界问题，不适合用文艺腔调来写这个题目，所有套作题目在高考中很难取得高分。这道题考察文化难度，“学校开运动会，最后一个项目是山羊过独木桥。规则是学生从两边同时过独木桥，有一个桥在桥两身双双通过，裁判认为这样做有争议”根据这则材料同学们写一篇文章。这道题至少需要五到十分钟去理解，因为这道题在整体审题逻辑上非常有难度，很难入手去写。

　　那么，究竟怎样处理这个问题呢?首先我给大家一个基本的观念，我们平时写作时老师会告诉你不同的写作角度。但是高考作文是选拔性考试，有时候只有一个角度是这篇文章最好的写法，只有你站在这个高度写，你才能达到高分要求，否则其他角度的切入都是平庸的。任何一个材料都是一个整体，不能从一个整体材料中的一小部分，直接得出小论点和结论，这种处理问题的方法是片断性思维跑题。写出高分作文的同学一定是心智成熟的，看待问题是从整体的角度，而不是从片面的角度入手。

　　写作材料分析

　　首先，开运动会，最后一个项目是山羊过独木桥，这个项目的规则是学生从独木桥两边同时上桥，这个人PK，在桥中时间的时候，两个人相遇，我们在中间相遇，我们看谁的力量强?力量强的一方把另一方拽倒，他通过，这就是赢家，一定会有一个人下桥，这个人通过不了，还有一个人通过，然后PK出胜负来。但是在这个项目的预赛时，这个材料中间有“但是”，思维能力极强的同学会马上发现，会当作数学题当中的信息对待，一种是有效信息，一种是无效信息。这篇文章是长材料作文，信息材料是大于等于二，你得把这两个信息全都放到一块，并且梳理出两者信息之间的逻辑关联，你才能写成一篇非常好的文章。简单来说，以“但是”这个转折连词为中介分，“但是”之前的内容提供给我们的是整个材料中的信息一。

　　信息一的核心词汇是“规则”，以“但是”为中介，“但是”后面提供给我们的是信息二，但是在这个项目的预赛时，有一对同学在桥中间双双通过，抱在一起，裁判认为是有争议的，这两个同学的行为给我们提供第二个信息，不遵守规则，对于规则的颠覆，可表述为“打破规则”。当你把整个文章逻辑进行梳理和罗列，并抽象成为一个简单的数学模型，归纳为两个关键词，一个是规则，一个是打破规则。

　　写作思路整理

　　在训练写作思路的过程中，多维度思考永远比单维度思考问题重要的多，不能仅立意在规矩的重要性上，强调没有规矩不成方圆，但也不能仅立意在一定要打破规则，韩寒从来没有上过什么大学，一样成为一个很优秀的歌手和作者，全世界的人都要做韩寒吗?当然不是，打破规则重要吗?不重要，但还是要可以打破规则，完全遵守规则也是不行的。一个合理成熟的人会这样思考问题，事物刚兴起还没有成熟的时候，我们一定要非常严格的恪守规则，让事物渐渐成熟起来，事物成熟之后，从内部打破规则，让他更好地发展，打破规则也是需要得到保护的，这个观点是多项观点。举例也需要观点新颖独到，不能永远千篇一律。比如说可以写美国的国家是怎么建立规则的，他们是如何打破规则发展起来的，易中天的《艰难的一跃》就阐述了美国如何运用规则和打破规则促进国家的发展。举出独到的例子，文章马上不一样，作为成熟的个人，更应该关注的是国家大事。

　　同时我们也可以看到，更改规则很重要，中国特色的文化是诗歌和词的传承，唐朝之前的诗人所作文章是没有韵律感的，中国的诗歌从唐朝起，弄起了一层又一层的凡例障碍，刚兴起的唐诗严格遵守了这个规则。但李白和杜甫的诗歌就常常犯规，李白的诗歌充满了一种灵动的气息，已经从诗歌没有规则到规则完整，最后到李白那个时代，规则已经限制事务的发展了，所以李白就要去变。同样的道理，词的的规矩也多多，所以不好做，一要平缓，二要短促，早年那些词人的词都是这些特点，但为何刘墉为之一变，因为刘墉太熟悉写词的方法了，刘墉觉得要创新，刘墉成为了破坏规则的人，这里就凸显了之前规则的重要性，如果不是刘墉熟悉之前的规则，他怎么创造新的规则，规则很重要，但破坏规则同样需要保护。

