对数函数知识点归纳

数学个知识点归纳

　　高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下问题您是否清醒的认识?老师提醒你：

　　〓〓1.研究集中问题，一定要抓住集合的代表元素。

　　〓〓2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助数轴和文氏图进行求解。文档来自于网络搜索

　　〓〓3.你会用补集的思想解决有关问题吗

　　〓〓4.映射的概念了解了吗?映射f:A→B中，你是否注意到了A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够构成映射?文档来自于网络搜索

　　〓〓5.求不等式(方程)的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗

　　〓〓6.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗

　　〓〓7.几种命题的真值表记住了吗?充要条件的概念记住了吗?如何判断

　　〓〓8.不等式的解法掌握了吗

　　〓〓9.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数进行讨论了吗?文档来自于网络搜索

　　〓〓10.特别提醒：二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c0(0)解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c文档来自于网络搜索

　　的图象与x轴的交点的横坐标。

　　〓〓11.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗?(关于原点对称这个必要非充分条件)。

　　〓〓12.函数单调性的证明方法是什么?(定义法、导数法)

　　〓〓13.特别注意函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小；②解不等式；③求参数的范围)。

　　〓〓14.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗

　　〓〓15.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗

　　〓〓16.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制了吗?指数、对数函数的图象与性质明确了吗

　　〓〓17.你还记得对数恒等式(alog?琢N=N)和换底公式吗

　　〓〓18.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出它们的单调区间及其取最值的X值的集合吗?(别忘了k?缀Z)。文档来自于网络搜索

　　〓〓19.三角函数中的和、差、倍、降次公式及其逆用、变形用都掌握了吗

　　〓〓20.会用五点法y=Asin(?棕x+?渍)的草图吗?哪五点?会根据图象求参数A、?棕、?渍的值吗?文档来自于网络搜索

　　〓〓21.试卷中给出的积化和差和和差化积公式你会用吗

　　〓〓22.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?会用它们解斜三角形吗?如何实现边角互化

　　〓〓23.你对三角变换中的几大变换清楚吗?(①角的变换：和差、倍角公式；②名的变换：切割化弦；③次的变换：升、降次公式；④形的变换：统一函数形式)文档来自于网络搜索

　　〓〓24.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角的函数值，再判定角的范围)

　　〓〓25.形如y=Asin(?棕x+?渍),y=Atan(?棕x+?渍)的最小正周期会求吗?有关周期函数的结论还记得多少?文档来自于网络搜索

　　〓〓26.以下几个结论你记住了吗?①如果函数f(x)的图象同时关于直线x=a和x=b对你，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a-b?襔；②如果函数f(x)满足f(x-a)=f(x-b)，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=2?襔a+b?襔;③如果函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点(b,c)成中心对称，那么函数f(x)是周期函数，周期是T=4?襔a-b?襔。文档来自于网络搜索

　　〓〓27.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明k?缀Z了吗

　　〓〓28.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形公式吗?(l=,S=)

　　〓〓29.在用反三角表示直线的倾斜角、两条直线所成的角、二面角的平面角、直线与平面所成的角时，是否注意到了它们的范围?文档来自于网络搜索

　　〓〓30.常用的图象变换有几种(平移、伸缩和对称)?具体变换步骤还记得吗

　　〓〓31.重要不等式是指哪几个不等式?由它们推出的不等式链是什么

　　〓〓32.不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法；分析法；综合法；数学归纳法)

　　〓〓33.利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到：①都是正的；②等号成立；③其中之一为定值。

　　〓〓34.不等式解集的规范格式是什么?(一般要写成区间或集合的形式)

　　〓〓35.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是.”

