勾股定理教学设计

人教2011版数学搭配(二)稍复杂的排列问题

　　人教版三数下册第八单元数学广角-——搭配（二）

　　第1课时稍复杂的排列教学设计

　　教学目标

　　1.知识与能力：

　　①通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列规律

　　②联系学生的生活实际，训练学生的有序思考能力和全面思考问题的习惯。

　　③学会用实物直接表示的方法将每种情况展示出来。

　　2.过程与方法：

　　利用学生感兴趣的话题和游戏将整个教学过程串联起来，使学生通过观察，猜测、合作交流等活动找出简单事件的排列数。

　　3.情感态度与价值观：

　　①在解决实际问题的过程中，体验成功的乐趣，激发学生学习数学的乐趣。

　　②初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。

　　③使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。

　　教学重难点：

　　教学重点：有序找出简单事件的排列规律，然后进行排列，体会书写规律。

　　教学难点：能够有顺序、全面的地思考问题并用数学语言及符号清楚地表达自己的观点。

　　教学准备：

　　多媒体课件数字卡片任务卡片任务箱汇报单

　　教学过程：

　　1、创设情境，复习旧知

　　师：同学们，在上课前请大家看两张图片，你们知道这是什么节目吗

　　生：《奔跑吧兄弟》

　　师：你们喜欢看《奔跑吧兄弟》这个节目吗

　　生：喜欢！

　　师：今天老师也带领大家玩一玩这个游戏，你们高兴吗？跑男团的七位成员被抓进了一座城堡，需要我们去解救，但是大家需要做三项任务才能拿到最终关押跑男团的房门钥匙，你们有信心完成任务获取钥匙解救跑男团吗

　　生：有！

　　师：好吧！我现在请一位同学领取第一张任务卡并大声的朗读出来。

　　课件出示任务卡：孩子们！你们完成这道题目就可以得到开启城堡大门的第一把钥匙：请找出1,2，3组成的没有重复数字的两位数。你能找出所有的可能情况吗？请大家把结果记录在汇报单上。

　　生：一共有6种，12、13、21、23、31、32。（教师板书在黑板边上）

　　师：你是怎么想的

　　学生说想法：先把1固定在十位，然后排上个位的数；再选择3固定在十位；再选择5固定在十位。

　　师：谁还有其他的想法，再来说一说。（点名学生回答）

　　师小结：真好，像这样按规律，有序排列，能不重复不遗漏地写出所有两位数。这就是我们二年级时所学的搭配。你们的智慧顺利的拿到第一把钥匙，现在我们进入第二项任务，也是与搭配有关。（板书课题：搭配（二））

　　二、小组合作，互动解疑

　　1、探究没有0的四个数中任取两个数的排列

　　师：我再请一位同学领取第二张任务卡。

　　课件出示任务卡：孩子们！恭喜你们闯过第一关的任务，你们解答对这道题目就可以拿到第二把钥匙啦！题目是：用1、3、5、9能组成多少个没有重复数字的两位数

　　课件出示操作要求：

　　（1）每人先要认真观察这些数字，再小组合作，小组长一定要带领大家展开充分讨论，确定方法后再摆，然后把研究结果记录在学习汇报单上。

　　(2)摆完后小组内交流，你摆了哪些数?你是怎么摆的

　　师：同学们都很聪明，写得这么快，现在老师想看一看同学们的劳成果。(展示学生的表格)看谁有一双闪亮的眼睛看黑板，有双灵敏的耳朵听同学怎么说。

　　请学生反馈（上台操作展示），学生在摆时引导学生一种一种的数出来。

　　操作完后引导学生进行评价：谁来评价一下他摆的怎么样

　　师：你们觉得这位同学摆的怎样？你觉得应该怎样摆才能让人很清楚的数出有多少种搭配方法

　　师：比较一下这两种摆法，哪种更好呢？好在哪

　　最后引出：我们在搭配中要按顺序，搭配时做到不重复也不遗漏，这样才能准确的找到全部的搭配结果。（这边要让学生自己总结出来）

　　师：刚才第二位同学用数字卡片进行有序地搭配，让人很清楚的数出有12种搭配方法。咱们应该怎样进行有序搭配呢

　　生：先固定十位上的数字，十位是1的有3个，十位是3的有3个，十位是5的有3个，十位是9的有3个。一共有12个。

　　师：还有其他方法

　　生：还可以固定个位上数字。

　　师：可以怎样计算呢

　　生1：3+3+3+3=12(个)