　　文章要好，人要成熟。好作文的前提是一个人必须要心智成熟，参加大学生入学考试，检测人的目的是衡量你的心智成熟程度，议论文的本质就是考察同学们的思维能力。从以上分析可以看出，这篇文章只有一个最佳切入视角，你动态的辩证的看这个材料，这个材料本身给我们的是两个信息，一个信息是规则的问题，一个是合理的破坏规则，并且要把这两个信息融合到一块。你的结论是规则固然很重要，但是，当事物成熟到一定程度，破坏规则，这种状态和行为，同样需要得到保护，因为事物总是在变和不变当中不断向前推动自身。

　　这样的论点论述出的文章才能够拿到高分。这是最有亮点的一道题，是新课标卷。

解方程的技巧

　　我们在解一元一次方程时，常用的技巧不外乎有以下这四种：

　　第一， 有多重括号，去括号与合并同类项可交行；

　　第二， 当括号内含有分数时，常常由外向内先去括号，再去分母；

　　第三， 当分母中含有小数时，可先用分数的基本性质化成整数；

　　第四， 运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做一个整体进行变形。

　　这里，我们不妨举一个例子说明：解方程1/2{1/2[1/2（1/2x-3）-3]-3}-3=0

　　这个方程中，一次去分母不易求解，因为有多重括号，包括大括号、中括号和小括号，我们不妨由外向内分步去分母、去括号。根据这个解题思路，这个方程应当如下面这样解：

　　方程两边同时乘以2，合并同类项并移项，即：1/2[1/2（1/2x-3）-3]=9

　　方程两边再同时乘以2，合并同类项并移项，即：1/2（1/2x-3）=21

　　接着再重复上面的步骤，即：1/2x-3=42

　　最后解出方程，即；x=90

　　由此可见，解一元一次方程只要运用以上的四种技巧，就能很快地将复杂的一元一次方程解出来了。

创新的四大不等式

　　时下，无论是高考作文，还是中考作文，从命题形式及内容要求诸方面来说，都为考生的创新提供了广阔的空间。话题作文的三自方针（自主立意，自拟题目，自选体裁）让考生最大限度地张扬个性，发挥自己的长处。许多省市在作文的评分标准里规定基础等级和发展等级，其意旨就是鼓励考生创新。每年一篇篇满分作文的问世，足以让数万计的学子们为之折腰。谁不想写出创新的文章得高分？于是乎多少考生对创新作文的追求达到了白热化的程度，殊不知作文创新有迷雾。

　　一、立意创新≠大唱反调

　　敢于突破思维定势，大胆求异，对待某一事物，用逆向思维或多向思维，从不同角度去认识、分析、寻求答案，发人所未发，写人所未写，给人耳目一新的感觉，这是所提倡的文章立意创新。但立意创新不是遇到问题就唱反调，讲歪理，刻意反弹琵琶。违背客观事物的根本规律，这样的立意虽新勿取。否则只能给文章赢得个立意不高思想不健康等评价，被打人冷宫，评个低分。如对滥竿充数这一典故中的南郭先生可以有新阐发，褒扬他没有厚着脸皮再混下去，而是立即逃离岗位，比现代南郭占着茅坑不拉屎知趣，可以褒扬他无须领导做工作，急流勇退，更不搞歪门邪道，拉关系，走后门；但如果吹捧他不会吹竽都能审时度势，随机应变，当他发现昏庸的齐宣王爱听合奏时，便大胆地加入吹竽行列领俸禄，很有本领地愚弄统治者，这样的立意即使新了，也令人讨厌，把一个不学无术的骗子，说成是愚弄统治者的英雄。