　　〓〓36.诸如(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切x∈R恒成立，求a的范围，你讨论二次项系数为零了吗?文档来自于网络搜索

　　〓〓37.解对数不等式应注意什么问题?(化成同底，利用单调性，底数和真数要大于零)。

　　〓〓38.“穿根法”解不等式的注意事项是什么

　　〓〓39.会用不等式a-b≤a+_b≤a+b证一些简单问题。

　　〓〓40.不等式恒成立的问题有哪几种处理方式

　　41.等差、等比数列的重要性质：(等差：+q→________；等比：·q→______)。文档来自于网络搜索

　　〓〓42.用等比数列求前N项和时应注意什么?(q=1时，Sn=______，q≠1时，Sn=____=______〓)。文档来自于网络搜索

　　〓〓43.数列求和中的错位相减法，拆项叠加相消法掌握了吗?还有哪些求和方法?适应题型分别是什么

　　〓〓44.由an=Sn-Sn-1，求数列通项时注意到n?莛2了吗

　　〓/n→∞qn=0?圳(?襔q?襔1)掌握了吗?若li→∞qn存在，q满足什么条件?(?襔q?襔1或q=1)；若q是公比，还要注意什么?(q≠0)文档来自于网络搜索

　　46.求无穷数列和(积)的极限时，你是“先求数列和(积)，后取极限”的吗

　　〓〓47.在数学归纳法的证明中，把归纳假设当已知条件用了吗

　　〓〓48.复数相等的充分条件a+bi=c+di?圳a=c,b=d(a,b,c,d?缀R)。

　　〓〓49.立体几何中平行、垂直关系证明的思想明确了吗?每种平行、垂直转换的条件是什么?线∥线?圳线∥面?圳面∥面，线⊥线?圳线⊥面?圳面⊥面。文档来自于网络搜索

　　〓〓50.作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法)

　　〓〓51.求线面角的关键是什么?(找直线的射影)范围是什么?异面直线所成的角如何求?范围是什么

　　〓〓52.在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题

　　〓〓53.平移公式记准了吗?平移前函数的解析式、平移向量、平移后函数的解析式，二者知二求别外一个。

　　〓〓54.函数按向量平移与平常“左加右减”的何联系

　　〓〓55.向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!

　　〓〓56.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗

　　〓〓57.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系

　　〓〓58.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到〓不存在的情况

　　〓〓59.直线和圆的位置关系利用什么方法判定?(圆心到直线的距离与圆的关径的比较)直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断?文档来自于网络搜索

　　〓〓60.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序

　　〓〓61.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到方程中你注意到△≥0这一条件了吗?圆锥曲线本身的范围你注意到了吗?文档来自于网络搜索

　　〓〓62.解析几何问题求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建直角坐标系

　　〓〓63.截距是距离吗?“截距相等”意味着什么

　　〓〓64.解析几何中的对称问题有哪几种?(中心对称、轴对称)分别如何求解

　　〓〓65.弦长公式记住了吗

　　〓〓66.圆锥曲线的焦半径公式分别是什么?如何应用

　　〓〓67.换元的思想，逆求的思想，从特别到一般的思想，方程的思想，整体的思想都做好准备了吗

　　〓〓68.解应用题应注意的最基本要求是什么?(审题，找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，代入初始条件，注意单位，写好答语)文档来自于网络搜索

　　〓〓69.二项展开式的通项公式是什么?它的主要用途有哪些?二项式系数的相关结论有哪些?〓〓70.隔板法还记得吗?哪些问题可用此法?〓〓71.导数的定义还记得吗?它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗?文档来自于网络搜索

　　〓〓72.“函数在极值点处的导数值为零”是否会灵活应用。

　　〓〓73.常见的概率计算公式还记得吗

　　〓〓74.二项分布的期望与方差分别是什么?在频率分布直方图中如何求相应区间内的概率

三角函数题型归纳总结

　　1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法--化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.

　　2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.

下学期数学知识点总结

　　第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性.第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性

　　说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

　　1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}

　　2．集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意啊：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　关于“属于”的概念

　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A

　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?Rx-32}或{xx-32}

　　4、集合的分类：

　　1．有限集含有有限个元素的集合

　　2．无限集含有无限个元素的集合

　　3．空集不含任何元素的集合例：{xx2=－5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA

　　2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={xx2-1=0}B={-11}“元素相同”

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一个集合是它本身的子集。A?A

　　②真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果A?BB?C那么A?C

　　④如果A?B同时B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　三、集合的运算

　　1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集．

　　记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={xx∈A，且x∈B}．

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={xx∈A，或x∈B}．

　　3、交集与并集的性质：A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A，A∪A=A

　　A∪φ=AA∪B=B∪A.