　　生2：3×4=12(个)

　　板书：3+3+3+3=12(个)3×4=12(个)

　　师小结：只有做到了有序搭配，不重复和不遗漏，才能又快又准确的找出所有结果。当十位上是某一数字时，其个位上就不能再用这个数字了。恭喜大家的齐心合力又完成了第二项任务，拿到了开启第二道大门的钥匙。哇偶！我们可以去完成第三项任务了，大家期待吗

　　2、探究有0的四个数中任取两个数的排列。

　　师：请同学们领取第三张任务卡：孩子们！完成这道题目，大家拿到第三把钥匙，就能解救出跑男团的七位成员啦！用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数

　　课件出示：请同学们用同样的方法先摆一摆，再交流。请有序思考，做到不重复、不遗漏。

　　师：同学们真棒，一小会儿就写好了，现在老师要验收同学们的劳动成果。

　　师：有多少个不重复的两位数呢

　　生：十位是3的有3个，十位是4的有3个，十位是8的有3个。一共有9个。

　　师：可以怎样计算呢

　　生1：3+3+3=9(个)

　　生2：3×3=9(个)

　　板书：3+3+3=9(个)3×3=9(个)

　　最后一把钥匙得到了，第三个箱子打开了，老师真为跑男团的七位成员感到开心，老师更为同学们感到开心，因为我们三（1）班这个大家庭凭借自己的智慧和团结互助的精神闯过一道又一道难关。那现在老师遇到了一个问题，大家能帮助老师解决吗

　　三、师生互动，启思导疑：

　　师：1、3、5、9能组成12个不重复的两位数，为什么0、1、3、5却只能组成9个不重复的两位数。都是用4个数字组成没有重复数字的两位数，为什么结果不同呢?请同学们想一想，以小组为单位议一议。

　　师：现在老师想分享大家的想法，谁来说说你的想法呢

　　生1：因为十位上不能为0.

　　小结：组成的两位数十位不能为0.

　　师：同学们刚才所学的按顺序，不重复，不遗漏的写数方法叫作排列。当构成的数字有0时，注意0不能放在一个两位数的十位上；

　　4、知识运用，巩固提高：

　　师：在刚才营救跑男团的活动中，大家表现出了超高的智慧，那么现在我们再进行最后一轮的智慧大比拼，大家愿意参加吗

　　1、拉动纸条，看看可以组成哪些两位数，记录下来。(2、4、9;3、6、8)

　　2、把“看，书，好”三个字排一排,共有哪几种排法

　　3、用0、2、4、6能组成多少个没有重复数字的两位数

　　4、唐僧师徒四人坐在椅子上，如果唐僧的位置不变，其他人可以任意换位置，一共有多少种坐法

　　5、用2、5、7、9组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数

　　五、总结延伸，畅谈感受

　　同学们，下课时间快到了，大家今天的表现非常出色，老师为你们点赞。我们在这次营救之旅中学习了数学知识：搭配中的排列问题。那么在本次营救之旅中，你们遇到了哪些问题？你有什么收获呢？（生：真好玩，很有趣，学的很轻松。）

　　同学们，这节课大家一起发现了排列问题的一些规律。生活中有很多数学问题，只要小朋友细心观察，就能发现更多有趣的数学问题，掌握了这些数学知识，我们就可以把生活装点的更加美丽哦！

