2017高考数学试卷全国一卷
2020年山东新数学模拟猜题专项汇编(13)数系的扩充与复数的引入
2020年山东新高考数学模拟猜题专项汇编
1、已知复数，其中是虚数单位，则
A．B．1C．5D．
2、设，则
A．0B．C．D．1
3、已知复数在复平面内对应的点分别为,则
A．B．C．D．
4、已知是的共轭复数，则
A．B．C．D．1
5、已知复数z满足，则的共轭复数是
A．B．C．D．
6、已知复数,则=
A.B.C.D.
7、已知复数,且为纯虚数,其中i是虚数单位,则
A.B.C.D.
8、设,则
A.B.1C.D.3
9、若复数z满足,则z的虚部为
A.B.-3C.D.3
10、已知i为虚数单位,则下列结论正确的是
A.复数的虚数部为
B.复数的共轭复数
C.复数在复平面对应的点位于第二象限
D.复数z满足,则
11、已知复数(i为虚数单位),为z的共轭复数,若复数,则下列结论正确的是
A.复平面内对应的点位于第二象限
B.
C.实数部分为
D.虚部为
答案以及解析
1答案及解析：
答案：D
解析：由，得，所以，即，
所以
2答案及解析：
答案：C
解析：因为，
所以。
故选：C。
3答案及解析：
答案：D
解析：∵复数在复平面内对应的点分别为，
∴.
∴.
故选：D.
4答案及解析：
答案：D
解析：，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
5答案及解析：
答案：B
解析：由，得，所以．
6答案及解析：
答案：B
解析：,故.
7答案及解析：
答案：A
解析：因为,所以
因为为纯虚数,所以,且,所以,故选A
8答案及解析：
答案：B
解析：因为,所以,故选B
9答案及解析：
答案：B
解析：由,得,则z的虚部为-3,故选B
10答案及解析：
答案：ABD
解析：对于A,,其虚数部为,A正确
对于B,,故,故B正确
对于C,在复平面内对应点的坐标为位于第四象限,故C错误
对于D,设,则,又,得,所以,故D正确
11答案及解析：
答案：ABC
解析：
复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限,,实部为,虚部为,故选ABC
2018年湖南省对口数学试卷
湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数学（对口）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A=，B=，则
A．B．C．D．
2．“”是“”的
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3.函数的单调增区间是
A．B．C．D．
4.已知，且是第三象限的角，则
A．B．C．D．
5．不等式的解集是
A．B．C．D．
6．点M在直线上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是
A．3B．4C．D．
7．已知向量，满足，则向量，的夹角为
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．下列命题中，错误的是
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
9．已知，则，的大小关系为
A．B．C．D．
10．过点（1,1）的直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为
A．2B．4C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．某校有900名学生，其中女生400名。按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为
12．函数（为常数）的部分图像如图所示，则=
13．的展开式中的系数为
14．已知向量，且，则
15．如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为
三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题。满分60分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分10分）
已知数列为等差数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若。求。
17．（本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测。用表示取出饮料中不合格的瓶数。求：
（1）随机变量的分布列；
（2）检测出有不合格饮料的概率。
18．（本小题满分10分）
已知函数的图象过点（5,1）。
（1）求的解析式，并写出的定义域；
（2）若，求的取值范围。
19．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，,,D为AC的中点。
（1）证明：BD⊥平面;
（2）求直线与平面所成的角。
20．（本小题满分10分）
已知椭圆C：的焦点为，点在椭圆C上。
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线过点且与垂直，与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长。
21．（本小题满分10分）
如图，在四边形ABCD中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD的面积。
22．（本小题满分10分）
某公司生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料。已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如果生产1吨甲产品可获利润4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元。问：该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大
甲乙原料限额A128B3212
攻克高考数学考压轴题的心得
说到高考数学压轴题，在很多高考生眼中，那是尖子生的天下。其实高考压轴题也并非一点分数也抢不到！只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生还是可以从中拿到一些分数的！
首先同学们要正确认识压轴题
压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！
其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。同学们记住：心理素质高者胜！
第二重要心态：千万不要分心
其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的时候想着考好去哪里玩。高考时，你是不可能这么想的。你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想“最后一道题目难不难？不知道能不能做出来”“我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目”“前面不知道做的怎样，会不会粗心错”……这就是影响你解题的“分心”，这些就使你不专心。
专心于现在做的题目，现在做的步骤。现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下！
第三重要心态：重视审题
你的心态就是珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出“新条件”，步骤(2)将题目结论推导到“新结论”，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到“新条件”。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的“新结论”。然后在“新条件”与“新结论”之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的“新条件”与“新结论”之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大！
最高境界就是任何一道题目，在你心中没有难易之分，心中只有根据题目条件推出新条件，一直推到最终的结论。解题心态也应当是宠辱不惊，不以题目易而喜，不以题目难而悲，平常心解题。
最后还有一点要提醒的是，虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。
2018数学中学考试试卷
绝密★启用前试卷类型：A
本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷1至4页，第卷5至6页，共120分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答.