　　4、全集与补集

　　（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

　　记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

　　（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

　　二、函数的有关概念

　　1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫做函数的值域．

　　三角函数公式

　　两角和公式

　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

　　ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

　　倍角公式

　　tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

　　cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

　　半角公式

　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

　　ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

　　和差化积

　　2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

　　2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

　　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

　　ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

　　某些数列前n项和

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

　　2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

　　13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/412+23+34+45+56+67+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

　　正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

　　余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

　　弧长公式l=ara是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2lr

　　乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

　　三角不等式a+b≤a+ba-b≤a+ba≤b=-b≤a≤b

　　a-b≥a-b-a≤a≤a

　　一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

　　根与系数的关系X1+X2=-b/aX1X2=c/a注：韦达定理

　　判别式

　　b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

　　b2-4ac0注：方程有两个不等的实根

　　b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根

　　降幂公式

　　（sin^2）x=1-cos2x/2

　　（cos^2）x=i=cos2x/2

　　万能公式

　　令tan(a/2)=t

　　sina=2t/(1+t^2)

　　cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

　　tana=2t/(1-t^2)

　　§1.2.1、函数的概念

　　1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.

　　2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

　　§1.2.2、函数的表示法

　　1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

　　§1.3.1、单调性与最大（小）值

　　1、注意函数单调性证明的一般格式：

　　§1.3.2、奇偶性

　　1、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.

　　2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

数学知识点总结

　　第一章勾股定理

　　定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

　　判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。定义：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数。

　　第二章实数

　　定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理数(有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示)

　　一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，我们规定0的算术平方根是0。

　　一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根)一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

　　一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。

　　每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

　　在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

数学知识点归纳

　　班级_______姓名

　　知识点概括总结

　　1.大数的认识：

　　（1）亿以内的数的认识：

　　十万：10个一万；

　　一百万：10个十万；

　　一千万：10个一百万；

　　一亿：10个一千万；

　　2.数级：数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法，在位值制（数位顺序）的基础上，以三位或四位分级的原则，把数读，写出来。通常在阿拉伯数的书写上，以小数点或者空格作为各个数级的标识，从右向左把数分开。

　　3.数级分类

　　（1）四位分级法

　　即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯，就是按这种方法读的。如：万（数字后面4个0）、亿（数字后面8个0）、兆（数字后面12个0，这是中法计数）……。这些级分别叫做个级，万级，亿级……。

　　（2）三位分级法

　　即以三位数为一个数级的分级方法。这西方的分级方法，这种分级方法也是国际通行的分级方法。如：千，数字后面3个0、百万，数字后面6个0、十亿，数字后面9个0……。

　　4.数位：数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。

　　5.数的产生：阿拉伯数字的由来：古代印度人创造了阿拉伯数字后，大约到了公元7世纪的时候，这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时，意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》，在这本书里，他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲，欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后，这些数字又从欧洲传到世界各国。

　　阿拉伯数字传入我国，大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码”，写起来比较方便，所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初，随着我国对外国数学成就的吸收和引进，阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用，阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。

　　6.自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷的集体。

　　7.计算工具：算盘、计算器、计算机。

　　8.射线：在几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。如下图所示：

　　8.射线特点

　　（1）射线只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长。

　　（2）射线不可测量。

　　9.直线：直线是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。

　　10.线段：线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA，线段a。其中AB表示直线上的任意两点。

　　11.线段特点

　　（1）有限长度,可以测量

　　（2）两个端点

　　12.线段性质：

　　（1）两点之间线段最短。

　　（2）连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。

　　（3）直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。

　　直线没有距离。射线也没有距离。因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。

　　13.角

　　（1）角的静态定义

　　具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

　　（2）角的动态定义

　　一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边

　　14.角的符号：角的符号：∠

　　15.角的种类：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。此外，还有密位制、弧度制等。

　　（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。

　　（2）直角：等于90°的角叫做直角。

　　（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

　　16.乘法：乘法是指一个数或量，增加了多少倍。例如4乘5，就是4增加了5倍率，也可以说成5个4连加。

　　17.乘法算式中各数的名称：“×”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是等于号，等于号后面的数叫做积。