　　六、板书设计

　　搭配（二）——简单的排列

　　按一定顺序，不重复，不遗漏的写数方法叫作排列

　　方法：1、首位固定法2、个位固定法

阿Q正传

　　教案示例1

　　一、整体感知

　　1设想：在课外预习的基础上，安排1课时进行书面概括练习，要求学生用三五百字概述全文的主要内容。

　　2步骤：①布置学生预习，要求通读全文，标记精彩语句，思考“旁批”提出的问题。

　　②课堂上安排30分钟由学生用三五百字概述全文的主要内容，提示学生不要写成“故事梗概”一类。

　　③抽查“概述”文字，适当评点，举一反三，让全体学生基本了解这部中篇小说的主要内容。

　　附内容概述参考文字：《阿Q正传》共分九章。前三章属于小说的交代部分。其中第一章“序”交代了给阿Q作传的缘起，概略介绍了阿Q身世、处境；二、三两章着重描写了阿Q的精神胜利法，妄自尊大，自欺欺人，畏强凌弱，奴相十足。中间三章是小说情节的发展，重点描述了阿Q的精神痛苦与不幸。第七第八章描写了辛亥革命波及未庄以后，阿Q自发地“神往”革命的愿望和行动，以及假洋鬼子不准他革命以后，他对辛亥革命的极度失望。最后一章描写了反动派窃取革命果实，阿Q被杀害的悲惨结局。

　　④课外作业可布置学生根据“评点”修改自己的“概述”。

　　二、研习课文

　　1设想：安排4课时研读课文，其中1课时学习前三章，1课时学习中间三章，另外两课时分别学习最后三章。学习时，导读引路，“旁批”切入，捕捉要点，抓住关键，着力培养研读文学作品的能力。

　　2步骤：①第一课时：学习第一章，拟引导学生归纳阿Q的“四无”(即无名目、无姓、无名、无籍贯)，了解阿Q的政治地位低下，生活环境恶劣；探讨行文中三处讽刺手法的运用(即讽刺主张“名不正则言不顺”的“正名论”，讽刺抱住“国粹”不放的遗老遗少们，讽刺胡适的考据癖)，体味鲁迅小说的独特笔法；回答两个“旁批”提问，初步了解赵太爷和阿Q的性格特征。

　　学习第二章，拟引导学生剖析有关阿Q的4个生活片断——自吹“我的儿子会阔得多啦”，讥笑未庄人“不见世面”，癞疮疤的故事，押牌宝的故事——把握阿Q性格特征的一个方面：妄自尊大，自欺欺人。

　　学习第三章，可要求学生仿照第二章的学习方法，概括该章所记生活片断的主要内容(即阿Q败于王胡，挨“哭丧棒”，调戏小尼姑)，归纳阿Q精神胜利法构成的另一层面：畏强凌弱，奴性十足。

　　②第二课时：学习第四章，可引导学生边朗读课文，边思考“旁批”的设问，尔后归纳章节大意(即写阿Q拙劣的求爱经过和遭受的可悲结果，进一步表现阿Q的地位和处境)。#p#分页标题#e#学习第五章，可要求学生复述“龙虎斗”和“偷萝卜”两个情节，体会用词的准确性，进而认识麻木的国民“吃人”的本相。学习第六章，主要应让学生通过阅读，了解前半部分着重揭示国民趋炎附势的本性，后半部分重点突出世态的炎凉，人们的愚昧无知。总而言之，中间三章的文意不难理解，由学生读一读、议一议即可。

　　③第三课时：学习第七、八两章。首先可布置学生浏览课文，概括情节，然后由师生共同讨论回答“旁批”的提问。七、八两章的情节大致是这样的：

　　未庄风传革命/阿Q宣布革命/梦中幻想革命/地主投机革命

　　(以上为第七章的主要情节)

　　未庄没有革命/洋先生不准革命/革命幻想破灭

　　(以上为第八章的主要情节)

