高考数学卷子
高考
不知不觉，高中生活已经过去三分之二了，我现在是高三的学生了。压力好大啊，特别是对于我的弱相——数学。现在我好后悔，后悔当初没有好好读书，现在怕了，怕我会落榜。想好好读书了，可是功课基本上快结束了，我的数学基础为零。我不知道我还有没有机会念好数学。
高三的教室盘踞在教学楼的最顶端，真是高处不盛胜寒哪！高三了，好怕啊。心里好空虚啊，心里没底了原本还信心满满的。很有危机感啊。好怕明年上那刑场，不知会是什么样的结果。我不知道我可不可以坚持下去，我怕我会坚持不了，不知道我会不会勇敢的去面对高考，我想我应该不会逃离高考吧！可我还是好担心啊。好怕啊。在大家面前我是个快乐的不只忧伤的女孩，可是其实我的内心是空虚的，没有人会知道我的内心到底有多么的空虚，所以我只好上网，在网上我才能找到我自己，我可以写一些我真实的东西。在现实生活中，我不知道我该向谁倾诉。至今还没找到倾诉的对象。很郁闷哪！
我想逃离这种生活，但有什么办法呢！作为学生的我们这些便是我们的责任。我们背负了许久的责任，总不该在这个时候放下吧！“只有学习了才会有出息，有了出息才能找个好工作。“老师，家长们在我们耳边念的是这句话，当我真的累了的时候，也只能用这句话来安慰自己。
往事不堪回首，纵有千种愁绪，也只能埋在心里，烂在心上。过去的已经过去了，我所拥有的只有未来。
高考数学总复习指导
高三数学复习应该是知识整理而不是知识回顾，可以站在新的高度，全面、系统、扎实地掌握教材中的知识内容，形成知识网络。学生要去掉依赖性，要主动思考、主动分析，解决问题时需要有强烈的纠错意识。
高三数学复习应该是知识整理而不是知识回顾，可以站在新的高度，全面、系统、扎实地掌握教材中的知识内容，形成知识网络。学生要去掉依赖性，要主动思考、主动分析，解决问题时需要有强烈的纠错意识。
一、要有纠错意识
目前有很多同学在这方面往往做得不够，平时的作业、练习等在做完之后从不检查，当完成任务，仅仅追求解题数量。而作业一旦老师批改后，或者自己做的练习核对答案后恍然大悟一下，错的地方不是不会做、不懂，而是不够仔细，没有检查。下次再做，然后再错。优秀的学生的错误往往出现在脑子中，同时又消灭在脑子中，而一般的同学的错误往往直接出现在本子中。
每个高三的同学，都应该学会自主学习，有目的有计划地复习，特别是自己要学会知识整理与归纳，对老师上课讲的内容、例题，对自己平时做的习题要进行分析，每个同学自己应该有自己的学习计划、复习计划，做到心中有底。一份试卷做完后，不但知道哪些会做，哪些不会做，而且还要知道哪些能得分，哪些会失分。
二、分类型解题
高三学习过程中，效率问题非常关键。重点问题重点学习，难点问题认真钻研。对一个比较难的知识点，要努力通过各种途径，如钻研、查找资料、老师指导等多种形式，真正弄懂它，杜绝一知半解。
函数、不等式、数列始终是高中数学的重点内容，解析几何、立体几何两大几何问题，通过几何特征考查学生分析问题、推理论证的能力，同时运算能力的考查也蕴涵其中。导数、向量的工具作用在高考中也得到充分的体现，三角、复数、排列组合、概率虽说难度不大，但可以考察知识掌握的熟练程度和数学的基本功。
每一种题型的解题方法应有所不同，选择题要巧做，如特殊值法、排除法等；填空题要细做，因为填空题只有一个答案，没有过程分，方法正确，结果错误，是没有分数的；基础题要稳做，这是得分的关键，不能因为简单而一带而过，而把大量的时间化在难题上；高难题要敢做，近几年高考压轴题，得一半甚至一半以上的分数是很多同学可以做到的，能做好的同学却不多。
三、关注新颖解题法
学好数学关键在于解题，但只解题不一定能学好数学。在训练时，首先提高正确率、然后注意解题速度。解题时不要满足于会做，更要注意解题后的反思，从中悟出解题策略，体会数学思想方法。
近几年高考中都有一些创新题。平时要注意一些新颖问题的解题方法，找到与所学知识之间的相互联系，处理问题的方法的共同点，思考问题的突破口，使自己在遇到新问题时不会措手不及，能够从容面对。此外，心态有时比学习方法更重要，在数学复习中培养兴趣，保持进取状态。
状元推荐2020年数学全真模拟冲刺卷
2020高考数学仿真模拟专练
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知U＝{yy＝log2x，x1}，P＝{yy＝，x2}，则?UP＝
A.B.