　　10（因数）×（乘号）200（因数）=（等于号）2000（积）

　　18.平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。如图直线AB平行于直线CD，记作AB∥CD。平行线永不相交。

　　19.垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。

　　20.平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

　　21.梯形：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

　　22.除法：除法法则：除数是几位，先看被除数的前几位，前几位不够除，多看一位，除到哪位，商就写在哪位上面，不够商一，0占位。余数要比除数小，如果商是小数，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除数是小数，要化成除数是整数的除法再计算。

　　扩展资料

　　1.“数位”与“位数”、“计数单位”均为意义不同的概念。

　　“数位”是指一个数的每个数字所占的位置。数位顺序表从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也就不同。例如，在用阿拉伯数字表示数时，同一个‘6’，放在十位上表示6个十，放在百位上表示6个百，放在亿位上表示6个亿等等。

　　“位数”是指一个自然数中含有数位的个数。像458这个数有三个数字组成，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数。198023456由9个数字组成，那它就是一个九位数。“数位”与“位数”不能混淆。

　　计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……，都是计数单位。“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”等等。所以在读数时先读数字再读计数单位。

　　2.自然数知识扩展

　　自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。一定是整数。用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷的集体。

　　3.角的其他分类

　　平角：等于180°的角叫做平角。

　　优角：大于180°小于360°叫优角。

　　劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

　　周角：等于360°的角叫做周角。

　　负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

　　正角：逆时针旋转的角为正角。

　　0角：等于零度的角。

　　余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。等角的余角相等，等角的补角相等。

　　对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。

　　还有许多种角的关系，如内错角,同位角，同旁内角（三线八角中，主要用来判断平行）！

　　4.平行线的性质

　　（1）两条直线平行，同旁内角互补。

　　（2）两条直线平行，内错角相等。

　　（3）两条直线平行，同位角相等。

　　5.平行线的判定(同一平面内)

　　（1）同旁内角互补，两直线平行。

　　（2）内错角相等，两直线平行。

　　（3）同位角相等，两直线平行。

　　（4）如果两条直线同时与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

　　（5）如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行。

　　6.垂线性质

　　(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

　　(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

　　(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

　　四年级下册

　　知识点概括总结1.整数加法（1）把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

　　（2）在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。

　　(3)加数+加数=和，一个加数=和－另一个加数

　　2.整数减法(1)已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

　　(2)在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。

　　(3)加法和减法互为逆运算。

　　3.整数乘法(1)求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

　　(2)在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。

　　(3)在乘法里，0和任何数相乘都得0.

　　(4)1和任何数相乘都的任何数。

　　(5)一个因数×一个因数=积；一个因数=积÷另一个因数

　　4.整数除法（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

　　（2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

　　（3）乘法和除法互为逆运算。

　　（4）在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。

　　（5）被除数÷除数=商，除数=被除数÷商被除数=商×除数。

　　5.整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

　　6.整数减法计算法则相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

　　7.整数乘法计算法则先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。

　　8.整数除法计算法则先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。

　　9.运算顺序

　　(1)小数、分数、整数小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同；分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

　　（2）没有括号的混合运算同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

　　（3）有括号的混合运算先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

　　（4）第一级运算加法和减法叫做第一级运算。

　　（5）第二级运算乘法和除法叫做第二级运算。

　　10.加法交换律加法交换律的概念为：两个加数交换位置，和不变。

　　字母公式：a+b+c=（b+a）+c

　　11.加法结合律加法结合律的概念为：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

　　字母公式：a+b+c=a+(b+c)

　　12.乘法交换律

　　乘法交换律的概念为：两个因数交换位置，积不变。

　　字母公式：a×b=b×a

　　13.乘法结合律乘法结合律的概念为：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

　　字母公式：a×b×c=a×(b×c)