2.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1.计算：的结果是
A．-3B．0C．-1D．3
2.下列运算正确的是
A．B．C．D．
3.如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图
A．B．C．D．
4.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为
A．B．C．D．
5.某中学九年级二班六级的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：个）
3538424440474545
则这组数据的中位数、平均数分别是
A．42、42B．43、42C．43、43D．44、43
6.夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为
A．B．
C．D．
7.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是
A．B．C．D．
8.不等式组有3个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
9.如图，与相切于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
10.一元二次方程根的情况是
A．无实数根B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3
11.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为
A．B．C．D．
12.如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为
A．3B．4C．6D．8
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（本大题共6小题，满分18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13.一个铁原子的质量是，将这个数据用科学记数法表示为．
14.如图，是的外接圆，则的直径为．
15.如图，在矩形中，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为．
16.观察“田”字中各数之间的关系：…，则的值为．
17.如图，在中点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为．
18.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为步．
三、解答题（本大题共7小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.先化简，再求值
，其中.
20.文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
21.为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取了一个班学生的成绩进行整理，分为，四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：
（1）请估计本校初三年级等级为的学生人数；
（2）学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率.
22.如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.
（1）若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；
（2）若，求反比例函数的表达式.
23.如图，中，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连接，.
（1）求证：；
（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.
24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
25.如图，在菱形中，与交于点，是上一点，,过点作的垂线，交的延长线于点.
（1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；
（2）找出图中与相似的三角形，并证明；
（3）的延长线交的延长线于点，交于点.求证：.
泰安市2018年初中学业水平考试
数学试题（A）参考答案
一、选择题
1-5:DDCAB6-10:CCBAD11、12：AC
二、填空题
13.14.15.16.270（或）
17.18.
三、解答题
19.解：原式
.
当时，
原式.
20.解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元.
由题意得：
，
解得：.
经检验，是原方程的解.
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元.
（2）设甲种图书进货本，总利润元，则
.
又∵，
解得，
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
∴当本时最大，
此时，乙种图书进货本数为（本）.
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
21.解：（1）由题意得，所抽取班级的人数为：（人），
该班等级为的人数为：（人），
该校初三年级等级为的学生人数约为：（人）.
答：估计该校初三等级为的学生人数约为125人.
（2）设两位满分男生为，三位满分女生为，.
从这5名同学中选3名同学的所有可能结果为：共10种情况.
其中，恰好有2名女生，1名男生的结果为：共6种情况.
所以恰有2名女生，1名男生的概率为.
22.解：（1）∵，为的中点，
∴，
∵反比例函数图象过点，
∴.
设图象经过、两点的一次函数表达式为：，
∴，
解得，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
设点坐标为，则点坐标为，
∵，两点在图象上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴.
23.（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：过点作于点，
∴，
∴，
∴.
由（1）得，
∴，
∴，
∴.
（3）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴.
由（1）得，
∴四边形是菱形.
24.解：（1）由题意可得
，
解得，
所以二次函数的解析式为.
（2）由，可求得所在直线解析式为.
过点作与轴平行，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，
设点坐标为，则点坐标为，
则，
又，
∴
.
∴当时，的面积取得最大值.
（3）点的坐标为，.
25.解：（1），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2），证明如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
又∵，
∴，
又，
∴.
（3）连接.