C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪
2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z为纯虚数，且(1＋i)z＝a－i(其中a∈R)，则a＋z＝
A.B.
C．2D.
3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．(－∞，3]B．(－∞，－2]∪[2，3)
C．(2，3]D．[3，＋∞)
4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为
A．13πB．12π
C．11πD．2π
5．[2019·湖南岳阳质检]函数f(x)＝(－x2＋x)ex的图象大致为
6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为
A．4B．5
C．6D．7
7．[2019·河南开封定位考试]将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移)个单位长度后得到的图象与函数y＝ksinxcosx(k0)的图象重合，则k＋最小值是
A．2＋B．2＋
C．2＋D．2＋
8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x，y满足x＋y≤1，则z＝2x－y的最大值为
A．5B．4
C．3D．2
9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为
A.B.
C.D.
10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是
A.B.
C.或D.或
11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝＝n，则＋最小值为
A．2B．2
C．6D．6
12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B两点，且·＝0，则直线AB的斜率k＝
A.B.
C.D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sinα·(－tan10°)＝1，则α＝________.
14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：
12＝；
12＋22＝；
12＋22＋32＝；
12＋22＋32＋42＝；
……
照此规律，当n∈N时，12＋22＋32＋…＋n2＝________.
.
15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．
16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an0，若an＝＋(n≥2且n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn＝an·2an，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，且AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．
组数分组天数第一组[50，80)3第二组[80，110)4第三组[110，140)4第四组[140，170)6第五组[170，200)5第六组[200，230)4第七组[230，260)3第八组[260，290)1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率e＝，点A(b，0)，B，F分别为椭圆C的上顶点和左焦点，且BF·BA＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出取值范围；如果不存在，请说明理由．
21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f(x)＝2－3x2＋1．
(1)当时，求f(x)在区间[－1，2]上的最大值和最小值；
(2)求证：“”是“函数f(x)有唯一零点”的充分不必要条件．
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤απ)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A，B，若AB＝8，求α的值．
23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲]
已知不等式2x＋1＋2x－14的解集为M.
(1)求集合M；
(2)设实数a∈M，b?M，证明：ab＋1≤a＋b.
2020高考数学仿真模拟专练（答案）
1、选择题
1：答案：A
解析：因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{yy0}，函数y＝在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝{y0y}，所以?UP＝{yy≥}．故选A.
2：答案：A
解析：复数z＝＝＝，根据题意得到＝0?a＝1，z＝－i，∴a＋z＝1－i＝，故选A.
3：答案：B
解析：若命题p为真命题：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减，则f′(x)＝3x2－a≤0在[－1，1]上恒成立，故a≥(3x2)在x∈[－1，1]上恒成立，又(3x)＝3，所以a≥3.若命题q为真命题：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，则必须使x2＋ax＋1能取所有正数，故Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2.因为命题p∨q是真命题，p∧q为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当p为真命题，q为假命题时，可得{aa≥3}∩{a－2a2}＝?，当q为真命题，p为假命题时，可得{aa3}∩{aa≤－2或a≥2}＝{aa≤－2或2≤a3}．综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3)，故选B.
4：答案：B
解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.
5：答案：A
解析：令f(x)＝0，得x＝0或x＝1，所以点(1，0)在函数f(x)＝(－x2＋x)ex的图象上，所以排除B，C.当x→＋∞时，f(x)→－∞，排除D，故选A.
6：答案：C
解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{an}，且首项a1＝1，公差d＝.小鼠前三天打洞长度之和为＋1＋2＝，之后每天打洞长度是常数2，令n·1＋·＋＋(n－3)·2≥22(n指天数，且n是正整数)，则有n2＋11n－100≥0，即n(n＋11)≥100，则易知n的最小值为6.故选C.
