圆在生活中的应用

圆

　　在现实生活中，圆的东西数不胜数。球是圆的，杯口是圆的，食品包装盒很多是圆的，还有，一切天体都是圆的，(this is !)在数学里，圆是最基本的图形。为此，汉字“圆”弄不明白：圆为何有那么大的魔力？它决定去问问各位圆兄圆弟。“圆”走进商店，好奇地问一趾高气扬的圆形包装盒：“请问您为什么是圆形的？”圆形包装盒得意洋洋地说：“因为我的面积最大，能盛最多东西，所以我是圆形的。”“原来如此”。圆若有所思地点点头，走出商场，“圆”看见不远处一下水道入口的盖子是圆的，便走过去俯下身子问：“为何您是圆形的？”“因为立体圆不能从和它面积相等的圆洞里穿过，所以如果下面有施工人员，我也不会掉下去砸在他们头上。”盖子彬彬有礼地回答说。

　　刚直起身子，“圆”就被太阳光照得暖和，它抬头一看，咦，怎么太阳公公也是圆形的？于是它对天大喊：“太阳公公，您也是圆形的吗？”太阳公公和蔼地说：“是啊，因为在真空环境中，我身子中的分子向四处扩散，所以我是球形的。”“是这么回事。”“圆”自言自语道。

　　“圆”决定超越时空，到古代看看，不知不觉，它到了古代。这时，它看见一位科学家对它割了又割，感到很奇怪，便上去问：“您到底在干什么？”这位科学家就是祖冲之。他生气地数落起圆来：“就数你最调皮，圆周率总是算不准，我一定要把圆周率算出来。”“圆”听了，不好意思地笑了。

　　经过一天的调查，“圆”明白了自己的许多特点，它决定更好地发挥自己的特点，为人民服务，同时它也告诉各位同学：要努力学习，才能更多地发现圆的奥秘，彻底揭开圆神秘的面纱。

圆的知识点总结

　　一）圆的有关性质

　　［知识归纳］

　　1.圆的有关概念：

　　圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；

　　弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

　　圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

　　2.圆的对称性

　　圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；

　　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

　　圆具有旋转不变性。

　　3.圆的确定

　　不在同一条直线上的三点确定一个圆。

　　4.垂直于弦的直径

　　垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；

　　推论1

　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

　　（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

　　垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

　　推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

　　5.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

　　定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

　　推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

　　此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

　　圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

　　6.圆周角

　　定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

　　推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

　　推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

　　推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　　圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