∵四边形是菱形，由对称性可知
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
2005年湖南省数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）设全集，0，11，则
A．B．，C．，D．，1，
2．（5分）的值为
A．B．C．D．
3．（5分）函数的定义域是
A．，B．，C．D．
4．（5分）如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为
A．B．C．D．
5．（5分）已知数列满足，则
A．1B．C．D．
6．（5分）设集合，若“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．（5分）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为、的值，则所得不同直线的条数是
A．20B．19C．18D．16
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，右准线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则两条渐近线的夹角为
A．B．C．D．
9．（5分）是所在平面上一点，若，则是的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
10．（5分）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线方程是．
12．（4分）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品．
13．（4分）在的展开式中，项的系数是．（用数字作答）
14．（4分）设函数的图象关于点对称，且存在反函数，（4），则（4）．
15．（4分）已知平面，和直线，给出条件：
①；
②；
③；
④；
⑤．
当满足条件时，有；
当满足条件时，有．（填所选条件的序号）
三、解答题（共6小题，16、17题每题12分，18~21题每题14分，满分80分）
16．（12分）已知数列为等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明．
17．（12分）已知在中，求角、、的大小．
18．（14分）如图1，已知是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
19．（14分）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
20．（14分）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．
21．（14分）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为．直线与轴、轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△的周长为6；写出椭圆的方程；
（Ⅲ）确定的值，使得△是等腰三角形．
2005年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）设全集，0，11，则
A．B．，C．，D．，1，
【解答】解：，
故选：．
2．（5分）的值为
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
3．（5分）函数的定义域是
A．，B．，C．D．
【解答】解：要使函数有意义，只需要，
即，解得，
则函数的定义域是，．
故选：．
4．（5分）如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：过作的平行线，交于，
则到平面的距离即为到平面的距离．
作于，易证平面，
可求得．
故选：．
5．（5分）已知数列满足，则
A．1B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
是周期为3的数列，
，
．
故选：．
6．（5分）设集合，若“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：设集合，
当时，
若“”则“”；
若“”则不一定有“”，比如．若“”则有“”反之不成立．
故选：．
7．（5分）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为、的值，则所得不同直线的条数是
A．20B．19C．18D．16
【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为、的值，取法数为，
而当时所得直线重合，
则所得不同直线为（条
故选：．
8．（5分）已知双曲线的右焦点为，右准线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则两条渐近线的夹角为
A．B．C．D．
【解答】解：2条渐近线方程是：，右准线与一条渐近线交于点，可设点，
的面积为为原点），
，此双曲线为等轴双曲线，
渐近线的斜率分别为1和，两条渐近线的夹角为，
故选：．
9．（5分）是所在平面上一点，若，则是的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解答】解：，
则由得：
，
同理，
，
即是垂心
故选：．
10．（5分）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51
【解答】解析：依题意，可设甲销售辆，则乙销售辆，
总利润
．
当时，取最大值
又必须是整数，故，此时（万元）．
故选：．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线方程是．
【解答】解：联立得：解得：，同理解得
因为点和点的中点的坐标为，利用根与系数的关系可得：，；
又因为直线的斜率为，根据两直线垂直斜率乘积等于可知垂直平分线的斜率为；
所以弦的垂直平分线方程为，化简得
故答案为．
12．（4分）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了5600件产品．
【解答】解：由分层抽样知，
样本的结构和总体的结构相同；因甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，
则甲、乙、丙三条生产线生产的产品组成一个等差数列，
设乙生产线生产了件产品，则甲、乙生产线共生产了件产品；
即，解得；
故答案为：5600．
13．（4分）在的展开式中，项的系数是35．（用数字作答）
【解答】解：的展开式中，项的系数是：
故答案为35
14．（4分）设函数的图象关于点对称，且存在反函数，（4），则（4）．
【解答】解：由函数的图象关于点对称，可得，对任何都成立在上式中，
取，得到（4），又（4）
（4）
故应填
15．（4分）已知平面，和直线，给出条件：
①；
②；
③；
④；
⑤．
当满足条件③⑤时，有；
当满足条件时，有．（填所选条件的序号）
【解答】解：若，则；
若，则．
故答案为：③⑤②⑤
三、解答题（共6小题，16、17题每题12分，18~21题每题14分，满分80分）
16．（12分）已知数列为等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明．
【解答】解：设等差数列的公差为．
由，得，即．
所以，即．
证明：因为，
所以，
即得证．
17．（12分）已知在中，求角、、的大小．
【解答】解：由
．
．
．
因为，所以，从而．
由，知从而．
由得．
即．亦即．
由此得，
，．
18．（14分）如图1，已知是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【解答】解：解法一证明：由题设知，．
是所折成的直二面角的平面角，即．
故可以为原点，
所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是，0，3，1，
，0，．
，1．
．
解：，
由，平面，是平面的一个法向量．
设，是平面的一个法向量，
由，取，得，0，．
设二面角的大小为，由、的方向知，
，
即二面角的大小是．
解法二证明：由题设知，
是所折成的直二面角的平面角，
即．则平面，是在面内的射影．
，
，则
由三垂线定理得．
解：由，知平面．
设，过点作于，连接（如图，
则是在平面内的射影，由三垂线定理得．
是二面角的平面角．
由题设知，
，
，又，
即二面角的大小是．
19．（14分）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（Ⅰ）用表示，；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．
【解答】解：因为函数，的图象都过点，所以，
即．因为，所以．，即，所以．
又因为，在点处有相同的切线，所以．
而，所以．
将代入上式得．因此．故，．
，．
当时，函数单调递减．
由，若，则；若，则．
由题意，函数在上单调递减，则，或，．
所以或．即或．
的取值范围为，．
20．（14分）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．
【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为．
由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．
从4个部门中任选2个作为1组，
另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，
每组选择不同的景区，共有3！种选法，
个景区都有部门选择可能出现的结果数为
记“3个景区都有部门选择”为事件，
事件的概率为
．
先从3个景区任意选定2个，共有种选法，
再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：
第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法．
第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法，
恰有2个景区有部门选择可能的结果为．
．
21．（14分）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为．直线与轴、轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△的周长为6；写出椭圆的方程；
（Ⅲ）确定的值，使得△是等腰三角形．
【解答】（Ⅰ）证明：因为、分别是直线与轴、轴的交点，
所以、的坐标分别是，．
由得这里．
所以点的坐标是．
由得，．
即，解得
（Ⅱ）当时，所以．
由△的周长为6，得．
所以，．
椭圆方程为．
（Ⅲ）因为，所以为钝角，要使△为等腰三角形，必有，
即．
设点到的距离为，由．
得．
所以，于是．
即当时，△为等腰三角形．
09年高考最牛的数学零分试卷 这样的学生太有才了
高考的日子已经离我们远去，但是当高考结束后新一轮的挑战又开始了。不管高考后什么样的结果，毕竟我们曾经努力过。下面让我看看这样一些有才的学生吧！！！
图1
图2
图3
图4
图5
2018年全国高等院校统一招生考试江苏数学试卷