　　20xx年高考，一位考生说材料中的青年人，诚信丢得好，他的理由是商家卖假货，别人讲诚信，我也不能讲诚信，要以牙还牙这种观点显然错误。再如20xx年有一位考生写了一篇题为《我渴望非典》的文章，在文中大为非典唱赞歌：因非典的蔓延，我改变了不讲卫生的习惯，提高了自立能力这样的立意是不会得到人们认可的。无论怎么说，非典给人们带来的生命财产损失，远大于不讲卫生等方面的坏习惯。这样的立意新则何益？笔者认为这样大唱反调的立意不如较平稳的常规立意好。况且有些话题是绝不能唱反调的，如关于环保方面，关于科学方面，关于学生早恋方面

　　文章的立意基础应是正确认识事物，公正、客观、全面地评价事物，服从真善美的标准。同学们应提高辨别能力，提高思维深度，在文章立意时，不片面、极端，不哗众取宠。

　　二、选材出新≠写社会阴暗面

　　有些同学在选材新颖的认识上有误区，似乎选材上的创新就是写社会阴暗面。为故作惊人之态，写别人不敢写，或别人不愿写的东西，大胆暴露社会生活的阴暗面，甚至任意夸大，危言耸听，造成选材低调。如有位同学写了一篇题为《官场丑形记》，描述了大大小小的贪官、赃官众生相，把官场写得一团漆黑，并推论出当官没好人的结论，这样的推断显然太偏激，不客观，丑化了党和政府干部的形象，歪曲了事实，全盘抹杀了党中央反腐治贪的实绩，也否定了社会不断前进的大好形势。这并不意味着阴暗面不能写，就是要在写阴暗面的同时，看到光明的一面，要客观地、全面地、正确地看事物，不能以偏概全，走向极端。对于中学生来说，社会阅历不深，还是少写社会阴暗面的好，况且有些问题很难说清孰是孰非。

　　思想消极，内容不健康的材料也不能写进文章。如1994年高考作文题为《尝试》，有一考生写尝试偷越国境，还有一考生写自己尝试结婚，偷吃禁果，显得下流粗俗。

　　要做到选材新，平时要留心，不断从现实生活中捕捉富有时代气息的人事物景，做到人无我有，人有我新。需要注意的是题材源于生活，要真实可信。不能一写战胜挫折类文章，就让自己成为孤儿，一写思想品德类文章，就到路上去拾巨款。胡编乱造的材料再新也不能感人。

　　三、体式创新≠追求花样

　　文章的体式应根据自己所写的内容来决定。有些学生一味地为了创新，甭管写什么内容，甭管写什么体裁的文章都加上题记，后记，这非但没能给人有新鲜之感，反而觉得是碍眼的败笔，实属画蛇添足。对文体的选择也不根据题目和内容的需要决定，不根据自己的擅长来选择，追求花式花样，硬撑着写自己不拿手的文体，结果弄巧成拙，写成四不像。在话题作文唱主角的今天，为考生的作文形式创新提供了良机，考生可以根据自己的特长，任意发挥，创造出令人耳目一新的体式。但是，创新是需要有一定功底的，而且还要有灵感，不是人人都能做到的。若一味求新求异，就会舍本逐末，邯郸学步，甚至画虎不成反类犬。如写社会阴暗面的东西可用病历卡的形式，写歌颂类文章就不适合了；写情节复杂，矛盾冲突尖锐的文章，可采用剧本的形式，没有矛盾冲突的就不适合；写情感交流类文章，并不能面对面交谈，可用书信的形式，而介绍知识类的文章就不适合；时间跨度大，人物场景不集中，可采用小标题写，而人物场景相对集中，就不适合用小标题写总之，创新不是赶时髦，不能乱用乱套，不合身的衣服再美丽也不中看，反而给人有做作的感觉，令人生厌。

　　我们写作时，首先要根据内容来决定形式，做到内容与形式吻合。另外还要根据自己驾驭文体的能力来选择文体，不能乱套。

　　四、语言求新≠语言异化

　　有些同学误认为语言求新，就是说新鲜语，讲时髦话，写作时竭力把语言搞异搞怪。滥用套用港澳台语：左一个酷，右一个帅呆，张口阿sir，闭口哇噻，违背了正常的语言习惯，令人生厌。有些同学不管表达是否需要，是否切合文章的内容，频频运用洋文，显得卖弄做作，让人感到非常别扭。受了20xx年高考满分作文《赤兔之死》的影响，有些同学文章语言仿古，半文不白，甚至不通，显得不伦不类，令人不堪卒读。