　　14.乘法分配律

　　乘法分配律的概念为：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

　　字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c

　　15.小数：

　　小数由整数部分、小数部分和小数点组成。当测量物体时往往会得到的不是整数的数，古人就发明了小数来补充整数，小数是十进制分数的一种特殊表现形式。

　　16.小数基本性质

　　小数末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，但计数单位变了。而且，小数点向左移动一位、两位、三位，原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍，小数点向右移动一位、两位、三位，原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍。

　　17.小数的写法

　　整数部分写在小数点前，小数部分写在小数点后，中间用小数点隔开。

　　18.小数的读法

　　一种是按照分数的读法来读．带小数的整数部分按整数读法读；小数部分按分数读法读．例如：0.38读作百分之三十八，14.56读作十四又百分之五十六。

　　另一种读法，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字，若几个零重复，不可只读一个0。例如：0.45读作零点四五；56.032读作五十六点零三二；1.0005读作一点零零零五。

　　19.小数的比较

　　小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较。因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大；

　　20.小数的性质：

　　（1）在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小数不变．

　　（2）小数点移动会引起小数大小发生变化．把小数点分别向右移动一位、二位、三位…位，则小数的值分别扩大10倍、100倍、1000倍……

　　如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位…则小数的值分别缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一…

　　21.小数的近似值：

　　保留小数：按要求在舍去部分最高位进行四舍五入运算。

　　22.小数加法小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。

　　23.小数减法小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

　　24.三角形

　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

　　25.生活中的三角形物品

　　雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。

　　26.三角形中的线段

　　（1）中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积。

　　（2）高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。

　　（3）角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线，它到两边距离相等。(注：一个角的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角的对称轴)

　　（4）中位线：任意两边中点的连线。

　　27.三角形为什么具有稳定性

　　任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接

　　∵第三条边不可伸缩或弯折

　　∴两端点距离固定

　　∴这两条边的夹角固定

　　∵这两条边是任取的

　　∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定

　　∴三角形有稳定性

上册数学知识点归纳总结

　　1全等三角形的对应边、对应角相等

　　2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

　　3角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

　　4推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

　　5边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

　　6斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

　　7定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

　　8定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

　　9角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

　　10等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

　　21推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

　　22等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

　　23推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

　　24等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

　　25推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

　　26推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

　　27在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　28直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

　　29定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

　　30逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

　　31线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

　　32定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

　　33定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

　　34定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

　　35逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

　　36勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

　　37勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c相关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

　　38定理四边形的内角和等于360°

　　39四边形的外角和等于360°

　　40多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

　　41推论任意多边的外角和等于360°

　　42平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

　　43平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

　　44推论夹在两条平行线间的平行线段相等

　　45平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

　　46平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　47平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　48平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　49平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

　　50矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

　　51矩形性质定理2矩形的对角线相等

　　52矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

　　53矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

　　54菱形性质定理1菱形的四条边都相等

　　55菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

　　56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

　　57菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

　　58菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

　　59正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

　　60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

　　61定理1关于中心对称的两个图形是全等的

　　62定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

　　63逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这个点平分，那么这两个图形关于这个点对称

　　64等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

　　65等腰梯形的两条对角线相等

　　66等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

　　67对角线相等的梯形是等腰梯形

　　68平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

　　69推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

　　70推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

　　71三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

　　72梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

　　73(1)比例的基本性质如果a：b=c：d,那么ad=bc，如果ad=bc,那么a：b=c：d

　　74(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

　　75(3)等比性质如果a/b=c/d=…=(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+(b+d+…+n)=a/b

　　76平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

　　77推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

　　78定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

　　79平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

　　80定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

　　81相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

　　82直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

　　83判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

　　84判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

　　85定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

　　86性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

　　87性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

　　88性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

　　89任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

　　90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

数学知识点归纳总结

　　第一章证明(二)

　　※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

　　※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

　　直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

　　※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。

　　※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：

　　①勾股定理：（注意区分斜边与直角边）

　　②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）

　　※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义）

　　直线与射线有垂线，但无垂直平分线

　　※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

　　※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

　　※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）

　　※角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

　　角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

　　※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。

　　(如图2所示，OD=OE=OF)