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学@科网
参考公式：
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，那么▲．
2．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为▲．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．
5．函数的定义域为▲．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为
▲．
7．已知函数的图象关于直线对称，则的值是▲．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是▲．
9．函数满足，且在区间上，则的值为
▲．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．
11．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为▲．
12．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为▲．
13．在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为▲．
14．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体中，．
求证：（1）；
（2）．
16．（本小题满分14分）
已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8}2．23．904．8
5．[2，+∞）6．7．8．2
9．10．11．–312．3
13．914．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）因为，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得
，即，
得，即，则．
当时，满足方程组，即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得，令，则b0．
函数，
则．
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得
，即
此时，满足方程组，即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
（2）由条件知：．
若存在d，使得（n=2，3，···，）成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值．
①当时，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x0时，
所以单调递减，从而f（0）=1．
当时，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若，求BC的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵．
（1）求的逆矩阵；
（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
23．(本小题满分10分)
设，对1，2，···，n的一个排列，如果当st时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求的值；
（2）求的表达式(用n表示)．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=，OC=2，
所以OP==4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为，所以A可逆，
从而．
（2）设P(x，y)，则，所以，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为，
则直线l过A（4，0），倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=．
连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，
所以．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等式，得．
因为，所以，
当且仅当时，不等式取等号，此时，
所以的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网
解：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O?xyz．
因为AB=AA1=2，
所以．
（1）因为P为A1B1的中点，所以，
从而，
故．
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．
（2）因为Q为BC的中点，所以，
因此，．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取，
设直线CC1与平面AQC1所成角为，
则，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．
解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，
因此，n≥5时，．
2018年理科数学新课标全国1卷逐题解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设z=+2i，则z=
A．0B．C．1D．
解析：选Cz=+2i=-i+2i=i
2．已知集合A={xx2-x-20}，则?RA=
A．{x-1x2}B．{x-1≤x≤2}C．{xx-1}∪{xx2}D．{xx≤-1}∪{xx≥2}
解析：选BA={xx-1或x2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A．-12B．-10C．10D．12
解析：选∵3(3a1+3d)=(2a1+d)+(4a1+6d)a1=2∴d=-3a5=-10
5．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A．y=-2xB．y=-xC．y=2xD．y=x
解析：选D∵f(x)为奇函数∴a=1∴f(x)=x3+xf′(x)=3x2+1f′(0)=1故选D
6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A．-B．-C．+D．+
解析：选A结合图形，=-(+)=--=--(-)=-
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．2B．2C．3D．2
解析：选B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=
A．5B．6C．7D．8
解析：选DF(1,0)，MN方程为y=(x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则=(0,2),=(3,4)
∴·=8
9．已知函数f(x)=，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
解析：选Cg(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a1
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为II．在整个图形中随机取一点，此点取自，II的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2B．p1=p3
C．p2=p3D．p1=p2+p3
解析：选A∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴AC=，AB=2,BC=
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×2+×π×22=π
∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×2-×3×4=π-6；
∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积
∴p1=p2
11．已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则MN=
A．B．3C．2D．4
解析：选B依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±x,MN的斜率为，方程为y=(x-2),联立方程组解得M(,-),N(3,),∴MN=3
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
解析：选A如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大
此时正六边形的边长为，其面积为6××2=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y满足约束条件，则z=3z+2y的最大值为_____________．
解析：答案为6
14．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________．
解析：a1=-1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1，an=-2n-1，S6=2a6+1=-64+1=-63
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
解析：合条件的选法有C63-C43=16
16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．
解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的最小值。
∵f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，
令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=-1，可得此时x=，π或；
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，
计算可得f=，f（π）=0，f=-，f（0）=0，∴函数的最小值为-
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC.
解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=.由题设知，sin∠ADB=.
由题设知，∠ADB900，所以cos∠ADB=.
（2）由题设及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB=.