7：答案：A
解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos2x的图象向左平移)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋]＝－cos(2x＋2＝sin，平移后得到的图象与函数y＝ksinxcosx＝sin2x(k0)的图象重合，所以得k＝2，π＋(n∈Z)，又，所以最小值为，可知k＋最小值为2＋.故选A.
8：答案：D
解析：令x＝a，y＝b，则且z＝2a－b.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b＝2a，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z取得最大值，且z＝2×1－0＝2.故选D.
9:答案：D
解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P＝1－＝，故选D.
10:答案：D
解析：由sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，得2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，即sinBcosA＝3sinAcosA．当cosA＝0时，A＝，而C＝，c＝，所以B＝，b＝ctanB＝×＝，所以此时△ABC的面积为bc＝××＝；当cosA≠0时，可得sinB＝3sinA，由正弦定理得b＝3a，又c＝，所以cosC＝＝＝cos＝，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积为absinC＝×1×3×＝.综上可知，△ABC的面积为或.故选D.
11:答案：A
解析：连接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因为P，M，Q三点共线，所以＋＝1，所以＋＋＋＝＝＋＋≥＋2＝2，当且仅当＝，即＝1时取等号，
所以＋最小值为2.故选A.
12:答案：B
解析：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(易知k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得x1·x2＝1，x1＋x2＝.
又·＝0，易知F(1，0)，所以(1－x1)(1－x2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0，即2k2＋2＋(k2－1)＝0，解得k＝.故选B.
2、填空题
13:答案：40°
解析：由题意知sinα(－tan10°)＝sinα·＝sinα·＝sinα·＝sinα·＝＝1，即sinα＝sin40°.因为α为锐角，所以α＝40°.
14:答案：
解析：第一个式子：12＝；第二个式子：12＋22＝；第三个式子：12＋22＋32＝；第四个式子：12＋22＋32＋42＝；……第n个式子：12＋22＋32＋…＋n2＝＝
15:答案：288
解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．
16:答案：
解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函数f(x)是以5为周期的函数，则f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，解得a＝－1，所以当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，则f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝.
3、解答题
17:解析：(1)依题意知an＝＋(n≥2且n∈N)，且an0，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
两式相除，得－＝1(n≥2)，
可知数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝2n－1(n∈N)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)·22n－1，
则Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1①，
4Tn＝1×23＋3×25＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1②，
①－②得－3Tn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1＝2＋2×－(2n－1)×22n＋1＝－＋×22n＋1，
所以Tn＝.
2018年理科数学新课标全国1卷逐题解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z=+2i，则z=
A．0B．C．1D．
解析：选Cz=+2i=-i+2i=i
2．已知集合A={xx2-x-20}，则?RA=
A．{x-1x2}B．{x-1≤x≤2}C．{xx-1}∪{xx2}D．{xx≤-1}∪{xx≥2}
解析：选BA={xx-1或x2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A．-12B．-10C．10D．12
解析：选∵3(3a1+3d)=(2a1+d)+(4a1+6d)a1=2∴d=-3a5=-10
5．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A．y=-2xB．y=-xC．y=2xD．y=x
解析：选D∵f(x)为奇函数∴a=1∴f(x)=x3+xf′(x)=3x2+1f′(0)=1故选D
6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A．-B．-C．+D．+
解析：选A结合图形，=-(+)=--=--(-)=-
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．2B．2C．3D．2
解析：选B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=
A．5B．6C．7D．8
解析：选DF(1,0)，MN方程为y=(x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则=(0,2),=(3,4)
∴·=8
9．已知函数f(x)=，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
解析：选Cg(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a1
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为II．在整个图形中随机取一点，此点取自，II的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2B．p1=p3
C．p2=p3D．p1=p2+p3
解析：选A∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴AC=，AB=2,BC=
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×2+×π×22=π
∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×2-×3×4=π-6；
∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积
∴p1=p2
11．已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则MN=
A．B．3C．2D．4
解析：选B依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为，方程为y=(x-2),联立方程组解得M(,-),N(3,),∴MN=3
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
解析：选A如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大
此时正六边形的边长为，其面积为6××2=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件，则z=3z+2y的最大值为_____________．
解析：答案为6
14．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________．
解析：a1=-1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1，an=-2n-1，S6=2a6+1=-64+1=-63
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
解析：合条件的选法有C63-C43=16
16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．
解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的最小值。
∵f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，
令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=-1，可得此时x=，π或；
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，
计算可得f=，f（π）=0，f=-，f（0）=0，∴函数的最小值为-
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC.