　　7.圆内接四边形的性质

　　圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

　　※8.轨迹

　　轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。

　　（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；

　　（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；

　　（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。

　　［例题分析］

　　例1.已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。

　　图1

　　①若AB＝，ON＝1，求MN的长；

　　②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。

　　解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝

　　∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2

　　∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1

　　②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°

　　∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

　　∴

　　说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsinn°＝2htann°＝

　　例2.已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。

　　图2

　　分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。

　　解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。

　　图2－1

　　∴

　　又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°

　　∴的度数为25°，∴的度数为50°。

　　解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED

　　图2－2

　　∵AE是直径，∴∠ADE＝90°

　　∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°

　　∴的度数为50°。

　　解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD

　　图2－3

　　∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°

　　∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°

　　∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。

　　例3.已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6c点到BC的距离OD等于2c求AB的长。

　　析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。

　　略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO

　　∵BO＝6，OD＝2

　　∴

　　在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8

　　∴

　　图3图3－1

　　（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4

　　∴AB

　　综上所述AB＝

　　小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

　　例4.已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED

　　图4

　　分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。

　　证明：连结AC

　　∵四边形DEAC内接于圆

　　∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA

　　∵直径AB⊥CD，∴

　　∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA

　　∴△FED∽△CEA

　　∴，∴AE·EF＝EC·ED

　　小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。

　　例5.已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。

　　图5

　　（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；

　　（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；

　　（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

　　证明：（1）连结BM（如图5－1）

　　图5－1

　　∵AM是直径，∴∠ABM＝90°

　　∵CD⊥AB，∴BM∥CD

　　∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN

　　∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM

　　（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）

　　图5－2

　　∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC

　　∵CD＝AB，∴

　　∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE

　　∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC

　　∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB

　　∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED

　　（3）结论成立。如图5－3

　　图5－3

　　证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE

　　∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE

　　又∵AB＝CD，∴

　　∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC

　　∴∠BDE＋∠ACE＝180°

　　而∠FBE＋∠ABE＝180°

　　∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角

　　∴△BED∽△FEB

　　∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED

　　（二）直线与圆的关系

　　1.直线与圆的位置关系

　　直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系

　　2.切线的判定

　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　3.切线的性质

　　（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；

　　（2）推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

　　（3）推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

　　此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。

　　4.切线长定理

　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

　　5.弦切角定理

　　（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

　　（2）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；

　　（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

　　6.和圆有关的比例线段

　　（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

　　（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

　　（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

　　（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

　　7.三角形的内切圆

　　（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；

　　（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。

　　［例题分析］

　　例6.已知：如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，

　　DE⊥AB于E。

　　图6

　　求证：∠CDB＝∠EDB。

　　分析：由AB是⊙O的直径，联想到直径的三个性质：

　　图6－1图6－2图6－3

　　（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得Rt△ABD；

　　（2）垂径定理。如图6－2，若延长DE交⊙O于F，则可得DE＝EF，；

　　（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图6－3，若过B点作⊙O的切线BM，则AB⊥BM。

　　由CD是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：

　　（1）过切点的半径垂直于切线。如图6－1，若连结OD，则OD⊥CD；

　　（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则∠CDB＝∠A；

　　（3）切割线定理。如图6，CD2＝CB·CA。

　　由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质：

　　（1）Rt△DEB中两锐角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；

　　（2）垂径定理。如图6－2，只要延长DE交⊙O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；

　　（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到△ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。

　　证明：连结AD，如图6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。

　　∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A

　　∵CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB

　　此例题还有许多证法，比如连结OD，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O于F，连结BF，如图6－2，利用垂径定理；还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。

　　小结：此例题证明∠CDB＝∠EDB，即证明BD是∠CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是∠GDE的平分线。

　　另外，通过对此例题的分析和证明可知，图6－4中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6－4分解成三个基本图形。如图6－5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。