在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25所以BC=5.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得PH=,EH=.
则H(0,0,0),P(0,0,),D(-1,-,0),=(1,,),
=(0,0,)为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ==.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
19．（12分）
设椭圆C:+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为(1,)或(1,-).
所以AM的方程为y=-x+或y=x-.
（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=00.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1,x2，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=
将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0所以，x1+x2=,x1x2=.
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0
从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.
综上，∠OMA=∠OMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．学科网
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.
因此f′(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p)
令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
（2）由（1）知，p=0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=40+25Y，
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX400，故应该对余下的产品作检验.
21．（12分）
已知函数f(x)=-x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：a-2．
解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=--1+=-.
（i）若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.
（ii）若a2，令f′(x)=0得，x=或x=.
当x∈(0,)∪(,+∞)时，f′(x)0；
当x∈(,)时，f′(x)0.
所以f(x)在(0,)、(,+∞)单调递减，在(,)单调递增.
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x1x2，则x21.
由于=--1+a=-2+a=-2+a，
所以a-2等价于–x2+2lnx20.
设函数g(x)=-x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减，
又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)0.
所以–x2+2lnx20，即a-2.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解：（1）C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．
（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以=2，故k=-或k=0．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=-时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以=2，故k=0或k=-．
经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y=-x+2．
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)=x+1-ax-1.
（1）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.
解:（1）当a=1时，f(x)=x+1-x-1，即f(x)=故不等式f(x)1的解集为(,+∞)．
（2）当x∈(0,1)时x+1-ax-1x成立等价于当x∈(0,1)时ax-11成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时ax-1≥1；
若a0，ax-11的解集为(0,)，所以≥1，故(0,2]．
综上，a的取值范围为(0,2]．
2012年全国统一数学试卷(文科)(新课标)及解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2012?新课标）已知集合A={xx2﹣x﹣2＜0}，B={x﹣1＜x＜1}，则
A．A?BB．B?AC．A=BD．A∩B=
2．（5分）（2012?新课标）复数z=的共轭复数是
A．2+iB．2﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
3．（5分）（2012?新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．﹣1B．0C．D．1
4．（5分）（2012?新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A．B．C．D．
5．（5分）（2012?新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是
A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）
6．（5分）（2012?新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则
A．A+B为a1，a2，…，an的和
B．为a1，a2，…，an的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数
7．（5分）（2012?新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A．6B．9C．12D．18
8．（5分）（2012?新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．πB．4πC．4πD．6π
9．（5分）（2012?新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=
A．B．C．D．
10．（5分）（2012?新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为
A．B．C．4D．8
11．（5分）（2012?新课标）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
12．（5分）（2012?新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为
A．3690B．3660C．1845D．1830
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2012?新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．
14．（5分）（2012?新课标）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=．
15．（5分）（2012?新课标）已知向量夹角为45°，且，则=．
16．（5分）（2012?新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为则M+．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2012?新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
18．（12分）（2012?新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920频数10201616151310
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
19．（12分）（2012?新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
20．（12分）（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线，直线n与行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．
21．（12分）（2012?新课标）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．
22．（10分）（2012?新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
23．（2012?新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PA2+PB2+PC2+PD2的取值范围．
24．（2012?新课标）已知函数f（x）=x+a+x﹣2
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤x﹣4的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断
【解答】解：由题意可得，A={x﹣1＜x＜2}，
∵B={x﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=
∴B?A．
故选B．
【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．
2．（5分）
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．
【解答】解：复数z====﹣1+i．
所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．
故选D．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5分）
【考点】相关系数．
【专题】规律型．
【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，
故选D．
【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．