解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=.由题设知，sin∠ADB=.
由题设知，∠ADB900，所以cos∠ADB=.
（2）由题设及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB=.
在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25所以BC=5.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得PH=,EH=.
则H(0,0,0),P(0,0,),D(-1,-,0),=(1,,),
=(0,0,)为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ==.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
19．（12分）
设椭圆C:+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为(1,)或(1,-).
所以AM的方程为y=-x+或y=x-.
（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=00.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1,x2，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=
将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0所以，x1+x2=,x1x2=.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0
从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.
综上，∠OMA=∠OMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科网
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.
因此f′(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p)
令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
（2）由（1）知，p=0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=40+25Y，
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX400，故应该对余下的产品作检验.
21．（12分）
已知函数f(x)=-x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：a-2．
解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=--1+=-.
（i）若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.
（ii）若a2，令f′(x)=0得，x=或x=.
当x∈(0,)∪(,+∞)时，f′(x)0；
当x∈(,)时，f′(x)0.
所以f(x)在(0,)、(,+∞)单调递减，在(,)单调递增.
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x1x2，则x21.
由于=--1+a=-2+a=-2+a，
所以a-2等价于–x2+2lnx20.
设函数g(x)=-x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，
又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)0.
所以–x2+2lnx20，即a-2.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k=-或k=0．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=-时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以=2，故k=0或k=-．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y=-x+2．
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)=x+1-ax-1.
（1）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.
解:（1）当a=1时，f(x)=x+1-x-1，即f(x)=故不等式f(x)1的解集为(,+∞)．
（2）当x∈(0,1)时x+1-ax-1x成立等价于当x∈(0,1)时ax-11成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时ax-1≥1；
若a0，ax-11的解集为(0,)，所以≥1，故(0,2]．
综上，a的取值范围为(0,2]．
2013上海高考数学试题难度点评
数学卷：领会本质摆脱题海
长宁区教育学院中学数学教研员:
学生反映今年高考数学卷难度较大，但仔细分析，从难度上说，应比去年有所降低。
与往年相比，试题结构没有变化，题型与学生日常训练也比较接近。学生会感觉难一个原因是有些知识点教师在复习时没有强调，近几年高考也都没有涉及，一些教师可能认为不会考到。另一个原因是试题对学生论证能力要求较高。
从整体上看，试卷体现了核心知识重点考查的一贯方向。最后五大题涉及的立体几何、函数类型、三角、数列、解析几何等都是高中数学的核心知识点，可能是题型新颖使学生产生了难的感觉。如理科卷第22题考查解析几何知识点，命题给出一个新定义，考生首先要理解，在此基础上才能找到解题突破口，这对思维品质的要求较高。
应该说，这张试卷对今后教学有较好的导向作用。它提示教师，教学要关注知识的来龙去脉，引导学生从结构上把握数学思想，强调将知识点融会贯通的综合能力训练。同时，教学还应关注知识的发生发展过程，重视过程教学，让学生在经历知识成长的过程中自我成长，真正领会数学本质，摆脱题海战术，重在通性通法的掌握上。
2012年全国统一数学试卷(文科)(新课标)及解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012?新课标）已知集合A={xx2﹣x﹣2＜0}，B={x﹣1＜x＜1}，则
A．A?BB．B?AC．A=BD．A∩B=
2．（5分）（2012?新课标）复数z=的共轭复数是
A．2+iB．2﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）（2012?新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．﹣1B．0C．D．1
4．（5分）（2012?新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A．B．C．D．
5．（5分）（2012?新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）
6．（5分）（2012?新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B．为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5分）（2012?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6B．9C．12D．18
8．（5分）（2012?新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．πB．4πC．4πD．6π
9．（5分）（2012?新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
A．B．C．D．
10．（5分）（2012?新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为
A．B．C．4D．8
11．（5分）（2012?新课标）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
12．（5分）（2012?新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为
A．3690B．3660C．1845D．1830
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012?新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．
14．（5分）（2012?新课标）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=．
15．（5分）（2012?新课标）已知向量夹角为45°，且，则=．
16．（5分）（2012?新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为则M+．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2012?新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（12分）（2012?新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920频数10201616151310
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12分）（2012?新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
20．（12分）（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线，直线n与行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．
21．（12分）（2012?新课标）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）（2012?新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．（2012?新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PA2+PB2+PC2+PD2的取值范围．