　　图6－4

　　图6－5

　　例7.已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。

　　图7

　　证明：连结CB

　　∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B

　　∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB

　　∴AC：BC＝PA：PC

　　∴

　　∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°

　　又∵CD⊥AB

　　∴

　　∴AB＝AD＋DB＝5

　　∵

　　∴

　　例8.已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。

　　图8

　　求证：（1）AC是⊙D的切线；

　　（2）AB＋EB＝AC

　　分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F

　　（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。

　　证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足

　　∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF

　　∴点D到AC的距离等于圆D的半径

　　∴AC是⊙D的切线

　　（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，

　　∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF

　　∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

　　∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC

　　∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

　　小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类

　　例9.已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。

　　图9

　　求证：

　　分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。即证∠PFE＝∠PEF。

　　证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，

　　∴∠CED＝90°

　　∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

　　∵PE为⊙O切线，E为切点

　　∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

　　∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

　　∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

　　证明二：如图9－1，连结AC、AE

　　图9－1

　　∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC

　　∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C

　　∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

　　∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

　　∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

　　例10.（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD

　　图10图10－1

　　求证：①∠BAD＝∠CAG；

　　②AC·AD＝AE·AF

　　（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。

　　①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

　　②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

　　证明：（1）①连结BD

　　∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

　　∴∠AGC＝∠ADB＝90°

　　又∵ACDB是⊙O内接四边形

　　∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

　　②连结CF

　　∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB

　　∴∠DAE＝∠FAC

　　又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC

　　∴，∴AC·AD＝AE·AF

　　（2）①见图10－1

　　②两个结论都成立，证明如下：

　　①连结BC，

　　∵AB是直径，∴∠ACB＝90°

　　∴∠ACB＝∠AGC＝90°

　　∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC

　　∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

　　②连结CF

　　∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

　　∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

　　∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

　　∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）

　　说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

　　例11.如图11，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。

　　图11

　　（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。

　　（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。

　　分析：（1）若连结DO，可证得DE是⊙O的切线。

　　若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得AB＝BC，∠A＝∠C等。而且DE⊥BC于点E，又由双垂图形，可得，等。

　　（2）连结DO、OB。方法同上。

　　答：下列结论可供选择，如图11－1

　　图11－1

　　（1）①DE是⊙O的切线②AB＝BC③∠A＝∠C④DE2＝BE·CE

　　⑤CD2＝CE·CB⑥∠C＋∠CDE＝90°⑦

　　（2）①CE＝BE②DE＝BE③DE＝CE④DE∥AB⑤CB是⊙O的切线

　　⑥B⑦∠A＝∠CDE＝45°⑧∠C＝∠CDE＝45°

　　⑨CB2＝CD·CA⑩(11)

　　(12)

　　说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。

　　（三）圆和圆的位置关系

　　［知识归纳］

　　1.基本概念

　　（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。

　　（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。

　　（3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。

　　2.圆和圆的位置关系

　　两圆的位置圆心距d与两圆的半径R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000

　　3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

　　4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

　　［例题分析］

　　例12.已知两圆外切时，圆心距为10c两圆内切时，圆心距为4c求两圆半径的长。

　　解：设两圆的半径分别为Rc。依题意，得

　　答：大圆的半径为7c小圆的半径为3c

　　例13.已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。

　　图12

　　求证：CE∥FD。

　　分析：要证CE∥FD，可通过角的关系证平行，即只要证∠E＝∠BFD或证∠ECD＋∠D＝180°，若证∠E＝∠BFD，只需将∠BFD转化成与⊙O1有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可；若要证∠ECD＋∠D＝180°，也需连结AB，得∠EBA＝∠D，∠EBA＋∠ECD＝180°，则也可得证。

　　证明一：（用同位角证）连结AB

　　∵四边形EBAC内接于⊙O1，∴∠BAD＝∠E

用心观察圆

　　老师好像读懂大家的眼神，顿了顿说：“今天，我想放飞大家的想象力，让你们在圆上加上简单的几笔，画成一幅画，再写成一篇作文，你们说好不好？”话音刚落，同学们有的喜形于色，眼珠一转，计上心来，大笔一挥，三下五除二，大功告成；有的若有所思的凝视远方，好像在想：如果有个救星来帮帮我，那该多好呀；有的抓耳挠腮，东张西望，好像想从别人的作品中受点启发……你看白宗海冥思苦想了半天，终于拿起笔在圆上加上两条弧线，一个鲜红的大苹果画好了。只见他会心一笑，好像对自己的作品相当满意。

　　同学们有的画气球；有的画太阳；有的画时钟；还有的画小猪圆圆的脑袋，大大的耳朵，可爱极了。

　　我在圆上画了几条线，变成一个皮球。身体是革命的本钱，生命在于运动。有空的时候，我喜欢拍拍皮球，锻炼锻炼身体。有时也会叫上几个好朋友，一起玩，还交流感情，可以增进友谊，真是一举两得。

　　圆形不仅只是一个圆，它还能千变万化呢，只要我们用心观察、大胆想象，会发现生活是那样的丰富多彩。

圆

　　圆，是一个普通的形状，在生活中无处不在。

　　地球是圆的，地球是我们人类生存的家园，正因为有了它，才会有我们人类，才会有生物，才会有我们现在如此美好的生活。如今，地球严重被污染，还在犹豫什么？我们应该携起手来，共同拯救地球！