4．（5分）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得PF2=F2F1，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴PF2=F2F1
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
5．（5分）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题．
【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围
【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）
由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2
即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4
∴b=2，a=1+即C（1+，2）
则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（x﹣1）
当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣
∴
故选A
【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．
6．（5分）
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数
其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=×6×3×3=9．
故选B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．
8．（5分）
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．
【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，
所以球的半径为：=．
所以球的体积为：=4π．
故选B．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．
9．（5分）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．
【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
10．（5分）
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），
y2=16x的准线l：x=﹣4，
∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），
将A点坐标代入双曲线方程得=4，
∴a=2，2a=4．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
11．（5分）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2
要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜logax，
∴
即对0＜x≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
12．（5分）
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得
a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用
数列的结构特征，求出{an}的前60项和．
【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，
a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{an}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，
故选D．
【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，
当x=1时，y′=4，
∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．
故答案为：y=4x﹣3．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．
14．（5分）
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q
【解答】解：由题意可得，q≠1
∵S3+3S2=0
∴
∴q3+3q2﹣4=0
∴（q﹣1）（q+2）2=0
∵q≠1
∴q=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1
15．（5分）
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由已知可得，=，代入2====可求
【解答】解：∵，=1
∴=
∴2====
解得
故答案为：3
【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质=是求解向量的模常用的方法
16．（5分）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．
【解答】解：函数可化为f（x）==，
令，则为奇函数，
∴的最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即M+．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c
【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）=
∴A﹣30°=30°
∴A=60°
（2）由
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12
∴b+c=4
解得：b=c=2
【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
18．（12分）
【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N）（6分）
（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）
【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．
19．（12分）
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．（12分）
【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边BD=2p
点A到准线l的距离，
∵△ABD的面积S△ABD=，
∴=，
解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．
（2）由题设，则，
∵A，B，F三点在同一直线，
2020年全国1卷理科数学模拟试卷
2020年全国高考1卷理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则
A.B.C.D.
2.若复数，为的共轭复数，则复数的虚部为
A.B.C.D.
3.如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为
A.B.C.D.
4.已知命题，则￢为
A，
B，
C，
D，
5.在某校连续次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学次成绩的平均数为，乙同学次成绩的中位数为，则的值为
A.B.C.D.
6.若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实数，则输出数对的概率为
A.B.C.D.
7.已知，表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则或
D.若，则
8.若实数，满足，则的最大值是
A.B.C.D.
9.将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则
A.B.C.D.
10.已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是
A.B.C.D.
11.已知在中，角，所对的边分别为，＝，点在线段上，且＝．若＝＝，则＝
A.B.C.D.
12.设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知，则________．
已知焦点在轴上的双曲线，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
已知在中，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________．
已知定义在上奇函数和偶函数满足，若，则的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设等差数列的前项和为，点在函数的图象上，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列，求数列的前项和．
如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足岁的网民共人，调查结果如下：
支持反对合计不足岁岁及以上合计
（1）请完成上面的列联表，并判断在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关
（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取名，若在上述名网民中随机选人，设这人中反对态度的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
附：，．
已知椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合．
（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；
（2）设直线与抛物线和椭圆均相切，切点分别为，记的面积为，求证：．
已知函数，为自然对数的底数．
（1）若当时，恒成立，求的取值范围；
（2）设，若对恒成立，求的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
[选修4-5：不等式选讲]已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年全国高考1卷理科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
交集根助运算
【解析】
此题暂无解析
此题暂无解答