24．（2012?新课标）已知函数f（x）=x+a+x﹣2
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤x﹣4的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x﹣1＜x＜2}，
∵B={x﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B?A．
故选B．
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）
【考点】相关系数．
【专题】规律型．
【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5分）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得PF2=F2F1，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴PF2=F2F1
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5分）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题．
【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+即C（1+，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（x﹣1）
当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣
∴
故选A
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．
6．（5分）
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=×6×3×3=9．
故选B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8．（5分）
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为：=．
所以球的体积为：=4π．
故选B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5分）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
10．（5分）
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
将A点坐标代入双曲线方程得=4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5分）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
12．（5分）
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用
数列的结构特征，求出{an}的前60项和．
【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，
故选D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．
故答案为：y=4x﹣3．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（5分）
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴（q﹣1）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1
15．（5分）
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由已知可得，=，代入2====可求
【解答】解：∵，=1
∴=
∴2====
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质=是求解向量的模常用的方法
16．（5分）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）==，
令，则为奇函数，
∴的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）=
∴A﹣30°=30°
∴A=60°
（2）由
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12
∴b+c=4
解得：b=c=2
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12分）
【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N）（6分）
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
19．（12分）
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．（12分）
【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p
点A到准线l的距离，
∵△ABD的面积S△ABD=，
∴=，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设，则，
∵A，B，F三点在同一直线，
数学试题真题
注意事项：
1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.
卷一（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）
1.集合，则等于
A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}
2.不等式的解集是
A.(,4)B.(,6)C.D.
3.函数的定义域是
A.B.C.D.
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在等比数列中，则的值是
A.B.5C.D.9
6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量，则可以表示为
第6题图
A.B.C.D.
7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是
A.B.
C.D.
.8.关于函数，下列叙述错误的是
A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线
C.函数的单调递减区间是D.函数的图象经过点（2,0）
9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是
A.10B.20C.60D.100
10.如图所示，直线l的方程是
第10题图
A.B.
C.D.
11.对于命题p,q,若是假命题，是真命题，则
A.p,q都是真命题B.p,q都是假命题C.p,q一个是真命题一个是假命题
D.无法判断
.12.已知函数是奇函数，当时，则的值是
A.B.C.1D.3
.13.已知点在函数的图象上，点A的坐标是（4,3），则的值是
A.B.C.D.
14.关于x，y的方程，给出下列命题：
①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；
③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；
⑤当时，方程表示椭圆.
其中，真命题的个数是
A.2B.3C.4D.5
15.的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是
A.0B.C.D.32
.
16.不等式组表示的区域（阴影部分）是
ABCD
17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是
A.B.C.D.
.18.已知向量则的值等于
A.B.C.1D.0
19.已知表示平面，表示直线，下列命题中正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若则
20.已知是双曲线的左焦点，点P在双曲线上，直线与x轴垂直，且，则双曲线的离心率是
A.B.C.2D.3
卷二（非选择题，共60分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是.
22.在△ABC中则BC=.
.23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.
.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于.
.25.集合都是非空集合，现规定如下运算：
.且.
若集合，其中实数a，b，c，d，e，f，满足：①；②；③.则.
三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.
.
27.（本小题8分）已知函数，.函数的部分图象如图所示.求：
（1）函数的最小正周期T及的值；
（2）函数的单调递增区间.
15SD7第27题图
.28.(本小题8分)已知函数（且）在区间上的最大值是16.
(1)求实数a的值;
(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.
29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，.
(1)求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：.
15SD8第29题图
30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且,求直线l的方程.
15SD10第30题图
答案
1.【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】.
3.【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】且得该函数的定义域是.
4.【考查内容】充分、必要条件
【答案】C
【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.