　　文章对语言的要求，首先是标准规范，符合正常的语言习惯，讲究流畅自然，然后才是讲究语言的生动形象以及个性风格。写作时，可适当将生活中的鲜活语言引入文中，以增强表现力。此外口语化的语言，比喻、拟人等修辞手法的恰当运用，打破常规，词语活用，注意句式的变化等，都是语言创新的有效途径。

函数、方程与不等式的复习建议

　　来源：大观周刊

　　ISSN：1008-925X

　　年：2012

　　卷：000

　　期：023

　　页码：213-214

　　页数：2

　　中图分类：G4

　　正文语种：chi

　　关键词：复习建议;函数;不等式;方程;数学模型;数学思想;变化规律;数量关系

　　摘要：函数是反映现实世界中变量问的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型，它不仅是初中数学中的重要内容，而且还是一种重要的数学思想，也是贯穿初中数学的一条主线，而其中蕴涵的数学思想和方法则是我们解决问题的重要手段。

解不等式组

　　确定不等式组解集有两种方法：（1）数轴表示，在用数轴表示不等式组的解集时要注意：有等号时用实心圆圈，无等号时用空心圆圈；（2）用口诀：大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小题无解.

　　（2008无锡）在“512大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000和乙种板材12000的任务．

　　（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30或乙种板材20．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务

　　（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间型板房和一间型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

　　板房型号甲种板材乙种板材安置人数型板房54265型板房78418

　　问：这400间板房最多能安置多少灾民

　　点评；列不等式（组）解应用题是近年来中考热点，

　　方法技巧：理解题意的基础上发现不等关系是解决这类问题的关键，同时对于结果的处理也根据要求。

　　（2008年广东）3．不等式组的解集为

　　Ａ．Ｂ．Ｃ．D．无解

　　(2008年)12．“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有棵．121

　　(2008年)26．一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．如果用小刚抛掷正方体骰子朝上的数字，小强抛掷正方体骰子朝上的数字来确定点，那么他们各抛掷一次所确定的点落在已知直线图象上的概率是多少

　　一、选择题

　　1.（2008年甘肃省白银市）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图中的

　　A．B．C．D．

　　（2008年重庆市）不等式的解集在数轴上表示正确的是

　　ABCD

　　（2008年上海市）不等式的解集是．

　　1．(2008年扬州市)某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住。

　　（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；

　　（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案

　　2．（2008年江西省）不等式组的解集是

　　A.x＜2B.x＞－1C.－1＜x＜2D.无解

　　1.(2008年永州)如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是

　　A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞a＞b

　　2.(2008年永州)下列判断正确的是

　　A．＜＜2B．2＜＋＜3

　　C．1＜－＜2D．4＜·＜5

　　3.(2008年永州)（8分）某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆

　　4.(2008年湘潭)（本题满分10分）我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：

　　湘莲品种ABC每辆汽车运载量（吨）12108每吨湘莲获利（万元）342

　　（设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；

　　（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

　　（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.

　　5.(2008年益阳)乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费元.

　　(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；

　　(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于而小于时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.

　　1．(2008年内江市)函数的自变量的取值范围在数轴上可表示为

　　6（2008乌鲁木齐）．一次函数（是常数，）的图象如图2所示，

　　则不等式的解集是A．B．

　　C．D．

解题思路与技巧

　　1、议论文一般只有一个论点，有的还围绕中心论点提出几个分论点，分论点也是用来证明中心论点的。如：《怀疑与学问》中

　　分论点①：是从消极方面辨伪去妄的必要步骤。

　　中心论点：“学者先要会疑”

　　“学则须疑”