　　金牌是圆的，它是荣誉与汗水的结晶。只有通过努力，才会得到回报。

　　每当我们中国的运动员为祖国又获得一枚金牌时，那时多么快乐的时刻啊！

　　太阳是圆的，万物生长靠太阳。小树苗在太阳的呵护下，茁壮成长；花儿在阳光的照耀下，绽放出美丽的“容颜”；我们在太阳下，享受着温暖柔和的阳光，幸福地成长。

　　圆是幸福快乐的象征，每当我们张口大笑时，嘴就成了圆形，它定格了我们的喜悦和幸福。

　　硬币也是圆的，它是我们的生活中并不可少的，买各种东西、做生意、娱乐等等都离不开它。

　　它不但可以帮助我们维持生活，还可以帮助我们娱乐，让我们的生活不那么枯燥，变得丰富多彩！让我们过得有滋有味！

　　圆无所不在，只要你仔细观察，一定会有更大的发现！

　　由圆我想到了养育我们的地球妈妈，她把一切都无私地奉献给了人类，让我们在一天快乐地成长，我们应该保护它。

　　由圆我想到了头盔，四川省汶川县发生的8。0级的大地震，我希望那些被压住的人有一个头盔，保护头部不受伤。

　　由圆我想到了奥林匹克的五环旗，第29届奥运会将在中国北京举行，那将是中国人最自豪，最骄傲的时刻。

　　由圆我想到了西瓜，西瓜圆圆的，切开墨绿皮，里面是鲜红鲜红的果肉，吃一口满嘴都沾满了红红的西瓜汁，让人吃了还想吃。

　　由圆我想到了太阳，太阳给了我们温暖和生的希望，假若没有太阳，地球上将什么也没有，假若没有太阳，就不会有人类的生存。

　　由圆我想到了手表，在白天里，它提醒我珍惜时间，晚上虽然在一边沉默不语，但一直坚守自己的岗位，这不正是老师默默无闻的精神吗

　　由圆我想到了硬币，我要把我所有的硬币都捐给四川灾区的人民，让他们也能早日建设好自己的家园，过上好日子。

　　这就是我脑海中对“圆”的想象，现在我要画一个小小的圆，那就是句号了。

优秀日记范文：有关圆的构想

　　这世间，最美的图形是什么？我想，应该是圆形吧！任何图形在一次次磨掉棱角之后定会变成圆——定点到定长相等的图形。

　　有个老师曾经问过我们全班同学一个问题“为什么路上的井盖几乎是圆形的呢？”当时的我苦思冥想却怎么也想不出来。其答案就是“因为圆形的圆心到其边的距离都是相等的，所以无论井盖怎么转动都不会掉下井去，因此可以保证路人和车辆的安全。

　　当我们在孩童时期，无不天真烂漫，小小的脑袋里面装着好多新奇的想法，当然不免身上有很多“棱角”。随着时光如水般流逝，生活带给我们太多惊喜抑或是无奈，岁月毫不吝啬地将它的脚步重重地刻在我们身上。或许在我们不知不觉中，那儿时的“棱角”也在被渐渐磨平，逐渐向“圆”发展。我想，这是不是我们口中所谓的“长大”呢