　　④第四课时：学习第九章。这一章写阿Q被当作替死鬼被捕、被审和被处决，思想开掘深刻，讽刺入木三分，是作者精心打造的“大团圆”，也是编辑们着意设计“旁批”的一章。因而研读时应调动多种朗读方式去朗诵，去品读，并认真回答“旁批”所提出的每一个问题。与此同时，可引导学生联系学过的《孔乙己》《药》《祝福》等作品中的看客形象，就练习三的答案作点提示：作品最后以讽刺看客作结，解剖中国人的灵魂，揭示国民的劣根性，以唤醒那沉睡的民从，实现民族振兴的目标。

　　三、拓展探究

　　1设想：安排一课时，用于鉴赏要点(即分析人物形象、归纳艺术特色)，处理练习，为“单元说明”中提出的“理解”“体会”“把握”等要求画上一个圆满句号。

　　2步骤：结合练习一，探讨《阿Q正传》的创作意图，进而理解小说的主题。如有必要，可简要介绍一下写作背景，让学生阅读文后所附王富仁的《鲁迅的生平和创作》。

　　结合练习二和练习五，概括阿Q的性格特征，认识阿Q的“精神胜利法”，启发学生就“人要不要一点阿Q精神”展开讨论。同时，引导学生简析赵太爷父子和假洋鬼子的形象。

　　结合练习四，理解小说的艺术特色。关于“喜剧的外套，悲剧的内核”，主要由教师讲授；关于“白描的手法”，尽可能让学生找出例证；关于“杂文式的笔法”，略举一两个例子即可。

　　练习六安排在课外完成。

　　《阿Q正传》思想内涵博大精深，艺术手法精湛绝伦，是中国现代小说史上的昆仑，在世界文学中也是一流的精品。这样千古不朽的名著，理应全面、深入研读之，以达到“窥一斑而见全豹”的目的。为此，教学该文时可安排6课时，重点理解小说深刻的思想内涵，体会作者深层的严肃与悲哀，把握作品语言的独特风格。]#p#分页标题#e#

排列组合

　　教学目标：理解排列的意义，掌握排列数公式，并能用它解决一些简单的应用问题；理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

　　教学重难点：掌握排列、组合数公式，及一些简单的应用。

　　教学方法：讲练

　　教学过程

　　一、知识

　　1．排列的概念：

　　从个不同元素中，任取个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

　　说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

　　（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

　　2．排列数的定义：

　　从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

　　注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

　　3．排列数公式及其推导：

　　全排列数：（叫做n的阶乘）

　　1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

　　说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

　　2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示

　　3．组合数公式的推导：

　　（1）一般地，求从n个不同元素中取出元素的排列数，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出元素的组合数；②求每一个组合中元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

　　（2）组合数的公式：

　　或

　　4．组合数的性质1：

　　一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出元素的每一个组合，与剩下的n元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出元素的组合数，等于从这n个元素中取出n元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

　　证明：∵

　　又，∴

　　说明：①规定：；

　　②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

　　③或．

　　组合数的性质2：＝+．

　　一般地，从这n+1个不同元素中取出元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

　　证明：

　　∴＝+．

　　二、题型应用

　　例1（局部定序型）

　　7人站成一排，其中三人顺序已定，二人顺序已定，则不同的排法有多少种

　　解析：部分元素顺序固定(静止)，位置不清楚，不好直接动笔，还是先当作都是动的进行排列，再除以定序的排列。6人站成一排，有种排法，在这些排法中三人有种顺序，我们只要其中的一种，二人有种顺序，我们也只要其中的一种，故有种不同的排法。注意这里只定序，并没有说明是否相邻。

　　【评注】局部定序问题，先将所有元素作全排列，再除以定序元素的全排列。只有一组定序时，也可先排其它元素，留下空位给定序元素。

　　例2（(局部)平均分组型）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为

　　A．70B．140C．280D．840

　　解析：三组人数相同，但甲、乙需分在同一组，故甲、乙所在的一组与其余两组元素间机会并不均等，但其余两组间元素机会均等。所以不同分组方法为种。

　　【评注】主要包括整体平均分组问题和局部平均分组问题二类情况。平均分组需要元素间机会均等，且无顺序要求，平均分成组，分母需除以。

　　例3（相同元素隔板型）有编号为1，2，3的3个盒子和10个相同的小球，现把这10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有种。