　　第二章一元二次方程

　　※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为

　　常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

　　※把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

　　※解一元二次方程的方法：①配方法即将其变为的形式

　　②公式法（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

　　③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

　　※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

　　②将二次项系数化成1；

　　③把常数项移到方程的右边；

　　④两边加上一次项系数的一半的平方；

　　⑤把方程转化成的形式；

　　⑥两边开方求其根。

　　※根与系数的关系：当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根；

　　当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

　　当b2-4ac0时，方程无实数根。

　　※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。

　　※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

　　（1）已知方程的一根，求另一根；

　　（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

　　①②③

　　④⑤

　　⑥⑦其他能用或表达的代数式。

　　（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：

　　（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根

　　※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

　　※处理问题的过程可以进一步概括为：

　　第三章证明（三）

　　※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。

　　※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。

　　※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

　　两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

　　两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

　　※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

　　菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

　　※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

　　菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

　　※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

　　对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　四条边都相等的四边形是菱形。

　　※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

　　※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

　　※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

　　对角线相等的平行四边形是矩形。

　　四个角都相等的四边形是矩形。

　　※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

　　※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

　　※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

　　邻边相等的矩形是正方形；

　　对角线相等的菱形是正方形；

　　对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

　　※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

　　平行四边形

　　菱形

　　矩形

　　正方形

　　一组邻边相等

　　一组邻边相等且一个内角为直角

　　（或对角线互相垂直平分）

　　一内角为直角

　　一邻边相等

　　或对角线垂直

　　一个内角为直角

　　（或对角线相等）

　　鹏翔教图3

　　※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

　　※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

　　※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

　　同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

　　※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

　　※夹在两条平行线间的平行线段相等。

　　※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

　　第四章视图与投影

　　※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

　　三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

　　主视图：基本可认为从物体正面视得的图象

　　俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象

　　左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

　　※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

　　※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

　　※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

　　物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。

　　太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

　　探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

　　※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

　　眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

　　※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

　　①点在一个平面上的投影仍是一个点；

　　②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

　　线段垂直于投影面时，投影为一点；

　　线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

　　线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

　　③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

　　平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

　　平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

　　平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

　　第五章反比例函数

　　※反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。

　　（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）

　　※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→←→←→←→变量y与x成反比例，比例系数为k.

　　※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值即。（通常第二种方法更适用）

　　※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线

　　※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；

　　②选取的点越多画的图越准确；

　　③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。

　　※反比例函数性质：

　　①当k0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　②当k0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；

　　③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。

　　※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)

　　P

　　B

　　A

　　O

　　P

　　B

　　A

　　O

　　图4

　　点P(x,y)在双曲线上都有

　　第六章频率与概率

　　※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；

　　每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率；即：

　　在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

　　※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。

　　用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。

　　可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

　　※假设布袋内有黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；

　　※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）

　　※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。

　　北师大版初三下册数学知识点总结

　　第七章直角三角形边的关系

　　※一.正切：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;

　　①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

　　②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

　　③tanA不表示“tan”乘以“A”；

　　④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

　　⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

　　※二.正弦：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;

　　※三.余弦：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;

　　※余切：

　　定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;

　　※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

　　0o30o45o60o90osinα01cosα10tanα01—cotα—10

　　（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则

　　①；

　　②；

　　※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

　　所成的锐角称为仰角

　　※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成

　　的锐角称为俯角

　　※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当

　　角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

　　※同角的三角函数间的关系：

　　倒数关系：tgα·ctgα=1。

　　※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

　　◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

　　(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；

　　(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；

　　(3)边与角之间的关系：

　　(4)面积公式:(hc为C边上的高);

　　(5)直角三角形的内切圆半径

　　(6)直角三角形的外接圆半径

　　◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

　　图2

　　h

　　i=h:l

　　l

　　A

　　B

　　C

　　◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

　　※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即

　　◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

　　◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

　　第二章二次函数

　　※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.

