数列知识点归纳总结
数学知识点归纳总结
第一章证明(二)
※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的
直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）
※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义）
直线与射线有垂线，但无垂直平分线
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
(如图2所示，OD=OE=OF)
第二章一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为
常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法即将其变为的形式
②公式法（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）
③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成1；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成的形式；
⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：
①②③
④⑤
⑥⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
第三章证明（三）
※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
平行四边形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分）
一内角为直角
一邻边相等
或对角线垂直
一个内角为直角
（或对角线相等）
鹏翔教图3
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
第四章视图与投影
※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象
左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点；
②线段在一个面上的投影可分为三种情况：
线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；
线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：
平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；
平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；
平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第五章反比例函数
※反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。
（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→←→←→←→变量y与x成反比例，比例系数为k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值即。（通常第二种方法更适用）
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
※反比例函数性质：
①当k0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当k0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。
※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)
P
B
A
O
P
B
A
O
图4
点P(x,y)在双曲线上都有
第六章频率与概率
※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率；即：
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；
※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）
※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
北师大版初三下册数学知识点总结
第七章直角三角形边的关系
※一.正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
※二.正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
※三.余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
※余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
0o30o45o60o90osinα01cosα10tanα01—cotα—10
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则
①；
②；
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
(4)面积公式:(hc为C边上的高);
(5)直角三角形的内切圆半径
(6)直角三角形的外接圆半径
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
图2
h
i=h:l
l
A
B
C
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章二次函数
※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：
A、当a＞0时B、当a＜0时
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．
※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
※二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）
※a的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；a的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。
※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，a决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：
的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：
①将配方成的形式；（其中h=，k=）；
②把抛物线向右（h0）或向左（h0）平移h个单位，得到y=a(x-h)2的图象；
③再把抛物线向上（k0）或向下（k0）平移k个单位，便得到的图象。
※二次函数的性质：
二次函数配方成则抛物线的
①对称轴：x=②顶点坐标：（，）
③增减性：若a0，则当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。
若a0，则当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。
④最值：若a0，则当x=时，；若a0，则当x=时，
※画二次函数的图象：
我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
①先找出顶点（，），画出对称轴x=；
②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
0===抛物线与x轴有2个交点；
=0===抛物线与x轴有1个交点；
0===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；
※当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：
化简后即为：------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
第三章圆
一.车轮为什么做成圆形
※1.圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2.点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上===d=r;
②点在圆内===dr;
③点在圆外===dr.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二.圆的对称性:
※1.与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三.圆周角和圆心角的关系:
※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的
※3.圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※4.圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
※四.确定圆的条件:
※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
数学数知识点归纳总结
数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
等比数列知识点总结
1、等比数列的定义：
2、通项公式：
a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首项：a 1；公比：q
a n q =n a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1推广：a n =a n - n -
3、等比中项：
（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1
（2）当q ≠1时，S n =
=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
（3）通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法： a 依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1
7、等比数列的性质：
（2）对任何, n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a n -。
（3）若+n =s +t (, n , s , t ∈N *) ，则a n a s a t 。特别的，当+n =2k 时，得a n a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
a k （4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{}，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 为非零b n a n
常数）均为等比数列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a , a +k , a +2k , a +3k , ) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列
（7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比数列
（8）若{a n }为等比数列，则数列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
a 1>0，则{a n }为递增数列{（9）①当q >1时，a 1<0，则{a n }为递减数列
a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0 ③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q<0时, 该数列为摆动数列. （10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N *) 时，S 奇1= S 偶q 二、 考点分析 考点一：等比数列定义的应用 141、数列{a n }满足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，则a 4=_________． 33 2、在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，则该数列的通项a n =______________． 考点二：等比中项的应用 1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ） A ．-4 B．-6 C．-8 D．-10 2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C．2 D ．不确定 203、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的通项公式． 3 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 2911、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383 A ．3 B．4 C．5 D．6 2、已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_________________． 3、若{a n }为等比数列，且2a 4=a 6-a 5，则公比q =________． 4、设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则 A ．2a 1+a 2的值为（ ） 2a 3+a 4111 B ． C． D．1 428 等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd. ⑶若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan +bn}(k、b为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何 ，在等差数列中有：an = a+ (n-(∈N+)，特别地，当 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地，当+q(，p，q∈N+)时，a+aq . ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差). (7)下表成等差数列且公差为项ak.ak++2(k,+)组成公差为的等差数列。 ⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数. 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面; (1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。 试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， 进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。 求数列通项公式常用以下几种方法： 一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n1），求该数列的通项公式an。 解：由an+1=an+2（n1）及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n—1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 二、已知数列的前n项和，用公式 S1 （n=1） Sn—Sn—1 （n2） 例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n，第k项满足5 （A） 9 （B） 8 （C） 7 （D） 6 解：∵an=Sn—Sn—1=2n—10，∴5<2k—10<8 ∴k=8 选 （B） 此类题在解时要注意考虑n=1的情况。 三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的（二）方法求通项公式。 例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn—1（n2），且a1=—，求数列{an}的通项公式。 解：∵an=SnSn—1（n2），而an=Sn—Sn—1，SnSn—1=Sn—Sn—1，两边同除以SnSn—1，得———=—1（n2），而—=—=—，∴{—} 是以—为首项，—1为公差的等差数列，∴—= —，Sn= —， 再用（二）的方法：当n2时，an=Sn—Sn—1=—，当n=1时不适合此式，所以， — （n=1） — （n2） 四、用累加、累积的方法求通项公式 对于题中给出an与an+1、an—1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。 例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式 解：∵（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1—nan]（an+1+an）=0 又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴—=—，由此得出：—=—，—=—，—=—，…，—=—，这n—1个式子，将其相乘得：∴ —=—， 又∵a1=1，∴an=—（n2），∵n=1也成立，∴an=—（n∈N*） 五、用构造数列方法求通项公式 题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an（或Sn）的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an（或Sn）与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。 例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=（——1）（an+2），n=1，2，3，…… （1）求{an}通项公式 （2）略 解：由an+1=（——1）（an+2）得到an+1——＝ （——1）（an——） ∴{an——}是首项为a1——，公比为——1的等比数列。 由a1＝2得an——=（——1）n—1（2——） ，于是an=（——1）n—1（2——）+— 又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an—3n+1（n∈N*），证明数列{an—n}是等比数列。 证明：本题即证an+1—（n+1）=q（an—n） （q为非0常数） 由an+1=4an—3n+1，可变形为an+1—（n+1）=4（an—n），又∵a1—1=1， 所以数列{an—n}是首项为1，公比为4的等比数列。 若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an—n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。 又例：设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=—，n=2，3，4……（1）求{an}通项公式。（2）略 解：由an=—，n=2，3，4，……，整理为1—an=——（1—an—1），又1—a1≠0，所以{1—an}是首项为1—a1，公比为——的等比数列，得an=1—（1—a1）（——）n—1 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。 (1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。 (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。 (4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。 (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。 2、高二数学数列的分类 (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。 (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 3、高二数学数列的通项公式 数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的， 这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。如：数列1，2，3，4，…， 由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循。 再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式。 (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项。 (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。 如2的不足近似值，精确到1，0。1，0。01，0。001，0。000 1，…所构成的数列1，1。4，1。41，1。414，1。414 2，…就没有通项公式。 (4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的： (5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一。 4、高二数学数列的图象 对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系： 序号：1 2 3 4 5 6 7 项： 4 5 6 7 8 9 10 这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射。因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值。这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数。 由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式。 数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的。 数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确。 把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点。 数列知识：数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。 ①用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，…… 简记为{an}， 项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence)， 项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。 数列的各项都是正数的为正项数列; 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如：1，2，3，4，5，6，7; 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如：8，7，6，5，4，3，2，1; 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列; 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数); 各项相等的数列叫做常数列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。 如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n). 并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。 数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。 知识拓展：函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 初中数学知识点：因式分解的一般步骤 关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 因式分解的一般步骤 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式， 通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。 初中数学知识点：因式分解 下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。 因式分解 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。 因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④ 因式分解与整式乘法的关系：+b+c) 公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。 提取公因式步骤： ①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。 分解因式注意； ①不准丢字母 ②不准丢常数项注意查项数 ③双重括号化成单括号 ④结果按数单字母单项式多项式顺序排列 ⑤相同因式写成幂的形式 ⑥首项负号放括号外 ⑦括号内同类项合并。 高考题中的数列试题,往往比较难,同学们有点怕,究其原因,还是数列试题综合性强,变形灵活，为大家分享了高二数学数列知识点的总结，一起来看看吧！ 数列概念 ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。 ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 等差数列 1.等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arith)。 有关系：A=(a+b)÷2 3.前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]① Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 4.等差数列性质 一、任意两项a的关系为： an=a(n- 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N* 三、若，p，q∈N*，且+q，则有a+aq 四、对任意的k∈N*，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 等比数列 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 有关系： 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 2.等比数列通项公式 an=a1*q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q) an=Sn-S(n-1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 3.等比数列前n项和与通项的关系 an=a1=s1(n=1) an=sn-s(n-1)(n≥2) 4.等比数列性质 (1)若、p、q∈N*，且+q，则a·aq; (2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} (4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 (5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q) (6)任意两项a的关系为an=a’(n- (7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。 注意：上述公式中a’n表示a的n次方。 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=a^(n-; (3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数) (4)性质： ①若 、p、q∈N，且+q，则a×aq; ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. ③若、q∈N，且，则a^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。数学等差数列知识点总结
高考数列知识点总结
高一数列知识点总结
高中数列知识点总结
数列的知识点总结
高二数学的数列知识点总结
高中数学数列知识点总结