　　解析：先给1，2，3号盒子分别装入0，1，2个球，问题转化为将7个球装入3个盒子，每盒至少1球，所以有=15种。

　　【评注】处理相同元素问题，将个相同的小球放到个不同盒子中，每个盒子中至少放一球，则只需在排成一排的个小球的个空中放置块隔板把它隔成份即可，共有种不同方法，实际应用中要注意将命题等价转化。

　　例4（多排排列问题）8人分坐两排，要求面对面坐下，但其中甲、乙两人不可相邻也不可面对面，有________种坐法。

　　解：8人分坐两排可看成没有区别的一排，从特殊元素入手，先甲再乙后其他。若甲在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的5个位置上，有种，若甲不排在两端，则乙只能排在除与甲相邻和对面的4个位置上，有种。由分类计数原理，符合条件的坐法有+=25920种。

　　评注：多排排列问题，可把首尾连成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。

　　例5（至少问题）某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，求：（1）此小组中的男、女生数目各为多少？（2）求至少有两名男生入选的概率

　　错解：(1)设共有名男生，则女生人数为名，由题意得，解得，即小组中的男生、女生人数分别为4人和2人；

　　(2)基本事件总数为．第一步保证两名男生，有种，第二步确定余下的一名是男生，还是女生，有2+2种，共有4种．因此所求概率为．

　　剖析：第二问中1.21，显然错误．原因是重复，如关于男生，可选男1和男2，余下的两名男生可选男3；也可选男1和男3，余下的两名男生可选男2．二者结果相同，因此导致重复．

　　对于“至少”问题，一般有两种处理方法：一是正面分类，进行穷举，分为三名男生和两男一女．．二是“正难则反”，利用排除法进行处理．反面为一名男生或没有(不可能)．．另外关于分配问题，较好的方法是先分堆(类)，再分给人，这样计算既没有重复，也不会遗漏．

　　例6（逆向思维型）

　　(1)为建设节约性社会，三峡坝区某市某条街上有20盏路灯，在不影响照明的情况下，要求熄灭3盏，熄灭的灯不能相邻，则共有多少种不同的熄灯方案。

　　(2)有8个座位连成一排，安排5人就坐，恰有两个空位相连的不同坐法有___种。

　　(3)某学校军训时进行射击演练，张三射击10次，射中5次，恰有两枪连中(无三枪及以上连中情况)，则不同射击情况共有______种。

　　分析：排列组合问题中，有很多表面上都是静止，如路灯问题，受其影响，从正面直接思考，很难凑效，如果变静为动，就可迎刃而解。熄灭路灯问题按先排好亮灯，再插入熄灭灯方法进行处理。空位相连问题按照先排人，再插入相连空位，最后插入不相连空位三步进行处理。射击射中相连问题按照先排未中枪，再插入相连中枪，最后插入不相连中枪三步进行处理。另外还有一些问题可以采用穷举的方法进行。

　　解：(1)路灯是静止不动的，按静止来想，思维明灭受阻。假设路灯没有安装好，处于设计阶段，先排17盏亮灯，再将3盏熄灭的灯插入到18个空中，则有种不同的熄灯方案。

　　(2)8人座位已固定好，很不方便，假设座位是可移动的，不妨将3个空座先搬出来，第一步安排5人就座种，第二步将相连两空位捆绑在一起(内部不需再排序)插入6空中，有种，第三步将另一空位插入余下5个空中，有种，故共有种坐法。

　　(3)射击时每枪本有固定顺序，依此方向思考，数字较大时，情况比较复杂，很难想清楚。按动态处理，先把中枪拿出来后再排，第一步将未射中的5枪排成一排有1种，第二步将连中2枪(捆绑在一起)插入6空中，有种，第三步将其余射中的3枪插入余下的5空中，有种(想一想为什么不是)，故共有种。