5.【考查内容】等比数列的性质
【答案】D
【解析】，.
6.【考查内容】向量的线性运算
【答案】B
【解析】.
7.【考查内容】终边相同的角的集合
【答案】A
【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是
8.【考查内容】二次函数的图象和性质
【答案】C
【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.
9.【考查内容】组合数的应用
【答案】A
【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）
10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.
11.【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题
12.【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】
13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模
【答案】D
【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.
14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
15.【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为
16【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为
18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算
【答案】A
【解析】
19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A.若，则或n在内；B.若，则或异面；D.若且相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.
20.【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
【解析】的坐标为，设P点坐标为，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.
21.【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.【考查内容】正弦定理
【答案】
【解析】由正弦定理可知，,
23.【考查内容】系统抽样
【答案】42
【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是
24.【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】
【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，则短轴长为
26.【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.
答：第一排应安排18名演员
【考查内容】正弦型函数的图象和性质
【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.
(2)因为函数的单调递增区间是.
所以，解得，
所以函数的单调递增区间是
【考查内容】指数函数的单调性
【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
当时，函数在区间上是增函数，
所以当时，函数取得最大值16，即，所以.
（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.
【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质
【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，
又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.
(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,
所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.
【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系
【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，
所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，
所以抛物线方程是.
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，
则方程为，整理得，
设联立直线l与抛物线的方程得,
消去y，并整理得，
于是.
由①式变形得，代入②式并整理得，
于是，又因为，所以，即，
，解得或.
当时，直线l的方程是，不满足，舍去.
当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.
25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集
【答案】
【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，.
2020年全国1卷理科数学模拟试卷
2020年全国高考1卷理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则
A.B.C.D.
2.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为
A.B.C.D.
3.如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为
A.B.C.D.
4.已知命题，则￢为
A，
B，
C，
D，
5.在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为
A.B.C.D.
6.若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为
A.B.C.D.
7.已知，表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则或
D.若，则
8.若实数，满足，则的最大值是
A.B.C.D.
9.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则
A.B.C.D.
10.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是
A.B.C.D.
11.已知在中，角，所对的边分别为，＝，点在线段上，且＝．若＝＝，则＝
A.B.C.D.
12.设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知，则________．
已知焦点在轴上的双曲线，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
已知在中，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．
已知定义在上奇函数和偶函数满足，若，则的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设等差数列的前项和为，点在函数的图象上，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列，求数列的前项和．
如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足岁的网民共人，调查结果如下：
支持反对合计不足岁岁及以上合计
（1）请完成上面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关
（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名，若在上述名网民中随机选人，设这人中反对态度的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
附：，．
已知椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合．
（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；
（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，记的面积为，求证：．
已知函数，为自然对数的底数．
（1）若当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，若对恒成立，求的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
[选修4-5：不等式选讲]已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年全国高考1卷理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
交集根助运算
【解析】
此题暂无解析
此题暂无解答
2020届普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学密卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据，…，的方差，其中
