定积分的计算
数学阶段复习与总结
XX年3月14日星期五晴开心
这段时间，我们学习了很多知识。比如打折，分数乘除法，长方体，正方体表面积公式，都是我们收获很多！今天我们就来说一下各个重点知识吧！
1、分数与整数相乘计算方法：分子和整数相乘做分子，能约分的先约。
2、分数与分数相乘计算方法：分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的先约分。
3、打折：打一折-----现价=原价×1/10
4、长方体表面积公式：s=2ab+2ah+2bh
5、正方体表面积公式：s=a×a×6
6、分数除法中的倒数定义：两个数相乘积=1，那么两个数互为倒数。
接下来和大家分享一下老师传授的关于分数应用题的解法“四步曲”
跳绳的小朋友6人，是操场上参加活动总人数的2/9，操场上有多少人参加活动
第一步：翻译“关键句”跳绳人数=参加活动总人数×2/9
第二步：代入数据6=？×2/9
第三步：列算式
1.除法6÷2/92.方程
解：设操场上有x人参加活动
2/9x=6
第四步：算结果
如果上题中关键句不变，已知参加活动总人数是54人，那跳绳多少人？请大家可以用“四步曲”来解答啦！看会有怎样的差别
教师评语：一次对我们所学知识的整理和盘点，跳出数学讲数学，重点对单位“1”已知和未知的分数应用题进行了算理差异的比较。
我学会了认识分数
“扣你分，加三分。”“好，大家都坐得很棒，今天我们来学习分数。”
我先来介绍一下数学老师：数学老师是一个很帅气的老师，对我们的要求不严格，但也不会是要求很松的那种。但是，他们还是更喜欢英语老师，我却喜欢数学老师。
数学课开始了，我们的老师瞪着大眼睛，鼻梁上的近视镜都差点儿掉下来了。他喊着：“**组怎么这么差，组长站起来**组，表现得比上次好，加3分。”
“我们今天来学习：分数！”老师大声喊道。数学老师先打开电脑，把U盘方进去，然后说：“谁知道分数是什么意思吗？”我们没有人举手。老师说让他自己来说吧。老师说：“分数是由分母、分数线、分子构成的，分母是所有东西的总和，分子是一个物体，分母是分子的多少倍，……”哎，我也说不清楚了。老师问了万斐然：“这里有几个苹果？”万斐然说：“切，垃圾，小菜一碟！”老师说：“出去！”万斐然吭了几声，便出去了。
数学课就这样结束了。
数学基础概念分数
【分数线】在分数里，中间的横线叫做分数线。
【分母】在分数里，分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份。
【分子】在分数里，分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
【分数单位】按照分母数字把单位“1”分成相等份数，表示其中一份的数，叫做分数单位。例如六分之五的分数单位是六分之一。
【真分数】分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
【假分数】分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
【繁分数】一个分数，如果它的分子含有分数或者分母里含有分数，或者分子和分母里都含有分数，这个分数就叫做繁分数。
【带分数】由整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。例如二又五分之一。
【约分】把一个分数化成同他相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
【最简分数】分子和分母是互质数的分数叫做最简分数。
【通分】把两个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。例如比较两个分数的大小，就需要通分。
【分数加法】分数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个分数合并成一个分数的运算。
【分数减法】分数减法的意义与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
【分数乘整数】分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
【一个数乘分数】一个数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
【倒数】乘积是1的两个数叫做互为倒数。例如八分之三和三分之八互为倒数，就是八分之三的倒数是三分之八。
【分数除法】分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
【分数的基本性质】分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数(零除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。【同分母分数加减法的法则】同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。计算结果能约分的要约成最简分数，是假分数的，一般要化成带分数或整数。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
积分卡
语文1、阅读课外书（推荐书目： 城南旧事 、 我的妈妈是精灵 、 永远讲不完的故事 、 天使雕像 、蓝色海豚岛、 希利尔讲世界地理 ） 2、 进行调查，完成一份研究报告3、作文一篇
数学：1、基础作业：口算训练 2、分层作业：期末练习卷6张或数学手抄报一份（备注：期末90分以上完成手抄报，90分以下完成练习卷）。英语1、每天在家读英语10-20分钟并予以记录，开学时所记录的表格上交（阅读内容为三上、三下，四上、四下、五上、五下篇三：小学生积分卡
卫 生 奖
优秀学生奖 ——我最遵守纪律！老师不在，我不
说话！
好人好事奖 ——我是一个好少年！
表演奖
——我最棒！我会唱，我会跳！ 文明、纪律奖 ——我讲文明， 自习课优秀奖 ——自习课，我自己学习， 作业优秀奖 ——我回家后，先写作业，然后出去玩！
卫 生 奖
优秀学生奖
——我最遵守纪律！老师不在，我不
说话！
好人好事奖
——我是一个好少年！
作业优秀奖
—我的作业最干净！书写最整齐！
文明、纪律奖
——我讲文明，