折线统计图的认识

　　1、引导学生积极参与探索、思考的过程。

　　2、能够依据数据变化的特点进行合理的估测。

　　教学重点：能够从折线统计图中发现数学问题。

　　教学难点：根据统计图提问

　　教学用具准备：

　　教学平台

　　教学过程设计：

　　一、情景引入

　　1、昨天我们认识了折线统计图，今天我们继续来学习有关统计的知识。小胖是气象爱好者，他对上海某日的气温变化作了统计。

　　2、课件出示：P.44/上海某日气温变化情况统计图。

　　二、探究新知

　　1、仔细观察这张折线统计图，是怎样制作的？你有什么疑问

　　问题1：折线统计图的横轴表示什么

　　问题2：这是每隔几小时测一次气温而得到的折线图

　　问题3：纵轴表示什么

　　问题4：纵轴上的1小格代表几℃

　　2、从图中你能了解到哪些信息

　　问题1：气温最高的时刻是几时？这时气温是多少℃

　　补充：气温最低的时刻是几时？这时气温是多少℃

　　问题2：气温是从几时开始升高的？又是从几时开始下降的

　　问题3：气温上升幅度最大的是几时到几时之间

　　问题4：气温下降幅度最大的是几时到几时之间

　　问题5：几时到几时气温没有变化

　　问题6：这天有几个小时气温超过9℃

　　4、除了以上这些，你还能提什么问题吗

　　问题7：你能估测出这一天大约属于哪个季节？早春、晚秋

　　5、折线统计图能够告诉我们很多信息，我们要学会看图学会分析。

　　三、巩固练习

　　1、出示：

　　模仿刚才的分析，试着分析这份统计图(先小组讨论)：

　　(1)统计内容：xx小学一至六年级及喜欢看科普读物人数统计。

　　(2)统计图类型：折线统计图

　　(3)喜欢看科普读物的人数上升幅度最大的是哪个年级到哪个年级之间

　　2、你还能提出哪些数学问题

　　(1)四年级喜欢看科普读物学生的人数是多少

　　(2)一至六年级喜欢看科普读物一共有多少人

　　(3)小淘气所在年级喜欢看科普读物的人数排在第3位，小淘气是哪个年级的

　　四、课堂小结

　　学习了两天的折线统计图，你有什么感受

　　五、作业布置

　　选择一个昨天收集到的折线统计图，提出一些问题，并解答。

　　课后反思：

数学知识点总结

　　第一章勾股定理

　　定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　　判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。

　　第二章实数

　　定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理数(有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示)

　　一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，我们规定0的算术平方根是0。

　　一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

　　一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。

　　每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

　　在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

历史上由勾股定理产生的推论和猜想

　　数学中有一句口诀大家都耳熟能详，“勾3股4弦5”。它的意思是：直角三角形的两条直角边长度分别是3和4时，它的斜边长度为5。现代研究认为，最早发现这一规律的是古巴比伦人。在中国，据传是商代的商高最早发现了这一规律，《周髀算经》里有记载，记曰：“数之法，出于圆方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，所以叫勾股定理。古希腊数学家毕达哥拉斯也发现并用演绎法证明了勾3股4弦5规律。由于欧洲文化在近现代的广泛传播，世界上将这一规律称为毕达哥拉斯定理。据说发现和证明这个定理之后，毕达哥拉斯宰了一百头牛来庆祝，所以又叫做百牛定理。

　　勾股定理的概念是：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

　　在高中数学必修五教材第一章中，有余弦定理，内容是：。从书上的原话，余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的一种特殊情况。这样，在欧几里德平面的任意三角形中的情况都被考虑到了。

　　还有一种特殊的三角形，叫曲边三角形。曲边三角形中的边，实际上已经变成了曲线。它的“角度”也不是平时我们所熟知的角度了。对于曲边三角形的性质，我还不是很能理解。所以我产生的猜想仅限于直线构成的三角形。