　　※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

　　※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。

　　描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

　　①函数的定义域是全体实数；

　　②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

　　③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

　　④函数的增减性：

　　A、当a＞0时B、当a＜0时

　　⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

　　⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．

　　※二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

　　※二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

　　※a的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；a的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

　　※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，a决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

　　※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：

　　的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：

　　①将配方成的形式；（其中h=，k=）；

　　②把抛物线向右（h0）或向左（h0）平移h个单位，得到y=a(x-h)2的图象；

　　③再把抛物线向上（k0）或向下（k0）平移k个单位，便得到的图象。

　　※二次函数的性质：

　　二次函数配方成则抛物线的

　　①对称轴：x=②顶点坐标：（，）

　　③增减性：若a0，则当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。

　　若a0，则当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。

　　④最值：若a0，则当x=时，；若a0，则当x=时，

　　※画二次函数的图象：

　　我们可以利用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

　　①先找出顶点（，），画出对称轴x=；

　　②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；

　　③把上述五点连成光滑的曲线。

　　¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。

　　¤解决最大（小）值问题的基本思路是：

　　①理解问题；

　　②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；

　　③用数学的方式表示它们之间的关系；

　　④做数学求解；

　　⑤检验结果的合理性、拓展性等。

　　※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的两个实数根

　　※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

　　0===抛物线与x轴有2个交点；

　　=0===抛物线与x轴有1个交点；

　　0===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

　　※当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

　　化简后即为：------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

　　第三章圆

　　一.车轮为什么做成圆形

　　※1.圆的定义：

　　描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

　　集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

　　对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

　　②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

　　※2.点与圆的位置关系及其数量特征：

　　如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

　　①点在圆上===d=r;

　　②点在圆内===dr;

　　③点在圆外===dr.

　　其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

　　二.圆的对称性:

　　※1.与圆相关的概念：

　　①弦和直径：

　　弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

　　直径：经过圆心的弦叫做直径。

　　②弧、半圆、优弧、劣弧：

　　弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

　　半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

　　③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

　　④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

　　⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

　　⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

　　⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

　　⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

　　※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

　　※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

　　①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

　　上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

　　※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

　　推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

　　三.圆周角和圆心角的关系:

　　※1.1°的弧的概念:把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.

　　※2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

　　这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,这是错误的

　　※3.圆周角的定义:

　　顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

　　※4.圆周角定理:

　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

　　※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

　　※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

　　※四.确定圆的条件:

　　※1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:

　　圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

上学期数学知识点归纳总结

　　30即不是正数也不是负数。

　　4正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

　　二有理数

　　1．有理数由整数和分数组成的数。

　　包括正整数、0、负整数，正分数、负分数。

　　可以写成两个整之比的形式。

　　无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

　　如π

　　2．整数正整数、0、负整数，统称整数。

　　3．分数正分数、负分数。

　　三数轴

　　1．数轴用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

　　画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

　　2．数轴的三要素原点、正方向、单位长度。

　　3．相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

　　0的相反数还是0。

　　4．绝对值正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

　　四有理数的加减法

　　1．先定符号，再算绝对值。

　　2．加法运算法则同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。

　　异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

　　互为相反数的两个数相加得0。

　　一个数同0相加减，仍得这个数。

　　3．加法交换律+=+两个数相加，交换加数的位置，和不变。

　　4．加法结合律++=++三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

　　5．?=+?减去一个数，等于加这个数的相反数。

　　五有理数乘法先定积的符号，再定积的大小

　　1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

　　任何数同0相乘，都得0。

　　2．乘积是1的两个数互为倒数。

　　3．乘法交换律=

　　4．乘法结合律=

　　5．乘法分配律+=+

　　六有理数除法

　　1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。

　　2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

　　3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。

　　七乘方1．求个相同因数的积的运算，叫做乘方。

　　写作。

　　乘方的结果叫幂，叫底数，叫指数2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。

　　3．同底数幂相乘，底不变，指数相加。

　　4．同底数幂相除，底不变，指数相减。

　　八有理数的加减乘除混合运算法则

　　1．先乘方，再乘除，最后加减。

　　2．同级运算，从左到右进行。

　　3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

　　九科学记数法、近似数、有效数字。

　　第二章整式一整式

　　1．整式单项式和多项式的统称叫整式。

　　2．单项式数与字母的乘积组成的式子叫单项式。

　　单独的一个数或一个字母也是单项式。

　　3．系数；一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。

　　4。

　　次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

　　5．多项式几个单项式的和叫做多项式。

　　6．项组成多项式的每个单项式叫做多项式的项。

　　7．常数项不含字母的项叫做常数项。

　　8．多项式的次数多项式中，次数的项的次数叫做这个多项式的次数。

　　9．同类项多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

　　10．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

　　二整式加减整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

　　1．去括号一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。

　　如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

　　2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

　　合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变【初一上学期数学知识点归纳总结】

数学数知识点归纳总结

　　数的改写

　　一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。

　　1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

　　2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

　　3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

　　4. 大小比较

　　1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。

　　2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

　　3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。

数学知识点集合与函数概念

　　集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（cantor，g.f.p，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

　　集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合

　　集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

　　元素与集合的关系

　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

　　集合与集合之间的关系

　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合a的所有元素同时都是集合b的元素，则a称作是b的子集，写作a？b。若a是b的子集，且a不等于b，则a称作是b的真子集，一般写作a？b。中学教材课本里将？符号下加了一个≠符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

　　集合的几种运算法则

　　并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作a∪b（或b∪a），读作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={xx∈a，或x∈b}交集：以属于a且属于b的元差集表示

　　素为元素的集合称为a与b的交（集），记作a∩b（或b∩a），读作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={xx∈a，且x∈b}例如，全集u={1，2，3，4，5}a={1，3，5}b={1，2，5}。那么因为a和b中都有1，5，所以a∩b={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说a∪b={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是a∩b。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

　　1再相乘。48个。对称差集：设a，b为集合，a与b的对称差集a？b定义为：a？b=（a-b）∪（b-a）例如：a={a，b，c}，b={b，d}，则a？b={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：a？b=（a∪b）-（a∩b）无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令n是正整数的全体，且n_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合a与n_n一一对应，那么a叫做有限集合。差：以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差（集）。记作：ab={x│x∈a，x不属于b}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集u不属于集合a的元素组成的集合称为集合a的补集，记作cua，即cua={xx∈u，且x不属于a}空集也被认为是有限集合。例如，全集u={1，2，3，4，5}而a={1，2，5}那么全集有而a中没有的3，4就是cua，是a的补集。cua={3，4}。在信息技术当中，常常把cua写成~a。共2页，当前第1页12

　　集合元素的性质

　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合a={xx集合有以下性质

　　若a包含于b，则a∩b=a，a∪b=b

　　集合的表示方法

　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：a，b，c…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：a={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

　　常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{xp}（x为该集合的元素的一般形式，p为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x0

　　4.自然语言常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作n；不包括0的自然数集合，记作n（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作z+；负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作z-（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作z（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作q。q={p/qp∈z，q∈n，且p，q互质}（正负有理数集合分别记作q+q-）（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作r（正实数集合记作r+；负实数记作r-）（6）复数集合计作c集合的运算：集合交换律a∩b=b∩aa∪b=b∪a集合结合律（a∩b）∩c=a∩（b∩c）（a∪b）∪c=a∪（b∪c）集合分配律a∩（b∪c）=（a∩b）∪（a∩c）a∪（b∩c）=（a∪b）∩（a∪c）集合德.摩根律集合

　　cu（a∩b）=cua∪cubcu（a∪b）=cua∩cub集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合a的元素个数记为card（a）。例如a={a，b，c}，则card（a）=3card（a∪b）=card（a）+card（b）-card（a∩b）card（a∪b∪c）=card（a）+card（b）+card（c）-card（a∩b）-card（b∩c）-card（c∩a）+card（a∩b∩c）1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律a∪（a∩b）=aa∩（a∪b）=a集合求补律a∪cua=ua∩cua=φ设a为集合，把a的全部子集构成的集合叫做a的幂集德摩根律a-（buc）=（a-b）∩（a-c）a-（b∩c）=（a-b）u（a-c）～（buc）=~b∩~c～（b∩c）=~bu~c~φ=e~e=φ特殊集合的表示复数集c实数集r正实数集r+负实数集r-整数集z正整数集z+负整数集z-有理数集q正有理数集q+负有理数集q-不含0的有理数集q