柱体的体积，其中S是柱体的底面积，是柱体的高．
锥体的体积，其中S是椎体的底面积，h是椎体的高．
一．填空题：本题共14小题，请把答案填写在答题卡相应位置上
1．设集合，则________．
2．复数的虚部________．
3．以双曲线的顶点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为________．
4．正实数a，b，c满足：，a，b，c的大小关系是________．
5．函数的值域________．
6．设是定义在R上的偶函数且对恒成立，当时，则________．
7．等差数列的前n项和是，若，是方程的两根，则________．
8．在上随机地取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为________．
9．如图，在中的面积为，则角平分线AD的长等于________．
10．中，线段BN与CM交于点P．若，则________．
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为________．
12．三棱锥的底面是边长为3的正三角形则三棱锥的体积为________．
13．已知抛物线的焦点为F，直线过点F与抛物线交于A，B两点，若，则________．
14．已知函数，关于x的方程有5个不同的实数解，则的取值范围是________．
二．解答题：本大题共6小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．的内角A，B，C所对的边分别为向量与向量平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，求的面积．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，将正方形沿DE折成直二面角，连接AC，AB，得到四棱锥，F为的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABC；
（Ⅱ）求四面体FBEC的体积．
17．某公园有一块边长为6百米的正空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将分成面积之比为2∶1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）．设，（单位：百米）
（Ⅰ）分别求，关于的函数关系式；
（Ⅱ）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值．
18．如图，椭圆E：，经过E的左焦点F，斜率为的直线与E交于A，B两点．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）给定，延长，分别与椭圆E交于点C，D，设直线CD的斜率为．
证明：为定值，并求此定值．
19．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：函数恰有两个零点．
20．给定数列，…，对，2，…，该数列前项，…，的最小值记为，后项，…，的最大值记为，令．
（Ⅰ）设数列为2，1，6，3写出，的值；
（Ⅱ）设，…，是等比数列，公比，且，证明：，…，是等比数列；
（Ⅲ）设，…，是公差大于0的等差数列，且，证明：，…，是等差数列．
参考答案：
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五
数学Ⅰ答案
一．填空题
1234567133618
891011121314
二．解答题
15．解：（Ⅰ）设等差数列的公差d，等比数列的公比为．
由．
∴．
，．
∴，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，则
①
②
①－②得：
．
∴．
又∵∴．
16．解：（Ⅰ）
证明：取线段AC的中点M，连接MF，MB．
∵F为AD的中点，∴，且．
又∵，且．
∴，．四边形MFEB为平行四边形．
又∵平面ABC，平面ABC．
故平面ABC．
（Ⅱ）在平面ADE中，过点F作于点N．
∵平面平面BEDC．
∴平面BEDC．
在中，．∴．
又∵F为AD的中点．∴．
∴．
17．解：（Ⅰ）由题意知，即．
∴．
又∵，得．
在中，由余弦定理，得：．
∴，．
在和中，由余弦定理，得：
（1）
（2）
联立（1）（2），．
∴．
∴，
（Ⅱ）
当且仅当时，取等号．
故当时，两条直道长度之和的最小值百米．
18．解：（Ⅰ）设，AB直线方程：
AB直线方程与椭圆方程联立，得：
由韦达定理，
．
（Ⅱ）
设，AC直线方程：
AC直线方程与椭圆方程联立，
得：
由韦达定理，
∴，
将代入AC直线方程，得．
同理，得：；
∴；
∴．
19．解：（Ⅰ）由题意，．
，故．
∴所求切线方程为：
即：．
（Ⅱ），．
由题意，只需证明恰有两个零点即可．
．
当时，；当时，．
∴在单调递增，在单调递减．
∴的最大值为．
令，则
∴在单调递增．
当时，即，则．
∵．
由，且在单调递增，可得：
在存在唯一的零点，使得．
又∵在单调递减，．
故恰有两个零点
所以，当时，函数恰有两个零点．
20．解：（Ⅰ）由题意，得，．
（Ⅱ）因为，公比，所以，…，是递减数列．
因此，对，2，…，．
于是对，2，…，
．
因此且，
即，…，是等比数列
（Ⅲ）设为，…，的公差，则
对，因为，
∴，即
又∵，所以．
从而，…，是递减数列．因此．
又∵，所以．
因此．
∴．
因此对，2，…，都有，
即，…，是等差数列．
2018年全国高等院校统一招生考试江苏数学试卷
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学@科网
参考公式：
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，那么▲．
2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为▲．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．
5．函数的定义域为▲．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
▲．
7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是▲．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是▲．
9．函数满足，且在区间上，则的值为
▲．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为▲．
12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为▲．
13．在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为▲．
14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体中，．
求证：（1）；
（2）．
16．（本小题满分14分）
已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}2．23．904．8
5．[2，+∞）6．7．8．2
9．10．11．–312．3
13．914．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）因为，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得
，即，
得，即，则．
当时，满足方程组，即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得，令，则b0．
函数，
则．
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得
，即
此时，满足方程组，即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值．
①当时，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x0时，
所以单调递减，从而f（0）=1．
当时，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求BC的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵．
（1）求的逆矩阵；
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
23．(本小题满分10分)
设，对1，2，···，n的一个排列，如果当st时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求的值；
（2）求的表达式(用n表示)．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=，OC=2，
所以OP==4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为，所以A可逆，
从而．
（2）设P(x，y)，则，所以，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网
解：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
因为AB=AA1=2，
所以．
（1）因为P为A1B1的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
因此，n≥5时，．