　　如果将勾股定理推广到立体中，会怎么样呢

　　a4+b4=c4，中，可以看作（a2）2+(b2)2=(c2)2,所以a、b、c应当有数据满足三个数都是自然数。

　　接下来我又发现，a5+b5=c5，在a与b也是10以内没有一组数据满足三个数都是自然数。

　　于是我产生了一个猜想：不会有任何三个自然数a、b、c满足an+bn=cn（n为奇数）。

　　这个猜想其实是初三时候偶然想起的。但是后来看到了“费尔马大定理”，才明白我的猜想是有错误的。“费尔马大定理”是指：an+bn=cn是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数）。所以“费尔马大定理”中提出，在a4+b4=c4中也没有满足的自然数,并且凡是2以后的n值都不会有。但是对于这个的理解，是我设计了一个计算程序之后才肯定的。

　　这个程序能够判断对于a4+b4=c4中，a、b在1000以内时我的猜想是否正确。如果有三个自然数满足，程序将会自动退出；如果没有，最后将显示“终止，未发现有符合数据”字样。实事证明费尔马对了而我错了。但1000只是无穷多个自然数中无限小的一个范围，用我这种方法，是永远证明不了费尔马大定理的，而只能证明在某一个范围内费尔马大定理是对的。

　　对于数学家们究竟使用什么方法证明“费尔马大定理”的，限于我知识有限，无法理解明白。1637年，法国业余大数学家费尔马提出这一定理，经过了欧拉等天才数学家的努力仍然无法全部给予证明，而只能证明n<100时的定理是正确的。最后给予完整证明的是英国著名数学家andre（安德鲁•威尔斯）。他的证明占满了美国《数学年刊》第142卷，竟然长达130页，这也是要有对数学的极度痴迷和耐心才能够做出来的伟大的成绩。

勾股定理的无字证明

　　在学习勾股定理时，我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，即 由此推出勾股定理 ，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。

　　(1)请你用图(2)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。

　　(2)请你用(3)提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 ：

　　(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

　　(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：

　　(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

　　2这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

　　有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

　　利用相似三角形的证法

　　利用相似三角形证明

　　有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

　　设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

　　因为BC=a,AC=b,AB=c

　　所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

　　可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

　　综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

　　换句话说:a*a+b*b=c*c

　　[*]----为乘号

　　欧几里得的证法

　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

　　其证明如下：

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

　　其余见： 勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站： 梁卷明

　　2009年3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，2009年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明：

　　勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.

　　证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合!

　　故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：AC+BC=AB.

勾股定理无字证明

　　勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

　　在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

　　首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊

　　2

　　刘徽在证明勾股定理时，也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同.刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图。大意是：三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在弦方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补虚，只要把图中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c的平方 ).由此便可证得a的平方+b的平方=c的平方。 这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。

　　3

　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loo)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

　　有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

　　利用相似三角形的证法

　　利用相似三角形证明

　　有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

　　设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义)，而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：

　　因为BC=a,AC=b,AB=c

　　所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

　　可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

　　综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

　　换句话说:a*a+b*b=c*c

　　[*]----为乘号

西方的勾股定理之父毕达哥拉斯

　　毕达哥拉斯生于萨摩斯(今希腊东部小岛)，卒于他林敦(今意大利南部塔兰托)。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例，

　　曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。

　　毕达哥拉斯定理(即勾股定理)是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。

勾股定理

　　以愤怒为斜边

　　寂寞为股

　　失望为股

　　寂寞与失望互为交织

　　等边的公平

　　直角的心理

　　股弦勾

　　两股的孤独面积

　　合蹦

　　延伸出自己走的斜边

　　蜿蜒的路

　　掌中平原

　　斜高等于两股乘积除以斜边

　　从三角上割下一直

　　一道垂直的脓

　　这是古代历法

　　不变