　　蓦然回首，曾经的一切早已沧海桑田，当然包括那种天真，那种烂漫。我深思，这趋于“圆”的发展是对还是错呢

以圆为话题

　　老师曾经在黑板上画过一个圆，问我们如何画一个圆，很多同学认为是去掉四个棱角。而我觉得，不仅如此，还有别的方法。

　　不，不是的。

　　由方至圆，方和圆虽然看起来不一样，但本质相同，他们都只有一个中心点，而面积的大小由半径决定。无论是去掉四角还是将四角补上，也许蕴含着什么人生哲理。

　　宋朝诗人辛弃疾，一腔报国豪情，在年轻时写下热血的千古名句，而最后只在一声悠悠的“可怜白发生”中度过余生。他淡薄人间功名，放下名利纷争，以圆润处事。

　　鲁智深，听到这个名字，印象里他是一个有些鲁莽的武士，然而他的忠义，他的淡泊名利，他的舍生忘死，让我领悟到一种豁达。他可以放弃一切，委屈自己只为报效国家。

　　由方至圆，到底是应该磨平四角，还是填补空缺

　　圆像天空一样宽广，可以包容一切。

　　我想，不管是磨平，还是填补，这都是人生的选择。每个人经历的不一样，当然选择的方式也不一样。然而我们应该知道的是，人生下来就是方的，经过种种磨练、挫折，我们开始一点点圆润，我们知道了如何更好的待人处事，我们应该在心中有一种豁达。是得还是失，取决与你的人生态度。

圆的奥秘

　　今天，我出门买东西，发现路上有窖井，井上盖着盖，盖子是圆形的，我很奇怪，为什么井盖要做成圆的呢

　　这可是个好问题，不仅有关我们的学习，听说微软公司的应聘问题也曾用过它呢。我立刻仔细探究起来。我用卷尺量了井盖的直径，算出它的周长是算出他的半径是那么面积就是的二次方的二次方)。窖井设在大路上，每天人来人往，设计时就要注意行人的安全，盖儿不能掉到窖井里。如果设计成三角形或是正方形的，盖虽然比井口大一些，但还是有掉下去的可能。如果是圆形的，由于在同一个圆内，直径相等，所以，盖只要大一点点，就不会掉下去了，嘿，我发现了一个原因。我有翻翻科学书，“拱形”两个字映在我的眼前，我望着下面的一行行小字，豁然开朗，拱形的承受能力最强。而圆上有无数个拱形，它的承受能力当然更强，这样井盖的使用期限也会延长。我做了一页数学方法丛书，有一道判断题是关于周长一样的图形，圆的面积最大。我经过周密计算，发现圆的周长与别的图形一样，而面积是圆最大。在工作人员修理时要大些的空间，而且圆符合人的身躯进入，哈哈，又发现一个原因了。

　　动脑筋思考一下，既能获得问题的答案，又能明白许多道理，还能促进脑部开发，一举三得!

生活中的圆

　　泡泡是圆的，小时候，我们吹出一个个泡泡在天空中飞来飞去，你追我赶，圆圆的泡泡放飞我们的梦想和快乐。我们童年正因为有了泡泡变得更加丰富多彩。

　　鸡蛋是圆的，它富含营养，人们每天早上吃一个鸡蛋，身体会更健康。

　　电灯是圆的，它把光撒在街道、房间里……正因为有了它，让人们在漆黑的夜里找到行走的路，也会给晚上赶路的人指明方向。

　　汗珠是圆的，看到汗珠，我就会想到汗珠，在劳动中有汗珠，在比赛中也有汗珠，如果你在哪里洒下汗珠，那里就会有收获。因此，圆告诉人们只要付出汗水，就会收获快乐!

　　零是圆的，它又是多变的，在勤奋的人的手里是喜悦，因为它考了100分;在懒惰的人手里它将会是一种悲剧，因为它得了0分。0在不同的人的手里，有着不同的力量，我要做一个勤奋的学生，让圆带给我更多的惊喜。

　　每天，圆都围绕在我们的身边，变幻着我们需要的东西。

生活中的“圆”作文

　　星期六，我和妈妈一起去逛街，通过一条小道，三个工人蹲在无盖下水道旁，我热情的跟他们打招呼，其中有一位年轻的叔叔问我：“你知道井盖为什么是圆的吗？”“哼，这么简单，不就是圆井盖可以转来转去。”我得意地回答。“回答不完整，应该这样说，因为等圆的半径和直径都相等，怎样踩都不会掉下去。”叔叔笑了笑。话音刚落，又一位叔叔开始问我问题了：“为什么车的轮胎是圆的？”叔叔指了指旁边过去的汽车。“因为车轮胎是圆的，圆具有滚动性。”我快速地回答出来了。第三个叔叔又发问了：“那车轴应该装到哪里？”我一时半会答不出来，就问了问旁边的数学天才——妈妈。妈妈告诉我：“车轴应该装在车轮的中心。”我点了点头，觉得妈妈说得很有道理。第二位叔叔不服气，又问我：“为什么车轴要装到车轮的中心？”我回想起第一个问题的答案：“因为等圆的半径和直径都相等，这样才能保持车的平稳状态。”那个叔叔都开始佩服我了，竖起了大拇指。