　　分论点②是从积极方面建设新学说启迪新发明的基本条件

　　2、找准论点：论点是明确的判断，是作者看法的陈述。有些文章题目就是中心论点，如《应有格物致知的精神》、《事物的正确答案不止一个》。有的文章开头就提出中心论点，如《谈骨气》在一开头就提出“我们中国人是有骨气的。”有的文章中心论点在中间提出，如《想和做》。有的文章中心论点在篇末。也有文章对论点表述不集中，需要自己去概括。

不等式

　　在数学中，不等式就是由大于号、小于号组成的式子。而在我们的学习和生活中，这种不等式关系也很多，处处都有它的影子。

　　——题记

　　在我上初中的这两年，我一直认为努力就会获得胜利，在家中父母和亲人都这样说，在学校老师会这样说，在社会上人们都是这样说。可我到今天才知道，在某些情况下，努力不一定就会胜利。

　　在初二上学期时，我曾经很努力地去把每一门学科学好，在我头脑中全都是“努力”的影子。然而，每一次月考成绩不佳。此后我下定决心要更加努力。但是第二次、第三次月考接二连三的失败，期末考试也在不如意中收场。

　　在寒假，我多次总结考试失败原因，但怎么也不对。这个问题环绕了我一个寒假。直到初二下学期报名那天也没找到解决问题的答案。可就在我们学了数学中不等式的概念后，才想通了这个问题。

　　在学习中，努力是必要的，但没有好的学习方法，盲目地努力反倒会使自己迷路，不知该从什么方面去努力，背上更沉重地思想包袱。

　　此刻，我又想到了数学的不等式。所以，我们在自己努力的同时，还要备上好的学习方式，只有“技巧+勤奋”才会生产出“成功”。

对一道不等式数学题解法的思考

　　在数学复习教学中,选好一道例题,通过一题多思,一题多解、一题多讲,可以巩固学生知识,训练学生思维,开拓学生视野,可以使学生的知识能够有机地联系.下面通过一个典型的例题加以说明.

　　已知a,b∈R+且4a+1b=1,求a+b的最小值.

　　错解:(均值不等式法)

　　∵a,b∈R+,

　　∴1=4a+1b≥4ab①

　　(当且仅当4a=1b,即a=4b时取等号).

　　∴ab≥4.

　　又a+b≥2ab②

　　(当且仅当a=b时取等号).

　　∴a+b≥8.③

　　∴a+b的最小值是8.

　　分析:此题解答有误.因为①、②式的等号不能同时成立,所以③式等号不能取.但事实上推导过程无误,只是扩大了a+b的范围.因此强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少.

　　解法一:(1的妙用)

　　∵4a+1b=1,

　　∴a+b=(a+b)(4a+1b)=5+4ba+ab≥9

　　(当且仅当4ba=ab时,即a=6,b=3时取等号).

　　练习:1.a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

　　2.a,b,c是不相等的正数且abc=1,求证a+b+c4),

　　所以a+b=a+1+4a-4

　　=5+a-4+4a-4

　　≥9

　　(当且仅当a-4=4a-4,即a=6时取等号).

　　解法四:(判别式法)

　　由4a+1b=1得b=aa-4=(a4).

　　令a+b=z,则z=a+aa-4=a2-3aa-4,

　　得关于a的二次方程a2+(3+z)a+4z=0.

　　可由Δ=(3+z)2-16z≥0且z+3+(z+3)2-16z20

　　解得z的范围,从而得到a+b的最小值.

　　(注意实根分布情况讨论.)

　　练习:已知2x+y=6,求1x+1y的范围.

　　解法五:(三角代换法)

　　令4a=(cosθ)2,1b=(sinθ)2,

　　则a+b=4(secθ)2+(cscθ)2

　　=5+4(tanθ)2+(cotθ)2≥9.

　　练习:00,b0,求a2x+b21-x

　　的最小值.

　　解法六:(导数法)

　　z=a+aa-4(a1),令z′=0,得a=6.

　　即在区间内有一极值点,此极值必为最值.

　　以上所涉及到的方法都是学生在学习过程中应掌握的,而教师通过对这一道例题认真细致的讲解即可帮助学生复习到多个知识点.