自习课优秀奖
——自习课，我自己学习，
间操优秀奖
—锻炼身体，认真做操，我最棒！
眼操优秀奖
——我认真做眼操，爱护眼睛！
自己的事自己做奖
——带齐学具，我最棒！
根据分数与除法的关系列式计算。（1）在科技小发明活动中，五年
7÷12=7/12
（2）小芳每天睡9小时，她一天的睡眠时间占全天的几分之几
9÷24=9/24
（3）小明家养了11只白兔和19只灰兔。白兔的只数是灰兔的几分之几？白兔的只数占总数的几分之几
11÷19=11/19
11÷（11+19）=11/30
积分制的代价
自进入初中以来，班级中便盛行这一套积分制，即你做错了事便扣分，奉献了便加分。
有偏激的教师及家长便用其来估计学生的表现优劣——从此，我开始了“嗜分如命”的生活，也为其付出了不少代价。
学校生活犯错总是难免。单是被教师批评来说——我并不相信班级里有两年来没有被教师训过一次的。那次，我被教师点名后，为使自己的积分得以幸免，在纪检部长的身后如同狗一样跟随，在他的耳边重复求着：“不要扣分啦！不要扣分啦！”那时甚至不知道自己是怎么想的，总之不要扣分，一切好说。讲得夸张些，倒也不算是夸张罢，班级里确有这么做的——“部长不要扣分，您的作业我包了！”
有时，也要讨好那些所谓的上司，记得我进入初中那年作为美术课代表。在我上头的便是学习部长了。不幸，那部长性格比较傲气，也不好交谈。为了每日的加分，要用求的，用换的，甚至用钱去买，都不为过——不过这貌似不是教师的意愿。我心中有一种被扭住甚至搅动的感觉，好像是屈辱，又或是别的什么。总之，烦躁至极。
班里还有一种名为奉献分的加分。顾名思义，奉献了便加分，这也是众多分数中唯一不参于班务内幕的分数。像是我这种不擅长与“高官上司”拉好关系的人，也自然只能朝着这一块“猛攻”。这学期我在班级里担任黑板报部部长，每次的黑板报设计与绘画由我负责。这个部长是个闲官儿，只有画画的时候有些用处。于是那些画黑板报的周日，我几乎是一天泡在学校，最早到，最迟离开。每次加分多则上百，少却三十上下。这投入了我周日几乎所有的时间与精力，复习或是预习什么的全部靠边站。
现在想想也觉得有些可笑，“分数”这个东西令我投入了太多太多东西：自尊、时间、精力……换来一个虚拟的“分数”的概念。只是教师与家长都会关注它，当然，他们不会知道所谓的“内幕”吧。如果让我再选一次，我仍然被迫选择这些分数，尽管代价有些沉重。
积分
说到积分，大家也许都积过，而我说的积分可不是商店的积分，而是我们班的积分，这个分可不得了，高了，会有奖赏的；差的，可要注意一点儿，分儿高了，坐前排，分儿低了，坐后排，这个规矩是老师规定的，让我们这些个儿高的得到了最好的机会。每天，我们都认真写作业，想把分儿加多了，字体写的更好儿，发了本后，我们每个人都加快马鞭，快点儿加分，都想坐前排。
这个积分让我们有了竞争性，让我们每个人把学习放在心里，让我们每个人都把作业写好，这不，我的积分，竞争能力慢慢提高，每回的作业，我都认真完成，虽然有几次重写，但是我以后会加油的。“叮呤呤……”下课了，我赶紧拿着刚发的日记本去加分，加过分，我情不自禁地瞟了一眼，本以为积分最高的我却排在了第二，很不开心，我便更加认真对待每一次的作业，每一次被老师表扬的机会。
就在昨天，也就是星期四，我发现我是那天积分最高的，也就是第一，我真高兴，一蹦六尺高，我得意洋洋，有点骄傲，我一定会积更多的分，坐在前排，我要从每一天起，把坐前排作为我学习的梦想，包括第一，我的积分会越来越高，会挤掉所有的竞争对手，我要以自己的成绩坐前排；以自己的积分坐前排，相信明天比今天更美好，也希望积分一天比一天高。
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定积分计算方法总结
一、 定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
二、 定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
三、 定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则 >= dx
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)
b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为 M(b-a)<= <=M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法 四、 不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 1、定积分解决的典型问题 （1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 •定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 •定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 •性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 •推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。 •推论(x)dx∫ab(x)。 •性质设M及别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 •性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a 定积分的应用 1、求平面图形的面积（曲线围成的面积） •直角坐标系下（含参数与不含参数） •极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2) •旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程） •平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积） •功、水压力、引力 •函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf定积分的计算方法总结