　　我们又到了一个小区里，一进小区就看到一个修剪花坛的工人愁眉苦脸的坐在一个长方形草坪的旁边。我又热心地和那位工人打招呼，他说出了他自己愁眉苦脸的原因，原来是小区物管中心交待他要把这个长方形的草坪剪成圆的草坪，要求剪下的面积尽量达到最少。我要工人拿出皮尺量出草坪的长和宽，量出来的长是15米，宽是7米。工人师傅问我怎样剪出这个圆，我想起在学校里学的“圆的面积”，立马拾起地上的石头在地上列出算式“7除以2的平方乘3·14”。工人师傅又问：“那这个圆的半径应该是多少米？”“7除以2等于3·5，半径应该是3、5米。”“这圆太大了，我该怎样剪呢？”工人师傅很疑惑。“你把皮尺盘放到草坪宽的中心，再把皮尺拉到3、5米远，把修剪长刀绑到皮尺的顶端，你走到皮尺盘那头，我拿着长刀围着你绕一圈，帮你在草坪上刻上一个印子，多余的你自己剪掉，就这么简单了。”我得意洋洋的说。我准备离开，但是他又叫住了我：“那有一个问题没有解决，物管中心还要我在修剪好草坪中心安装一个自动旋转喷灌装置，那喷射的长度应该是多少米？能被喷灌的面积又是多少？”“喷射的长度是3、5米，喷灌的面积是38、465平方米。”说完我又去小区娱乐中心了。

　　在那里有许多叔叔阿姨们，其中有些阿姨们正在转呼啦圈，我和一位年轻漂亮的阿姨打了招呼，她问了我一个问题：“为什么呼啦圈是圆的？”我回答：“因为呼啦圈没有棱角，不会刺到人的肉体，就这么简单。”那些阿姨们都赞不绝口。

　　这一天，我发现了生活中有许许多多的“圆”。

生活中的圆

　　早晨的朝阳，浑圆的火热照耀每个生命的光彩；丛草里的绿叶，圆润透亮的露珠透露着欣欣向荣的美好；孩子们圆滑无邪的笑容，散发最纯真而正向的能量。圆，是自然中我认为最美好的形状。

　　生活中的圆处处可见，小至海滩上细小的一粒沙，大至浩瀚宇宙里众多恒星。也许在上帝创造“圆”的当下，更从中寄託着对人类的理想吧！不只局限于外表的形象，箇中所蕴含的是某种更深层的美，象征着亘古的平衡，以及人与人相处上圆融和谐的美。

　　在待人处世上，从前我总是以最锐利的稜角，以防御自我之名，而常重重地刺伤别人的心。但在现在资讯流通的发达下，我看见世界的角落里，其实有着更多在生活上比我艰辛而困苦的人，但他们的心中，却存在着一颗知足的心，用着善良和乐的圆来对待这个世界。现实中丰衣足食的我还在自怨自艾什么呢？为何要用最黑暗的面相来看待一切？用最圆润的角度来与大家和平共处，不也是件利人利己的好事吗？看着心中逐渐和平的心，我笑了。脱下布满棘刺的外壳，此刻我将用圆融的锋芒来面对未来的每一天。

　　瞥见雨过天晴的彩虹，现在的我大概就像他那不完美的一个半圆，正试图合拢出无瑕的圆。也许用圆融的智慧来处世并非易事，但我仍旧用着怀抱梦想的心，用力画出最美的圆。